1. Đề bài
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Biết rằng $SA = SC$ và $SB = SD$. Chứng minh rằng đường thẳng $SO$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.
2. Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức trọng tâm sau:
Lý thuyết cần nhớ:
- Tính chất hình bình hành: Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Tính chất tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.
- Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.$$\begin{cases} d \perp a \\ d \perp b \\ a, b \subset (P); a \cap b = \{I\} \end{cases} \Rightarrow d \perp (P)$$
Phương pháp giải:
- Sử dụng tính chất tâm $O$ của hình bình hành để xác định các trung điểm.
- Xét các tam giác cân $SAC$ và $SBD$ để chỉ ra $SO$ vuông góc với hai đường chéo $AC$ và $BD$.
- Kết luận $SO \perp (ABCD)$ dựa trên định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
3. Bài giải chi tiết
Bước 1: Xác định vai trò của điểm $O$
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, nên $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Theo tính chất hình bình hành, $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Bước 2: Chứng minh $SO \perp AC$
Xét tam giác $SAC$:
- Có $SA = SC$ (giả thiết) $\Rightarrow \triangle SAC$ cân tại $S$.
- $O$ là trung điểm của $AC$.
- Do đó, $SO$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\triangle SAC$.
- Suy ra: $SO \perp AC$ (1).
Bước 3: Chứng minh $SO \perp BD$
Xét tam giác $SBD$:
- Có $SB = SD$ (giả thiết) $\Rightarrow \triangle SBD$ cân tại $S$.
- $O$ là trung điểm của $BD$.
- Do đó, $SO$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\triangle SBD$.
- Suy ra: $SO \perp BD$ (2).
Bước 4: Kết luận
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, ta có:
- $SO \perp AC$ (theo 1)
- $SO \perp BD$ (theo 2)
- $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$.Vậy $SO \perp (ABCD)$ (Điều phải chứng minh).