Bài 3.16: Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến (với $M$ là trung điểm của $BC$). Chứng minh rằng:
a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$
b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$
c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (Công thức đường trung tuyến)
Giải
a) Chứng minh $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$
Vì $M$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ nên hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù.
$$\Rightarrow \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$$
Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:
$$\cos \widehat{AMC} = \cos(180^\circ – \widehat{AMB}) = -\cos \widehat{AMB}$$
$$\Rightarrow \cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0 \text{ (Đpcm)}$$
b) Chứng minh các hệ thức về bình phương cạnh
Áp dụng định lý Cosin cho:
Tam giác $AMB$: $AB^2 = MA^2 + MB^2 – 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$
Chuyển vế ta được: $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$
Tam giác $AMC$: $AC^2 = MA^2 + MC^2 – 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$
Chuyển vế ta được: $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$
c) Chứng minh công thức đường trung tuyến
Từ câu (b), ta có hai đẳng thức. Hãy cộng chúng lại với nhau:
$$(MA^2 + MB^2 – AB^2) + (MA^2 + MC^2 – AC^2) = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$$
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $MB = MC = \frac{BC}{2}$.
Thay vào:
$$2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC} = 2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC})$$
Theo kết quả câu (a), $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$
Do đó,
$2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC}) = 0$.
Khi đó:
$$2MA^2 + MB^2 + MC^2 – (AB^2 + AC^2) = 0$$
$$2MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2 + AC^2$$
$$2MA^2 + \frac{BC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = AB^2 + AC^2$$
$$2MA^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$$
Nhân cả hai vế với 2:
$$4MA^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$$
$$\Rightarrow 4MA^2 = 2(AB^2 + AC^2) – BC^2$$
$$\Rightarrow MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4} \text{ (Đpcm)}$$