BÀI TẬP
5.1. Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 + n + 1}{2n^2 + 1}$;
b) $\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n^2 + 2n} – n)$.
5.2. Cho hai dãy số không âm $(u_n)$ và $(v_n)$ với $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 3$. Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n^2}{v_n – u_n}$;
b) $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n + 2v_n}$.
5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:
a) $u_n = \frac{n^2 + 1}{2n – 1}$;
b) $v_n = \sqrt{2n^2 + 1} – n$.
5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) $1,(12) = 1,121212…$;
b) $3,(102) = 3,102102102…$
5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc $150$ mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5\%$. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
5.6. Cho tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = h$ và góc $B$ bằng $\alpha$ (H.5.3). Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, sau đó lại kẻ $A_2A_3 \perp BC$. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $AA_1A_2A_3…$ Tính độ dài đường gấp khúc này theo $h$ và $\alpha$.
