9.1. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = x^2 – x$ tại $x_0 = 1$;
b) $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$.
9.2. Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = kx^2 + c$ (với $k, c$ là các hằng số);
b) $y = x^3$.
9.3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$;
b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$.
9.4. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $19,6$ m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19,6t – 4,9t^2$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
9.5. Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $0,5$ và $-0,75$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại $P$ và phương trình của parabol là $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$ tính bằng mét.
a) Tìm $c$.
b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m. Tìm $a$.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$.
