TOÁN 11

Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm & Các Số Đặc Trưng (Toán 11)

posted on Tháng 8 7, 2026Tháng 8 7, 2026

Chuyên đề: Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm & Các Số Đặc Trưng (Toán 11)

Thời gian làm bài: 30 – 45 phút | Số lượng: 30 câu

PHẦN I: ĐỌC VÀ HIỂU BẢNG TẦN SỐ MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM (CÂU 1 – 8)

Câu 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm có các nhóm là $[a_i; a_{i+1})$. Độ dài (bề rộng) của nhóm này được tính bằng công thức nào?

A. $L = a_{i+1} – a_i$

B. $L = a_{i+1} + a_i$

C. $L = \frac{a_{i+1} + a_i}{2}$

D. $L = a_{i+1} \cdot a_i$

Câu 2: Giá trị đại diện $x_i$ của nhóm $[a_i; a_{i+1})$ được xác định bởi công thức:

A. $x_i = a_{i+1} – a_i$

B. $x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}$

C. $x_i = a_i + a_{i+1}$

D. $x_i = \frac{a_{i+1}}{a_i}$

Câu 3: Khảo sát thời gian tự học (giờ/ngày) của 40 học sinh thu được bảng tần số:

$[0; 1)$: 5 học sinh
$[1; 2)$: 12 học sinh
$[2; 3)$: 15 học sinh
$[3; 4)$: 8 học sinh

Nhóm có tần số lớn nhất trong mẫu số liệu trên là nhóm nào?

A. $[0; 1)$

B. $[1; 2)$

C. $[2; 3)$

D. $[3; 4)$

Câu 4: Dựa vào bảng tần số ở Câu 3, tổng số học sinh học từ 2 giờ trở lên mỗi ngày là bao nhiêu?

A. 15 học sinh

B. 23 học sinh

C. 17 học sinh

D. 35 học sinh

Câu 5: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của 50 học sinh: $[150; 155)$, $[155; 160)$, $[160; 165)$, $[165; 170)$. Tần số tương ứng là $8, 15, 20, 7$. Tần số tích lũy của nhóm thứ 3 là:

A. 20

B. 23

C. 43

D. 50

Câu 6: Mục đích chính của việc ghép nhóm số liệu khi khảo sát một tập dữ liệu lớn là gì?

A. Tăng số lượng số liệu cần tính toán.

B. Tóm tắt và thu gọn dữ liệu giúp dễ quan sát xu hướng.

C. Làm cho dữ liệu trở nên chính xác tuyệt đối.

D. Loại bỏ các giá trị ngoại lệ bất hợp lý.

Câu 7: Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm từ $[a_1; a_2)$ đến $[a_k; a_{k+1})$ được ước lượng là:

A. $R = a_{k+1} – a_1$

B. $R = a_k – a_1$

C. $R = a_{k+1} – a_2$

D. $R = a_k – a_2$

Câu 8: Giá trị đại diện của nhóm $[160; 170)$ trong một điều tra thống kê là:

A. 160

B. 165

C. 170

D. 10

PHẦN II: TÍNH SỐ ĐẶC TRƯNG – TRUNG BÌNH, TRUNG VỊ VÀ MỐT (CÂU 9 – 18)

Câu 9: Để tính số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, ta sử dụng công thức nào dựa trên các giá trị đại diện $x_i$ và tần số $n_i$?

A. $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{n}$

B. $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

C. $\bar{x} = \frac{\sum n_i}{\sum x_i}$

D. $\bar{x} = \frac{\sum (n_i + x_i)}{n}$

Câu 10: Vị trí của Trung vị $M_e$ chia tập dữ liệu thành mấy phần có số lượng quan sát bằng nhau?

A. 3 phần

B. 2 phần

C. 4 phần

D. 10 phần

Câu 11: Bước đầu tiên bắt buộc khi tìm Trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

A. Tính giá trị đại diện của từng nhóm.

B. Xác định nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$.

C. Tìm nhóm có tần số nhỏ nhất.

D. Áp dụng ngay công thức tính Mốt.

Câu 12: Công thức xấp xỉ Trung vị $M_e$ cho mẫu số liệu ghép nhóm thuộc nhóm $[a_p; a_{p+1})$ là:

A. $M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} – C}{n_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$

B. $M_e = a_p + \frac{n – C}{n_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$

C. $M_e = a_{p+1} – \frac{\frac{n}{2} – C}{n_p}$

D. $M_e = \frac{a_p + a_{p+1}}{2}$

(Trong đó $C$ là tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa trung vị, $n_p$ là tần số nhóm chứa trung vị).

