Blog

1. Đề bài

Câu 73. Gọi $x$ là số bánh loại A và $y$ là số bánh loại B. Hệ bất phương trình biểu diễn các ràng buộc về nguyên liệu là gì?

---

2. Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải

Lý thuyết cần nhớ:

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Có dạng tổng quát là $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq, <, >$).
• Đổi đơn vị: Trong các bài toán thực tế, cần đưa tất cả các đại lượng về cùng một đơn vị đo (ví dụ: cùng là gam hoặc cùng là kilôgam).
• Điều kiện thực tế: Số lượng vật phẩm sản xuất ra ($x, y$) luôn phải không âm ($x \geq 0, y \geq 0$).

Phương pháp giải:

1. Đổi đơn vị: Đưa tất cả khối lượng về đơn vị gam (g).
2. Lập bảng tóm tắt: Phân tích lượng bột và lượng thịt cần thiết cho từng loại bánh.
3. Thiết lập bất phương trình: Dựa trên nguyên tắc: (Tổng lượng sử dụng) $\leq$ (Lượng có sẵn).
4. Kết hợp điều kiện: Thêm điều kiện $x, y \geq 0$.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Đổi đơn vị

• 5 kg bột = 5000 g bột.
• 1 kg thịt = 1000 g thịt.

Bước 2: Phân tích các ràng buộc

• Về lượng bột:
  • Bánh A cần 200 g $\rightarrow$ $x$ chiếc cần $200x$ (g).
  • Bánh B cần 100 g $\rightarrow$ $y$ chiếc cần $100y$ (g).
  • Tổng bột sử dụng không quá 5000 g: $200x + 100y \leq 5000$.
• Về lượng thịt:
  • Bánh A cần 25 g $\rightarrow$ $x$ chiếc cần $25x$ (g).
  • Bánh B cần 50 g $\rightarrow$ $y$ chiếc cần $50y$ (g).
  • Tổng thịt sử dụng không quá 1000 g: $25x + 50y \leq 1000$.
• Điều kiện số lượng: $x \geq 0, y \geq 0$.

Bước 3: Tổng hợp hệ bất phương trình

$$\begin{cases} 200x + 100y \leq 5000 \\ 25x + 50y \leq 1000 \\ x, y \geq 0 \end{cases}$$

=> Đáp án đúng là: A.

---

4. Cách làm nhanh – Mẹo trắc nghiệm

Khi làm trắc nghiệm dạng này, bạn có thể “liếc nhanh” qua các bước sau để loại trừ đáp án:

1. Kiểm tra đơn vị: Thấy 5 kg và 1 kg mà trong đáp án có số 5000 và 1000 thì đó là manh mối đúng. (Loại ngay các đáp án nhầm số như B).
2. Ghép cặp nguyên liệu:
   • Bột đi với bột: $200$ (của A) và $100$ (của B) phải nằm chung một dòng với số $5000$.
   • Thịt đi với thịt: $25$ (của A) và $50$ (của B) phải nằm chung một dòng với số $1000$.
3. So khớp:
   • Nhìn vào dòng 1 của đáp án A: $200x + 100y \leq 5000$ (Khớp!).
   • Nhìn vào dòng 2 của đáp án A: $25x + 50y \leq 1000$ (Khớp!).

Sự thật thú vị: Đây chính là bước đầu tiên của bài toán “Quy hoạch tuyến tính”. Nếu biết thêm giá tiền mỗi chiếc bánh, chúng ta có thể tìm ra chính xác cần làm bao nhiêu bánh mỗi loại để thu được lợi nhuận cao nhất đấy!

1. Viết đề lại

Câu 72: Xét hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x(x – 2)$ và đồ thị $(C)$ của nó thì đi qua gốc toạ độ. Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành.

A. $0$.

B. $-\frac{27}{4}$.

C. $4$.

D. $\frac{27}{4}$.

---

2. Công thức, lý thuyết và phương pháp giải

Lý thuyết và Công thức:

• Tìm hàm số gốc: Hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$.$$f(x) = \int f'(x) dx$$
• Điều kiện đi qua một điểm: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ nghĩa là tại $x = 0$ thì $y = 0$, hay $f(0) = 0$. Dữ kiện này dùng để tìm hằng số $C$ sau khi lấy nguyên hàm.
• Diện tích hình phẳng: Diện tích $S$ của phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành ($y = 0$) và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (với $a, b$ là hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành, $a < b$) được tính bằng công thức:$$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

Phương pháp giải:

1. Tính tích phân bất định của $f'(x)$ để tìm $f(x)$ (sẽ chứa hằng số $C$).
2. Thay $x = 0, y = 0$ vào $f(x)$ để tìm $C$, từ đó có hàm số $f(x)$ cụ thể.
3. Lập phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = 0$ để tìm các cận tích phân (các nghiệm $x$).
4. Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng. Có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân để tính cho nhanh: $S = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right|$.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm hàm số $f(x)$

Ta có: $f'(x) = 3x(x – 2) = 3x^2 – 6x$

Suy ra:

$$f(x) = \int (3x^2 – 6x) dx = x^3 – 3x^2 + C$$

Vì đồ thị $(C)$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ nên $f(0) = 0$.

