THỜI GIAN: 45 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)
Câu 1: Trong vật lý, đạo hàm bậc nhất của quãng đường $s(t)$ theo thời gian $t$ đại diện cho đại lượng nào?
- A. Gia tốc.
- B. Vận tốc tức thời.
- C. Lực.
- D. Công suất.
Câu 2: Gia tốc tức thời của một chuyển động tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc mấy của hàm quãng đường $s(t)$?
- A. Bậc nhất.
- B. Bậc hai.
- C. Bậc ba.
- D. Không phải đạo hàm.
Câu 3: Ý nghĩa của bài toán tối ưu hóa trong kinh tế là gì?
- A. Tìm cách để doanh thu thấp nhất.
- B. Tìm giá trị lớn nhất (lợi nhuận) hoặc giá trị nhỏ nhất (chi phí).
- C. Vẽ đồ thị tăng trưởng của doanh nghiệp.
- D. Tính tổng số nhân viên.
Câu 4: Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = t^2 + 2t$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ là:
- A. 5
- B. 8
- C. 6
- D. 10
Câu 5: Tốc độ thay đổi của diện tích hình vuông theo cạnh $a$ khi $a = 5$ là bao nhiêu?
- A. 10
- B. 25
- C. 20
- D. 5
Câu 6: Một công ty sản xuất $x$ sản phẩm với chi phí $C(x) = x^2 + 10x + 100$. Chi phí biên (tốc độ thay đổi chi phí) tại mức sản xuất 50 sản phẩm là:
- A. 100
- B. 110
- C. 120
- D. 60
Câu 7: Một quả bóng được ném lên cao có độ cao $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Độ cao cực đại mà quả bóng đạt được là:
- A. 21m
- B. 20m
- C. 15m
- D. 25m
Câu 8: Để rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $100 m^2$ cạnh bức tường thẳng (không cần rào cạnh tường), chu vi rào ngắn nhất khi kích thước các cạnh là:
- A. $10m \times 10m$
- B. $5m \times 20m$
- C. $20m \times 5m$
- D. Một kết quả khác.
Câu 9: Cho hàm lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 100x – 500$. Để lợi nhuận tối đa, doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
- A. 100
- B. 50
- C. 25
- D. 500
Câu 10: Tốc độ thay đổi thể tích của một khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ theo bán kính $r$ khi $r = 2$ là:
- A. $16\pi$
- B. $4\pi$
- C. $8\pi$
- D. $12\pi$
Câu 11: Một chiếc hộp không nắp được làm từ một tấm nhôm hình vuông cạnh $12 cm$ bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông cạnh $x$ ở 4 góc rồi gập lên. Thể tích hộp lớn nhất khi $x$ bằng:
- A. $2 cm$
- B. $3 cm$
- C. $4 cm$
- D. $1 cm$
Câu 12: Khi sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm, doanh thu là $R(x)$ và chi phí là $C(x)$. Điều kiện để lợi nhuận đạt cực trị là:
- A. $R(x) = C(x)$
- B. $R'(x) = C'(x)$
- C. $R'(x) = 0$
- D. $C'(x) = 0$
Câu 13: Một đoàn tàu chuyển động chậm dần đều rồi dừng hẳn. Phương trình quãng đường là $s(t) = 20t – 0.5t^2$. Tàu dừng hẳn sau bao lâu?
- A. 10 giây
- B. 20 giây
- C. 40 giây
- D. 5 giây
Câu 14: Nhu cầu của một mặt hàng được tính bởi $D(p) = 100 – 2p$ ($p$ là giá). Doanh thu $R(p) = p \cdot D(p)$ đạt cực đại tại giá $p$ bằng:
- A. 50
- B. 25
- C. 20
- D. 10
PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)
Bài 1 (1.5 điểm):
Một nông dân có 600m lưới thép gai muốn rào thành hai chuồng gia súc hình chữ nhật bằng nhau và chung nhau một cạnh (như hình vẽ bên dưới). Tìm kích thước của mỗi chuồng để tổng diện tích của hai chuồng là lớn nhất.
Bài 2 (1.5 điểm):
Một người chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ biển muốn đến điểm $C$ trên đảo (như hình vẽ). Khoảng cách từ đảo đến bờ biển là $CB = 3 km$, khoảng cách $AB = 8 km$. Biết rằng người đó có thể chèo thuyền với vận tốc $4 km/h$ và đi bộ trên bờ với vận tốc $5 km/h$. Hỏi người đó nên cập bờ tại điểm $D$ cách $B$ bao nhiêu km để thời gian di chuyển từ $A$ đến $C$ là ít nhất?