7.5. Cho hình chóp $S.ABC$ có các đặc điểm sau:
- Đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ ($AB = AC$).
- Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy: $SA \perp (ABC)$.
- $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAM)$.
b) Tam giác $SBC$ là tam giác cân tại $S$.
Bài giải
a) Chứng minh $BC \perp (SAM)$
Xét đáy $ABC$:
Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $M$ là trung điểm của $BC$, nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao của tam giác. $\Rightarrow BC \perp AM$ (1).
Xét quan hệ với đường cao $SA$:
Theo giả thiết, $SA \perp (ABC)$. Mà $BC$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.$\Rightarrow SA \perp BC$ hay $BC \perp SA$ (2).
Kết luận:
Trong mặt phẳng $(SAM)$, ta có $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là $AM$ và $SA$ (tại điểm $A$).
Vậy $BC \perp (SAM)$ (Điều phải chứng minh).
b) Chứng minh tam giác $SBC$ cân tại $S$
Cách 1 (Sử dụng đường cao và trung tuyến):
Từ kết quả câu (a), ta có $BC \perp (SAM)$. Mà đường thẳng $SM$ nằm trong mặt phẳng $(SAM)$.
Suy ra $BC \perp SM$ tại $M$. Điều này có nghĩa $SM$ là đường cao của $\triangle SBC$.
Mặt khác, $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết), nên $SM$ cũng là đường trung tuyến.
Trong $\triangle SBC$, đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao nên $\triangle SBC$ cân tại $S$ (Điều phải chứng minh).
Cách 2 (Sử dụng định lý Pitago ):
Xét $\triangle SAB$ và $\triangle SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA \perp$ đáy).
Ta có: $SB^2 = SA^2 + AB^2$ và $SC^2 = SA^2 + AC^2$.
Mà $AB = AC$ ($\triangle ABC$ cân tại $A$).
Suy ra $SB^2 = SC^2 \Rightarrow SB = SC$.
Vậy $\triangle SBC$ cân tại $S$.