THỜI GIAN: 45 Phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM – 14 CÂU)
Câu 1 (Dễ): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (1; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.
D. Hàm số là hàm hằng trên khoảng $(1; 3)$.
Câu 2 (Dễ): Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ như sau:
($x$ chạy từ $-\infty$ đến $0$ rồi đến $+\infty$; $f'(x)$ mang dấu $-$ rồi sang dấu $+$).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm:
A. $x = 0$
B. $x = -\infty$
C. $y = f(0)$
D. $x = +\infty$
Câu 3 (Trung bình): Hàm số $y = x^3 – 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(-\infty; -1)$
B. $(1; +\infty)$
C. $(-1; 1)$
D. $(0; 2)$
Câu 4 (Trung bình): Số điểm cực trị của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 5$ là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 5 (Khá): Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x – 1}$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
A. $m > -1$
B. $m < -1$
C. $m \ge -1$
D. $m \le -1$
Câu 6 (Thông hiểu): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-2)^2(x+3)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 7 (Vận dụng thấp): Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – x^2 + mx + 5$ có hai điểm cực trị.
A. $m < 1$
B. $m > 1$
C. $m \le 1$
D. $m < 0$
Câu 8 (Thông hiểu): Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị đạo hàm $f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(-1; 1)$
B. $(1; 4)$
C. $(-\infty; -1)$
D. $(4; +\infty)$
Câu 9 (Thông hiểu): Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:
(Tại $x=2$, $f'(x)$ không xác định nhưng $f(x)$ vẫn liên tục và đổi chiều biến thiên từ tăng sang giảm).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số không có cực trị tại $x = 2$.
B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.
D. Hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$.
Câu 10 (Vận dụng): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (2m+3)x – 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $-1 \le m \le 3$
B. $m < -1$ hoặc $m > 3$
C. $-1 < m < 3$
D. $m \le -1$ hoặc $m \ge 3$
Câu 11 (Vận dụng): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 4$ có hai điểm cực trị?
A. Vô số.
B. $m > -3$.
C. $m < -3$.
D. $m = -3$.
Câu 12 (Vận dụng): Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2)$ là:
A. 1
B. 3
C. 5
D. 2
Câu 13 (Vận dụng cao): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x-1)^2(x^2-2x)$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 14 (Vận dụng cao): Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{mx – 4}{x – m}$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
A. $m \in (-2; 2)$
B. $m \in [0; 2)$
C. $m \in (-2; 0]$
D. $m \in (-2; 2]$
PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)
Câu 1 (1,5 điểm): Lập bảng biến thiên và tìm các điểm cực trị của hàm số:
$$y = -x^3 + 3x^2 – 4$$
Câu 2 (1,5 điểm): Xác định giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2 – 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$.