Blog

1. Đề bài

Câu 63: Anh Hùng muốn gửi tiết kiệm để sau $3$ năm có $800$ triệu đồng mua xe. Biết lãi suất hàng tháng là $0,6\%$, tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là như nhau. Anh Hùng phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây:

A. $19.785 .000$ đồng.

B. $19.895 .000$ đồng.

C. $19.975 .000$ đồng.

D. $19.665 .000$ đồng.

Chọn đáp án B.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Đây là bài toán Gửi tiền định kỳ hàng tháng (đầu mỗi tháng gửi vào một số tiền $a$ cố định).

Công thức tổng quát

Nếu mỗi tháng gửi số tiền $a$ với lãi suất hàng tháng là $r$. Sau $n$ tháng, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được là $S_n$:

$$S_n = \frac{a}{r}(1+r)[(1+r)^n – 1]$$

Thành phần công thức:

• $S_n$: Số tiền mục tiêu cần đạt được ($800.000 .000$ đồng).
• $a$: Số tiền gửi hàng tháng (cần tìm).
• $r$: Lãi suất mỗi định kỳ ($0,6\% = 0,006$).
• $n$: Số kỳ hạn gửi ($3 \text{ năm} = 36 \text{ tháng}$).

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Xác định các dữ kiện

• Tổng tiền mong muốn: $S_n = 800$ (triệu đồng).
• Lãi suất: $r = 0,6\% = 0,006$.
• Thời gian: $n = 3 \times 12 = 36$ (tháng).

Bước 2: Thay vào công thức

Ta có phương trình:

$$800 = \frac{a}{0,006}(1+0,006)[(1+0,006)^{36} – 1]$$

Bước 3: Giải tìm $a$

$$a = \frac{800 \times 0,006}{(1,006)[(1,006)^{36} – 1]}$$

Tính toán máy tính:

• Tử số: $800 \times 0,006 = 4,8$
• Mẫu số: $1,006 \times (1,006^{36} – 1) \approx 0,2414$
• $a \approx 19,8839$ (triệu đồng)

Đổi ra đơn vị đồng: $19.883 .900$ đồng.

Bước 4: Đối chiếu đáp án

Số tiền $19.883 .900$ gần nhất với giá trị $19.895 .000$ đồng.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Bấm máy Casio)

Để giải nhanh bài này trên máy tính cầm tay, bạn thực hiện quy trình sau:

1. Sử dụng tính năng SOLVE: Nhập biểu thức vào máy tính:$$800 = \frac{X}{0.006} \times 1.006 \times (1.006^{36} – 1)$$(Thay $a$ bằng biến $X$)
2. Bấm tổ hợp phím: SHIFT + CALC (SOLVE) rồi ấn =
3. Kết quả hiện ra: $X \approx 19,88394…$
4. So sánh: Nhìn vào các phương án, ta thấy $19,883$ triệu đồng gần nhất với đáp án B.

Chọn đáp án B.

📝 Đề bài

Câu 62: Cho phương trình $\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1$ với $m$ là tham số thực. Tập hợp tất cả giá trị của $m$ để phương trình trên vô nghiệm là:

A. $\left( \frac{1}{2}; \infty \right)$.

B. $\left( \frac{1}{2}; 2 \right)$.

C. $\left( -\infty; \frac{1}{2} \right]$.

D. $(-\infty; 2)$.

---

📚 Công thức và Lý thuyết

Đối với phương trình dạng $\sqrt{f(x)} = g(x)$, ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$

Lưu ý: Chúng ta không cần đặt điều kiện $f(x) \geq 0$ vì nó đã bằng một bình phương ($[g(x)]^2$) nên hiển nhiên không âm.

Phương pháp giải bài toán chứa tham số:

1. Biến đổi phương trình về dạng $m = h(x)$ (cô lập tham số).
2. Tìm điều kiện của $x$ từ bất phương trình $g(x) \geq 0$.
3. Khảo sát hàm số $h(x)$ trên miền xác định của $x$ để tìm điều kiện có nghiệm.
4. Lấy phần bù để tìm giá trị $m$ khiến phương trình vô nghiệm.

---

✍️ Bài giải chi tiết

Bước 1: Biến đổi phương trình

$$\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x – 1 \geq 0 \\ -x^2 + mx = (2x – 1)^2 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ -x^2 + mx = 4x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ mx = 5x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$

Bước 2: Cô lập $m$

Vì $x \geq \frac{1}{2} > 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $x$:

$$m = \frac{5x^2 – 4x + 1}{x} = 5x – 4 + \frac{1}{x}$$

Bước 3: Khảo sát hàm số $h(x) = 5x + \frac{1}{x} – 4$ trên $[1/2; +\infty)$

Xét đạo hàm: $h'(x) = 5 – \frac{1}{x^2}$.

$h'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.

Giá trị này nhỏ hơn $1/2$, nên trên khoảng $[1/2; +\infty)$, $h'(x) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.