Câu 13: Cho mẫu số liệu ghép nhóm với kích thước mẫu $n = 100$. Nhóm chứa trung vị là nhóm chứa giá trị thứ mấy trong dãy sắp xếp?

A. Thứ 25

B. Thứ 50

C. Thứ 75

D. Thứ 100

Câu 14: Nhóm chứa Mốt ($M_o$) của mẫu số liệu ghép nhóm là nhóm có đặc điểm gì?

A. Nhóm nằm ở vị trí chính giữa bảng.

B. Nhóm có tần số lớn nhất.

C. Nhóm có độ dài rộng nhất.

D. Nhóm có tần số nhỏ nhất.

Câu 15: Khảo sát số tiền chi tiêu (nghìn đồng) của 20 khách hàng:

$[100; 200)$: 4 khách
$[200; 300)$: 10 khách
$[300; 400)$: 6 khách

Số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. 250 nghìn đồng

B. 260 nghìn đồng

C. 270 nghìn đồng

D. 280 nghìn đồng

Câu 16: Dựa vào bảng số liệu Câu 15, nhóm chứa Trung vị là nhóm nào?

A. $[100; 200)$

B. $[200; 300)$

C. $[300; 400)$

D. Không xác định được

Câu 17: Ý nghĩa thực tế của Số trung bình trong mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. Cho biết giá trị xuất hiện nhiều nhất.

B. Đại diện cho giá trị trung bình của toàn bộ dữ liệu quan sát.

C. Cho biết độ phân tán của dữ liệu.

D. Chia dữ liệu thành hai phần bằng nhau.

Câu 18: Trong trường hợp dữ liệu có chứa một vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ (giá trị dị biệt), chỉ số nào phản ánh trung tâm dữ liệu tốt nhất?

A. Số trung bình ($\bar{x}$)

B. Trung vị ($M_e$)

C. Độ dài nhóm ($L$)

D. Khoảng biến thiên ($R$)

PHẦN III: TỨ PHÂN VỊ VÀ PHÂN TÍCH PHÂN BỐ DỮ LIỆU (CÂU 19 – 25)

Câu 19: Các tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia tập dữ liệu đã sắp xếp thành mấy phần có số lượng phần tử bằng nhau?

A. 2 phần

B. 3 phần

C. 4 phần

D. 5 phần

Câu 20: Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là đại lượng nào sau đây?

A. Số trung bình

B. Mốt

C. Trung vị $M_e$

D. Độ lệch chuẩn

Câu 21: Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng giá trị nào?

A. $\frac{n}{4}$

B. $\frac{n}{2}$

C. $\frac{3n}{4}$

D. $\frac{n}{3}$

Câu 22: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng giá trị nào?

A. $\frac{n}{4}$

B. $\frac{n}{2}$

C. $\frac{3n}{4}$

D. $\frac{2n}{3}$

Câu 23: Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu được xác định bằng công thức:

A. $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$

B. $\Delta_Q = Q_3 + Q_1$

C. $\Delta_Q = Q_2 – Q_1$

D. $\Delta_Q = \frac{Q_3 – Q_1}{2}$

Câu 24: Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ dùng để đo đại lượng nào của mẫu số liệu?

A. Độ tập trung trung tâm của dữ liệu.

B. Độ phân tán của 50% số liệu chính giữa.

C. Giá trị lớn nhất của mẫu.

D. Giá trị xuất hiện thường xuyên nhất.

Câu 25: Khi phân tích biểu đồ phân bố dữ liệu, nếu khoảng từ $Q_1$ đến $Q_2$ hẹp hơn nhiều so với khoảng từ $Q_2$ đến $Q_3$, ta kết luận điều gì?

A. Dữ liệu phân bố đều đối xứng hai bên.

B. Dữ liệu ở nửa dưới tập trung đông hơn (lệch phải).

C. Dữ liệu ở nửa trên tập trung đông hơn.

D. Không rút ra được nhận xét gì.

PHẦN IV: PHÂN TÍCH DỮ LIỆU THỰC TẾ & RA QUYẾT ĐỊNH (CÂU 26 – 30)

Câu 26: Thống kê số lượng sản phẩm bán được theo các khung giờ trong ngày của một cửa hàng:

$[6; 10)$: 120 sản phẩm
$[10; 14)$: 80 sản phẩm
$[14; 18)$: 95 sản phẩm
$[18; 22)$: 210 sản phẩm

Khung giờ cao điểm bán chạy nhất (nhóm Mốt) của cửa hàng là:

A. $[6; 10)$

B. $[10; 14)$

C. $[14; 18)$

D. $[18; 22)$

Câu 27: Dựa vào bảng dữ liệu ở Câu 26, người quản lý nên đưa ra quyết định nào sau đây để tối ưu hiệu quả kinh doanh?

