BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
A – TRẮC NGHIỆM
6.27. Cho hai số thực dương $x, y$ và hai số thực $\alpha, \beta$ tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $x^{\alpha} \cdot x^{\beta} = x^{\alpha+\beta}$
B. $x^{\alpha} \cdot y^{\beta} = (xy)^{\alpha+\beta}$
C. $(x^{\alpha})^{\beta} = x^{\alpha \cdot \beta}$
D. $(xy)^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot y^{\alpha}$
6.28. Rút gọn biểu thức $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} : x^{\frac{5}{8}}$ ($x > 0$) ta được:
A. $\sqrt[4]{x}$
B. $\sqrt{x}$
C. $\sqrt[8]{x}$
D. $\sqrt[6]{x}$
6.29. Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\log_a(a^3b^2) = 3 + \log_a b$
B. $\log_a(a^3b^2) = 3 + 2\log_a b$
C. $\log_a(a^3b^2) = \frac{3}{2} + \log_a b$
D. $\log_a(a^3b^2) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\log_a b$
6.30. Cho bốn số thực dương $a, b, x, y$ với $a, b \neq 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
B. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y$
C. $\log_a \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_a x}$
D. $\log_a b \cdot \log_b x = \log_a x$
6.31. Đặt $\log_2 5 = a, \log_3 5 = b$. Khi đó, $\log_6 5$ tính theo $a$ và $b$ bằng:
A. $\frac{ab}{a+b}$
B. $\frac{1}{a+b}$
C. $a^2 + b^2$
D. $a + b$
6.32. Cho hàm số $y = 2^x$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
B. Tập giá trị của hàm số là $(0; +\infty)$.
C. Đồ thị của hàm số cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm.
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
6.33. Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = \log_{0,5} x$ B. $y = e^{-x}$ C. $y = \left( \frac{1}{3} \right)^x$ D. $y = \ln x$
6.34. Cho đồ thị ba hàm số $y = \log_a x, y = \log_b x$ và $y = \log_c x$ như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $a > b > c$
B. $b > a > c$
C. $a > c > b$
D. $b > c > a$
B – TỰ LUẬN
6.35. Cho $0 < a \neq 1$. Tính giá trị của biểu thức:
$$B = \log_a \left( \frac{a^2 \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}} \right) + a^{2\log_a \frac{\sqrt{105}}{30}}$$
6.36. Giải các phương trình sau:
a) $3^{1-2x} = 4^x$
b) $\log_3(x+1) + \log_3(x+4) = 2$
6.37. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{4^x – 2^{x+1}}$
b) $y = \ln(1 – \ln x)$
6.38. Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là $5\%$ một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất $5\%$ của 1 triệu đồng, tức là 50 000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là:
$$A = P \cdot \left( 1 – \frac{r}{100} \right)^n$$
a) Nếu tỉ lệ lạm phát là $8\%$ một năm thì sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm còn lại bao nhiêu?
b) Nếu sức mua của 100 triệu đồng sau hai năm chỉ còn là 90 triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
6.39. Tăng trưởng vi khuẩn:
Số lượng vi khuẩn $N(t)$ sau $t$ giờ được tính theo công thức $N(t) = N_0 e^{rt}$. Giả sử ban đầu có 500 con và sau 1 giờ tăng lên 800 con.
a) Sau 5 giờ số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
b) Sau bao lâu số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi so với ban đầu?
6.40. Định luật Benford:
Xác suất để chữ số $d$ là chữ số đầu tiên của một bộ số được tính bởi: $P = \log \frac{d+1}{d}$.
a) Viết công thức tìm chữ số $d$ nếu cho trước xác suất $P$.
b) Tìm chữ số có xác suất bằng $9,7\%$ được chọn.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là 1.