• Tại $x = \frac{1}{2}$: $h(1/2) = 5(1/2) + \frac{1}{1/2} – 4 = 2.5 + 2 – 4 = 0.5$.
• Khi $x \to +\infty$: $h(x) \to +\infty$.

Vậy để phương trình có nghiệm, ta cần $m \geq \frac{1}{2}$.

Bước 4: Kết luận

Phương trình vô nghiệm khi $m < \frac{1}{2}$. Đối chiếu các phương án, tập hợp giá trị là $(-\infty; 1/2)$.

Chọn đáp án: C. (Lưu ý: Trong các đề thi trắc nghiệm đôi khi có sự sai sót nhỏ về ngoặc vuông/tròn ở đáp án, dựa trên logic toán học ở đây là $m < 1/2$).

---

⚡ Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

Nếu bạn muốn thử nhanh các giá trị để loại trừ:

1. Thử $m = 0$: Phương trình thành $\sqrt{-x^2} = 2x – 1$. Vế trái chỉ xác định khi $x=0$, nhưng khi $x=0$ vế phải bằng $-1$. Vậy $m=0$ vô nghiệm $\rightarrow$ Loại A, B.
2. Thử $m = 2$: Phương trình $\sqrt{-x^2+2x} = 2x-1 \Leftrightarrow 5x^2-8x+1=0$. Bấm máy tính thấy có nghiệm $x \approx 1.46$ (thỏa mãn $\geq 0.5$). Vậy $m=2$ có nghiệm $\rightarrow$ Loại D.
3. Chỉ còn lại C.

Chiến lược siêu nhận thức: Khi giải toán chứa tham số, việc “cô lập $m$” và dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên là con đường an toàn nhất. Đừng quên điều kiện của vế không chứa căn nhé!

📝 Đề bài

Câu 61: Một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi là $24$ (đơn vị dài). Biết rằng diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật là $4$ (đơn vị diện tích). Hiệu giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là:

A. $2$.

B. $4$.

C. $6$.

D. $8$.

Chọn đáp án: B.

---

📚 Công thức và Lý thuyết

Để giải bài toán này, ta cần nhớ sau:

1. Hình vuông (cạnh $a$):
   • Chu vi: $C = 4a$
   • Diện tích: $S_{hv} = a^2$
2. Hình chữ nhật (chiều dài $L$, chiều rộng $W$):
   • Chu vi: $C = 2(L + W)$
   • Diện tích: $S_{hcn} = L \times W$
3. Mối liên hệ: Trong các hình có cùng chu vi, hình vuông luôn là hình có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Từ chu vi hình vuông, tìm độ dài cạnh hình vuông.
• Bước 2: Tính diện tích hình vuông, từ đó suy ra diện tích hình chữ nhật.
• Bước 3: Sử dụng tổng (từ chu vi) và tích (từ diện tích) để tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

---

✍️ Bài giải chi tiết

1. Tìm cạnh và diện tích hình vuông:
   • Cạnh hình vuông là: $a = 24 : 4 = 6$.
   • Diện tích hình vuông là: $S_{hv} = 6^2 = 36$.
2. Tìm diện tích hình chữ nhật:
   • Theo đề bài: $S_{hcn} = S_{hv} – 4 = 36 – 4 = 32$.
3. Tìm chiều dài ($L$) và chiều rộng ($W$) của hình chữ nhật:
   • Ta có hệ phương trình:
     • Tổng: $L + W = 24 : 2 = 12$
     • Tích: $L \times W = 32$
   • Chúng ta tìm hai số có tổng là $12$ và tích là $32$. Đó chính là $8$ và $4$ (vì $8 + 4 = 12$ và $8 \times 4 = 32$).
   • Vậy chiều dài $L = 8$ và chiều rộng $W = 4$.
4. Tính hiệu giữa chiều dài và chiều rộng:
   • $Hiệu = L – W = 8 – 4 = 4$.

Chọn đáp án: B.

---

⚡ Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

Nếu bạn đang trong phòng thi và cần tốc độ, hãy nhớ công thức liên hệ giữa diện tích hình vuông và hình chữ nhật khi có cùng chu vi:

$$S_{hv} – S_{hcn} = \left( \frac{L – W}{2} \right)^2$$

Giải thích nhanh: Nếu gọi $d$ là hiệu nửa cạnh (tức là $L = a+d$ và $W = a-d$), thì hiệu diện tích luôn là $d^2$. Ở đây $L-W = 2d$.

Áp dụng vào bài:

1. Hiệu diện tích là $4$.
2. Suy ra $\left( \frac{L-W}{2} \right)^2 = 4 \Rightarrow \frac{L-W}{2} = 2$.
3. Vậy $L – W = 4$. (Chọn ngay B không cần tính diện tích cụ thể!).

Sự thật thú vị: Hình vuông là một “trường hợp đặc biệt” của hình chữ nhật khi hiệu giữa hai cạnh bằng $0$. Càng kéo dãn hình chữ nhật ra (hiệu càng lớn) thì diện tích càng giảm dù chu vi không đổi!