A. Giảm bớt nhân viên vào khung giờ $[18; 22)$.

B. Tăng cường nhân sự và hàng hóa trong khung giờ $[18; 22)$.

C. Đóng cửa hàng sau 18 giờ chiều.

D. Chỉ tập trung nhập hàng vào khung giờ $[10; 14)$.

Câu 28: Kết quả khảo sát điểm thi môn Toán của hai lớp 11A và 11B cho thấy cả hai lớp đều có điểm trung bình là 7.5, nhưng khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của lớp 11A là 1.2 và lớp 11B là 2.8. Nhận xét nào sau đây đúng?

A. Lớp 11B học đồng đều hơn lớp 11A.

B. Lớp 11A có học lực đồng đều hơn lớp 11B.

C. Học sinh lớp 11B đạt điểm giỏi nhiều hơn lớp 11A.

D. Hai lớp có mức độ phân tán điểm số như nhau.

Câu 29: Một công ty xe hỏa khảo sát thời gian trễ chuyến (phút) của các đoàn tàu thu được Trung vị $M_e = 4.5$ phút. Ý nghĩa của thông số này là gì?

A. Mọi chuyến tàu đều trễ đúng 4.5 phút.

B. Có 50% số chuyến tàu trễ dưới 4.5 phút và 50% trễ trên 4.5 phút.

C. Chuyến tàu trễ nhiều nhất là 4.5 phút.

D. Trung bình mỗi chuyến tàu trễ 4.5 phút.

Câu 30: Một khảo sát về tuổi thọ của 100 bóng đèn cho kết quả $Q_1 = 1200$ giờ, $Q_3 = 1800$ giờ. Nhà sản xuất cam kết bảo hành cho 25% số bóng đèn có tuổi thọ thấp nhất. Mức thời gian bảo hành hợp lý là bao nhiêu?

A. Dưới 1200 giờ

B. Từ 1200 đến 1800 giờ

C. Trên 1800 giờ

D. 1500 giờ

Giải thích điều kiện: $$\log_a b = x \iff a^x = b$$

posted on Tháng 6 12, 2026Tháng 6 12, 2026

🌍 1. NGUỒN GỐC LỊCH SỬ: VÌ SAO LÔGARIT RA ĐỜI?

Vào thế kỷ 17, các nhà thiên văn học và hàng hải phải đối mặt với một nỗi ác mộng: họ phải thực hiện những phép tính nhân, chia các con số khổng lồ (lên tới hàng chục chữ số) để đo đạc khoảng cách giữa các vì sao. Việc này tốn hàng tháng trời và rất dễ sai sót.

Để giải cứu nhân loại, nhà toán học John Napier đã phát minh ra Lôgarit với một triết lý thần kỳ: Biến phép nhân thành phép cộng, biến phép chia thành phép trừ để tính toán nhanh hơn. Về sau, Lôgarit được định nghĩa chặt chẽ lại dựa trên mối quan hệ “ngược” với phép toán Lũy thừa:

$$\log_a b = x \iff a^x = b$$

🔍 2. Ý NGHĨA CỦA CÁC ĐIỀU KIỆN (VÌ SAO LẠI CÓ LUẬT NÀY?)

Từ chiếc “chìa khóa vàng” $a^x = b$ ở trên, ta sẽ giải mã được tại sao các nhà toán học lại đặt ra luật lệ nghiêm ngặt cho cơ số $a$ và biểu thức $b$:

🔹 Điều kiện 1: Tại sao biểu thức dưới dấu log phải dương ($b > 0$)?

Giải thích: Nhìn vào công thức gốc $a^x = b$. Khi chúng ta chọn một cơ số $a$ là số dương, thì dù ta có nâng lên số mũ $x$ âm, dương hay bằng 0 đi chăng nữa, kết quả của lũy thừa $a^x$ luôn luôn là một số dương.
Ví dụ: $2^3 = 8$, $2^0 = 1$, và thậm chí số mũ âm $2^{-3} = \frac{1}{8}$ thì kết quả vẫn lớn hơn 0. Không có cách nào khiến một số dương tự nhân chính nó mà ra số âm hoặc số 0 được. Vì $a^x$ luôn dương, nên hiển nhiên $b$ phải dương ($b > 0$).

