Bài tập cuối chương V

A – TRẮC NGHIỆM

5.18. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \sqrt{n^2 + 1} – \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
B. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.
C. $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
D. $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.

5.19. Cho $u_n = \frac{2 + 2^2 + \dots + 2^n}{2^n}$. Giới hạn của dãy số $(u_n)$ bằng:

A. 1.
B. 2.
C. -1.
D. 0.

5.20. Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với $u_n = \frac{2}{3^n}$. Tổng của cấp số nhân này bằng:

A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 6.

5.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x + 1} – \sqrt{x + 2}$. Mệnh đề đúng là:

A. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
B. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
C. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -1$.
D. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{1}{2}$.

5.22. Cho hàm số $f(x) = \frac{x – x^2}{|x|}$. Khi đó $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ bằng:

A. 0.
B. 1.
C. $+\infty$.
D. -1.

5.23. Cho hàm số $f(x) = \frac{x + 1}{|x + 1|}$. Hàm số $f(x)$ liên tục trên:

A. $(-\infty; +\infty)$.
B. $(-\infty; -1]$.
C. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
D. $[-1; +\infty)$.

5.24. Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + x – 2}{x – 1} & \text{nếu } x \neq 1 \\ a & \text{nếu } x = 1 \end{cases}$. Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$ khi:

A. $a = 0$.
B. $a = 3$.
C. $a = -1$.
D. $a = 1$.

B – TỰ LUẬN

5.25. Cho dãy số $(u_n)$ có tính chất $|u_n – 1| < \frac{2}{n}$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

5.26. Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) $u_n = \frac{n^2}{3n^2 + 7n – 2}$;
b) $v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{3^k + 5^k}{6^k}$;
c) $w_n = \frac{\sin n}{4n}$.

5.27. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) $1,(01)$;
b) $5,(132)$.

5.28. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 7} \frac{\sqrt{x + 2} – 3}{x – 7}$;
b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 – 1}{x^2 – 1}$;
c) $\lim_{x \to 1} \frac{2 – x}{(1 – x)^2}$;
d) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$.

5.29. Tính các giới hạn một bên:

a) $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 – 9}{|x – 3|}$;
b) $\lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 – x}}$.

5.30. Chứng minh rằng giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}$ không tồn tại.

5.31. Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho:

a) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{nếu } x \neq 0 \\ 1 & \text{nếu } x = 0 \end{cases}$ tại điểm $x = 0$;
b) $g(x) = \begin{cases} 1 + x & \text{nếu } x < 1 \\ 2 – x & \text{nếu } x \ge 1 \end{cases}$ tại điểm $x = 1$.

5.32. Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm Trái Đất là:

$$F(r) = \begin{cases} \frac{GMr}{R^3} & \text{nếu } r < R \\ \frac{GM}{r^2} & \text{nếu } r \ge R \end{cases}$$

Trong đó $M$ và $R$ lần lượt là khối lượng và bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số $F(r)$.

5.33. Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm này liên tục trên các khoảng xác định của chúng:

a) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 + 5x + 6}$;
b) $g(x) = \frac{x – 2}{\sin x}$.

5.34. Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{nếu } x \le a \\ x^2 & \text{nếu } x > a \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.