THỜI GIAN: 90 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (28 CÂU – 7.0 ĐIỂM)
Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (1; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
- B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
- C. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
- D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $f(2)$.
Câu 2: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A. $(0; 2)$
- B. $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$
- C. $(-\infty; 2)$
- D. $(0; +\infty)$
Câu 3: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 2$ là:
- A. $(1; 0)$
- B. $(-1; 4)$
- C. $(0; 2)$
- D. $(1; 4)$
Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 – 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ là:
- A. 3
- B. 2
- C. 11
- D. 15
Câu 5: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ là:
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Câu 6: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+2}$?
- A. $y = 2$
- B. $x = 2$
- C. $x = -2$
- D. $y = -2$
Câu 7: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có tiệm cận xiên là:
- A. $y = x+1$
- B. $y = x-1$
- C. $y = x$
- D. $y = 2x$
Câu 8: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x^2 + 1$ là điểm:
- A. $(1; -1)$
- B. $(1; 1)$
- C. $(0; 1)$
- D. $(2; -3)$
Câu 9: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. $ac > 0, bd < 0$
- B. $ad – bc > 0$
- C. $ad – bc < 0$
- D. $c=0$
Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^4 – 2x^2$ và trục hoành là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Câu 11: Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2$. Vận tốc lớn nhất của vật đạt được tại thời điểm $t$ bằng:
- A. $t=3$
- B. $t=6$
- C. $t=0$
- D. $t=9$
Câu 12: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2-4)x + 3$ đạt cực đại tại $x=3$.
- A. $m=1$
- B. $m=5$
- C. $m=1$ hoặc $m=5$
- D. Không tồn tại $m$.
Câu 13: Cho hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
- B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.
- C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ and $(2; +\infty)$.
- D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + mx + 1$ có hai điểm cực trị.
- A. $m < 3$
- B. $m \leq 3$
- C. $m > 3$
- D. $m < 0$
Câu 15: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
- A. 1
- B. 2
- C. 0
- D. 3
Câu 16: Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$. Tính $S = M + m$.
- A. $S = 5$
- B. $S = 4$
- C. $S = 2$
- D. $S = 3$
Câu 17: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
(Giả sử cực đại tại $x=-1, y=3$; cực tiểu tại $x=1, y=-1$).
Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) – 3 = 0$ là:
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Câu 18: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 1$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
- A. $m = -1$
- B. $m = 1$
- C. $m = 2$
- D. $m = 0$
Câu 19: Đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:
- A. $m \in \mathbb{R}$
- B. $m > 1$
- C. $m < -3$
- D. $m < -3$ hoặc $m > 1$
Câu 20: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB = 4km$. Trên bờ biển có một kho hàng tại vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7km$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến $M$ trên bờ biển với vận tốc $3km/h$ rồi đi bộ từ $M$ đến $C$ với vận tốc $5km/h$. Khoảng cách $BM$ bằng bao nhiêu để thời gian di chuyển là ngắn nhất?
- A. $3km$
- B. $4km$
- C. $5km$
- D. $2km$
Câu 21: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}$ là:
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 1
Câu 22: Cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
(Hình vẽ: Đồ thị chữ W, cắt trục tung tại điểm âm, đuôi hướng lên)
- A. $a > 0, b < 0, c < 0$
- B. $a > 0, b > 0, c < 0$
- C. $a < 0, b > 0, c < 0$
- D. $a > 0, b < 0, c > 0$
Câu 23: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
- A. $-2 < m < 2$
- B. $-2 \leq m \leq 2$
- C. $-2 < m \leq -1$
- D. $m > 2$
Câu 24: Một vật nặng được treo vào đầu lò xo làm lò xo dãn ra. Tọa độ của vật tại thời điểm $t$ cho bởi $s(t) = 5\sin(2t)$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \pi/4$ là:
- A. 10
- B. 0
- C. 5
- D. -10
Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:
- A. 2
- B. 4
- C. 1
- D. 5
Câu 26: Đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ và đồ thị hàm số $y = -x^2 + 2$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Câu 27: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận.
- A. $m = 1$ hoặc $m > 1$
- B. $m < 1$
- C. $m = 1$
- D. $m \neq 1$
Câu 28: Một cơ sở sản xuất dự định làm một chiếc thùng hình trụ không nắp có thể tích $V$. Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (diện tích toàn phần nhỏ nhất) thì tỉ số giữa bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của thùng phải bằng:
- A. $r/h = 1$
- B. $r/h = 1/2$
- C. $r/h = 2$
- D. $r/h = 1/3$
PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)
Bài 1 (1.0 điểm): Khảo sát hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = \frac{x+2}{x-1}$.
Bài 2 (1.0 điểm): Biện luận tham số
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^3 – 3x^2 + 2 – m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. (Gợi ý: Sử dụng đồ thị hàm số đã khảo sát ở các bài trước).
Bài 3 (1.0 điểm): Toán thực tế (Tối ưu hóa)
Một tấm tôn hình vuông cạnh $60 cm$. Người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập lên để thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp thu được là lớn nhất.