🔹 Điều kiện 2: Tại sao cơ số phải dương ($a > 0$)?

Giải thích: Nếu ta cho phép cơ số $a$ âm (ví dụ $a = -2$), phép toán lũy thừa $(-2)^x$ sẽ bị lỗi ngay lập tức khi số mũ $x$ là một phân số.
Ví dụ: Với $x = \frac{1}{2}$, ta có $(-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2}$. Đây là một số vô nghĩa trong tập số thực! Để đảm bảo hàm số lôgarit luôn hoạt động mượt mà và liên tục với mọi số thực $x$, người ta phải cấm cơ số âm.

🔹 Điều kiện 3: Tại sao cơ số phải khác 1 ($a \neq 1$)?

Giải thích: Hãy tưởng tượng nếu cho $a = 1$, ta sẽ có phương trình $1^x = b$.
- Nếu ta tính $\log_1 5 = x \iff 1^x = 5$ ➜ Điều này là vô lý (không có số $x$ nào biến 1 thành 5 được).
- Nếu ta tính $\log_1 1 = x \iff 1^x = 1$ ➜ Điều này lại đúng với vô số số $x$ (vì 1 mũ mấy cũng bằng 1).
Vì cơ số 1 vừa gây ra vô lý, vừa gây ra vô định, nên nó hoàn toàn vô dụng trong toán học. Do đó ta phải loại bỏ nó ($a \neq 1$).

Vận dụng. Trang 115 – SGK Toán 11

posted on Tháng 3 29, 2026Tháng 3 29, 2026tagged as Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với $A(a; 0)$ và $B(0; 1)$ như Hình 5.5 ($a > 0$). Đường cao $OH$ có độ dài là $h$.

a) Tính $h$ theo $a$.

b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục $Ox$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?

Giải

a) Tính $h$ theo $a$

Ta có $OA = |a| = a$ (vì $a > 0$) và $OB = 1$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAB$:

$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{1^2} = \frac{1 + a^2}{a^2}$$

$$\implies h^2 = \frac{a^2}{a^2 + 1} \implies h = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$

Khi $A$ dịch chuyển về $O$, tức là $a \to 0^+$.

Ta có:

$$\lim_{a \to 0^+} h = \lim_{a \to 0^+} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} = 0$$

Giải thích:

Khi $a$ càng nhỏ, cạnh $OA$ càng ngắn lại, làm cho đường cao $OH$ cũng ngắn dần về $0$. Khi đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về gốc tọa độ $O$.

c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực ($a \to +\infty$)

Ta cần tính giới hạn của $h$ khi $a$ tiến ra vô cực:

$$\lim_{a \to +\infty} h = \lim_{a \to +\infty} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$

Chia cả tử và mẫu cho $a$ (với $a > 0$):

$$\lim_{a \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{a^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1$$

Giải thích:

Về độ dài: $h$ tiến dần về $1$ (chính bằng độ dài $OB$).

Về vị trí: Khi $A$ ở rất xa, cạnh huyền $AB$ gần như nằm ngang và trùng với trục $Ox$. Khi đó, đường cao $OH$ hạ từ $O$ xuống $AB$ sẽ gần như thẳng đứng và trùng với trục $Oy$. Do đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về điểm $B(0; 1)$.

Giới hạn. Hàm số liên tục

Vận dụng. Trang 115 – SGK Toán 11

Th3 29, 2026 137 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

Th3 29, 2026 124 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

Th3 29, 2026 113 1 min read

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

posted on Tháng 3 29, 2026Tháng 3 29, 2026tagged as Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

Giải

Tiêu chuẩn Weierstrass

Hàm số $f(x)$ có giới hạn là $L$ khi $x \to +\infty$ nếu:

Với mọi số thực $\epsilon > 0$ bé tùy ý, luôn tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho:

$$\forall x > M \implies |f(x) – L| < \epsilon$$

Chứng minh cụ thể cho $f(x) = \frac{1}{x^k}$ với $L = 0$

Ta cần tìm một số $M$ (phụ thuộc vào $\epsilon$) sao cho hễ $x > M$ thì $|\frac{1}{x^k} – 0| < \epsilon$.

