Chứng minh định lý hiệu:
$\lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = a – b$
Giải
Ta có:
$\lim u_n = a \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_1: \forall n > N_1, |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$
$\lim v_n = b \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_2: \forall n > N_2, |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$
Cần chứng minh:
Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|(u_n – v_n) – (a – b)| < \epsilon$.
Biến đổi biểu thức:
Ta nhóm các số hạng tương ứng với nhau:
$$|(u_n – v_n) – (a – b)| = |(u_n – a) – (v_n – b)|$$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
Lưu ý rằng $|A – B| \leq |A| + |B|$.
Do đó:
$$|(u_n – a) – (v_n – b)| \leq |u_n – a| + |-(v_n – b)| = |u_n – a| + |v_n – b|$$
Chọn $N$:
Tương tự như phép cộng, ta chọn $N = \max(N_1, N_2)$.
Khi đó, với mọi $n > N$, ta có đồng thời:$$|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{và} \quad |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$$
Thay vào đánh giá ở bước 2:
$$|(u_n – v_n) – (a – b)| \leq |u_n – a| + |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Kết luận:
Vậy $\lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = a – b$.