Phân tích biểu thức

Ta muốn có:

$$|\frac{1}{x^k}| < \epsilon$$

Vì ta đang xét $x \to +\infty$, có thể giả sử $x > 0$. Khi đó biểu thức tương đương với:

$$\frac{1}{x^k} < \epsilon$$

$$\iff x^k > \frac{1}{\epsilon}$$

$$\iff x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$

Chọn số $M$

Dựa vào phân tích trên, với mỗi số $\epsilon > 0$ cho trước, ta chọn:

$$M = \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$

Kết luận

Với mọi $x > M$, ta có:

$$x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}} \implies x^k > \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{x^k} < \epsilon$$

Điều này chứng tỏ rằng $|f(x) – 0| < \epsilon$ luôn đúng khi $x > M$.

Vậy, theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta đã chứng minh được:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^k} = 0$

Giới hạn. Hàm số liên tục

Vận dụng. Trang 115 – SGK Toán 11

Th3 29, 2026 137 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

Th3 29, 2026 124 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

Th3 29, 2026 113 1 min read

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

posted on Tháng 3 29, 2026Tháng 3 29, 2026tagged as Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Chứng minh định lý về hằng số:

$\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

Giải

Xét một dãy số $(x_n)$ bất kỳ sao cho $x_n \to +\infty$ (hoặc $-\infty$).

Xét hàm số hằng $f(x) = c$. Điều này có nghĩa là với mọi giá trị của $x$, kết quả luôn luôn là $c$.

Khi đó, dãy giá trị tương ứng là $f(x_n) = c, c, c, \dots$ (một dãy số hằng).

Theo lý thuyết giới hạn của dãy số, giới hạn của một dãy hằng số chính là hằng số đó: $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = c$.

Kết luận:

Vì kết quả đúng với mọi dãy $(x_n)$, nên theo định nghĩa: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$.

Giới hạn. Hàm số liên tục

Vận dụng. Trang 115 – SGK Toán 11

Th3 29, 2026 137 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)

Th3 29, 2026 124 2 min read

Giới hạn. Hàm số liên tục

Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$

Th3 29, 2026 113 1 min read

Chứng minh Giới hạn của Căn thức $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$

posted on Tháng 3 28, 2026Tháng 3 28, 2026tagged as Giới hạn của Hàm số tại một điểm

Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L > 0$, chứng minh $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.

Giải

Ta xét hiệu: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| = \left| \frac{(\sqrt{f(x)} – \sqrt{L})(\sqrt{f(x)} + \sqrt{L})}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{L}} \right| = \frac{|f(x) – L|}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{L}}$

Vì $f(x) \geq 0$ và $\sqrt{L} > 0$, ta có mẫu số $\sqrt{f(x)} + \sqrt{L} \geq \sqrt{L}$.

Do đó: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| \leq \frac{|f(x) – L|}{\sqrt{L}}$

Với mọi $\epsilon > 0$, vì $\lim f(x) = L$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho $|f(x) – L| < \epsilon \cdot \sqrt{L}$.

Khi đó: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| < \frac{\epsilon \cdot \sqrt{L}}{\sqrt{L}} = \epsilon$.

Vậy $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.

Chứng minh Giới hạn của Thương $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$

posted on Tháng 3 28, 2026Tháng 3 28, 2026tagged as Giới hạn của Hàm số tại một điểm

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$;

Chứng minh $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ (với $M \neq 0$).

Giải

Chứng minh:

$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}$

Xét hiệu:

$\left| \frac{1}{g(x)} – \frac{1}{M} \right| = \frac{|M – g(x)|}{|g(x)| \cdot |M|} = \frac{|g(x) – M|}{|g(x)| \cdot |M|}$

Chặn mẫu số:

Vì $\lim g(x) = M \neq 0$, chọn $\epsilon_0 = \frac{|M|}{2} > 0$. Tồn tại $\delta_1 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$ thì $|g(x) – M| < \frac{|M|}{2}$.

Suy ra: $|g(x)| > |M| – \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}$.
Khi đó: $\frac{1}{|g(x)|} < \frac{2}{|M|}$.

Kiểm soát tử số:

Với $\epsilon > 0$ bất kỳ, tồn tại $\delta_2 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$ thì $|g(x) – M| < \frac{\epsilon \cdot M^2}{2}$.

Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó:

$$\left| \frac{1}{g(x)} – \frac{1}{M} \right| = \frac{|g(x) – M|}{|g(x)| \cdot |M|} < \frac{|g(x) – M|}{\frac{|M|}{2} \cdot |M|} = \frac{2 \cdot |g(x) – M|}{M^2}$$

Ta có: $\frac{2}{M^2} \cdot \frac{\epsilon \cdot M^2}{2} = \epsilon$.

Sau khi có $\lim \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}$, ta áp dụng định lý tích:

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = L \cdot \frac{1}{M} = \frac{L}{M}$$

Chứng minh Giới hạn của Tích $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$

posted on Tháng 3 28, 2026Tháng 3 28, 2026tagged as Giới hạn của Hàm số tại một điểm

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$;

Chứng minh $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$.

Giải

Ta cần chứng minh:

Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|f(x)g(x) – LM| < \epsilon$.

Sử dụng kỹ thuật thêm bớt hạng tử trung gian $f(x)M$:

$$|f(x)g(x) – LM| = |f(x)g(x) – f(x)M + f(x)M – LM|$$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A + B| \leq |A| + |B|$:

$$|f(x)g(x) – LM| \leq |f(x)| \cdot |g(x) – M| + |M| \cdot |f(x) – L| \quad (*)$$

Chặn hàm số $f(x)$

Vì $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, nên với sai số $\epsilon_1 = 1$, luôn tồn tại $\delta_1 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$ thì:

$$|f(x) – L| < 1 \implies |f(x)| < |L| + 1$$

Đặt $K = \max(|L| + 1, |M|)$. Khi đó, $|f(x)|$ và $|M|$ đều bị chặn bởi $K$.

Kiểm soát các sai số thành phần

Với mọi $\epsilon > 0$ cho trước, ta chọn:

$\delta_2 > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta_2$ thì $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2K}$.
$\delta_3 > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta_3$ thì $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2K}$.

Tổng hợp kết quả

Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)$. Khi đó, với mọi $x$ thỏa mãn $0 < |x – x_0| < \delta$, thay vào biểu thức $(*)$ ta có:

$$|f(x)g(x) – LM| \leq |f(x)| \cdot |g(x) – M| + |M| \cdot |f(x) – L|$$

$$< K \cdot \frac{\epsilon}{2K} + K \cdot \frac{\epsilon}{2K}$$

$$= \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Kết luận

Vậy theo định nghĩa Weierstrass, ta có:

$$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$

Chứng minh Giới hạn của Hiệu $\lim_{x \to x_0} [f(x) – g(x)] = L – M$

posted on Tháng 3 28, 2026Tháng 3 28, 2026tagged as Giới hạn của Hàm số tại một điểm

Bài toán: Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$, chứng minh $\lim_{x \to x_0} [f(x) – g(x)] = L – M$.

Giải

Cho trước $\epsilon > 0$. Ta cần tìm $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|(f(x) – g(x)) – (L – M)| < \epsilon$.

Ta có: $|(f(x) – g(x)) – (L – M)| = |(f(x) – L) – (g(x) – M)|$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A – B| \leq |A| + |B|$:

$$|(f(x) – L) – (g(x) – M)| \leq |f(x) – L| + |g(x) – M|$$

Vì $\lim f(x) = L$ và $\lim g(x) = M$, nên với $\frac{\epsilon}{2} > 0$:

Tồn tại $\delta_1 > 0$ để $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$.
Tồn tại $\delta_2 > 0$ để $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$.

Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó với $0 < |x – x_0| < \delta$:

$$|f(x) – g(x) – (L – M)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Chứng minh Giới hạn của Tổng: $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$

posted on Tháng 3 28, 2026Tháng 3 28, 2026tagged as Giới hạn của Hàm số tại một điểm

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ thỏa mãn:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{và} \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = M$$

Chứng minh:

$$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$$

Giải

Cho trước một số $\epsilon > 0$ bất kỳ. Ta cần tìm $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|(f(x) + g(x)) – (L + M)| < \epsilon$.

Theo giả thiết:

Với $\frac{\epsilon}{2} > 0$, tồn tại $\delta_1 > 0$ để $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$.

Với $\frac{\epsilon}{2} > 0$, tồn tại $\delta_2 > 0$ để $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$.

Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó, với $0 < |x – x_0| < \delta$, cả hai bất đẳng thức trên đều đúng.

Sử dụng bất đẳng thức tam giác: $|A + B| \leq |A| + |B|$, ta có:$$|(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + (g(x) – M)|$$$$\leq |f(x) – L| + |g(x) – M|$$$$< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Vậy $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$.