Thay $x = 0$ vào, ta được:

$$0^3 – 3 \cdot 0^2 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$$

Vậy hàm số là: $f(x) = x^3 – 3x^2$.

Bước 2: Tìm cận tích phân

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành là:

$$x^3 – 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x – 3) = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} \right.$$

Bước 3: Tính diện tích

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$$S = \int_{0}^{3} |x^3 – 3x^2| dx$$

$$S = \left| \int_{0}^{3} (x^3 – 3x^2) dx \right|$$

$$S = \left| \left( \frac{x^4}{4} – x^3 \right) \Bigg|_{0}^{3} \right|$$

$$S = \left| \left( \frac{3^4}{4} – 3^3 \right) – 0 \right| = \left| \frac{81}{4} – 27 \right| = \left| -\frac{27}{4} \right| = \frac{27}{4}$$

Kết luận: Đáp án đúng là D.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Bấm máy Casio)

Với câu trắc nghiệm này, bạn có thể kết hợp nhẩm và bấm máy tính để ra kết quả trong vòng 15 giây:

1. Nhẩm nhanh hàm số: $f'(x) = 3x^2 – 6x \rightarrow f(x) = x^3 – 3x^2$. (Do qua gốc tọa độ nên phần hệ số tự do bằng $0$).
2. Mẹo loại đáp án: Diện tích hình phẳng luôn là một số dương (lớn hơn 0 vì đồ thị không trùng hoàn toàn với trục hoành). Ta loại ngay đáp án A ($0$) và B ($-\frac{27}{4}$).
3. Bấm máy:
   • Bấm giải phương trình bậc 3: $x^3 – 3x^2 = 0 \Rightarrow$ máy báo 2 nghiệm là $x = 3$ và $x = 0$.
   • Bấm trực tiếp phép tính tích phân có dấu giá trị tuyệt đối (Shift + ( trên nhiều dòng Casio để hiện chữ Abs):$$\int_{0}^{3} |X^3 – 3X^2| dX$$
   • Máy tính sẽ trả ra kết quả là $6.75$. Chuyển sang phân số bằng nút $S \Leftrightarrow D$, ta được $\frac{27}{4}$. Chọn D.

1. Đề bài

Câu 71: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0; 2]$ và thỏa mãn $\int_{0}^{2} f(x) dx = 7$. Tính giá trị $I = \int_{2}^{0} (f(x) – x) dx$.

A. $5$.

B. $-5$.

C. $-3$.

D. $3$.

2. Công thức và Lý thuyết

• Đảo cận tích phân: $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$.
• Tính chất tuyến tính: $\int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx – \int_{a}^{b} g(x) dx$.
• Công thức cơ bản: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$.

3. Bài giải chi tiết

• Tách tích phân:$I = \int_{2}^{0} f(x) dx – \int_{2}^{0} x dx$
• Sử dụng tính chất đảo cận:$I = -\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{0}^{2} x dx$
• Thay số và tính toán:Theo đề: $\int_{0}^{2} f(x) dx = 7$.Tính $\int_{0}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} – \frac{0^2}{2} = 2$.$\Rightarrow I = -7 + 2 = -5$.

Kết luận: Chọn đáp án B.

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

• Nhìn nhanh cận tích phân bị ngược ($2$ đến $0$), kết quả sẽ là:$I = -(\int_{0}^{2} f(x) dx – \int_{0}^{2} x dx) = -(7 – 2) = -5$.
• Bấm máy tính: - (7 - integral(X, 0, 2)) $\rightarrow$ Kết quả -5.

1. Đề bài

Câu 70: Cho hàm số $y = x \cdot e^x$. Tập nghiệm của bất phương trình $y” – y’ – y > 0$ là:

A. $(-1; +\infty)$.

B. $(+\infty; 1)$.

C. $(1; +\infty)$.

D. $(+\infty; -1)$.

---

2. Công thức và Lý thuyết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:

• Đạo hàm của tích: $(u \cdot v)’ = u’v + uv’$.
• Đạo hàm hàm số mũ: $(e^x)’ = e^x$.
• Đạo hàm cấp hai: $y” = (y’)’$.
• Giải bất phương trình tích: Lưu ý rằng $e^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên ta có thể chia cả hai vế cho $e^x$ mà không làm đổi chiều bất phương trình.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một ($y’$)

Sử dụng công thức đạo hàm của tích với $u=x$ và $v=e^x$:

$$y’ = (x)’ \cdot e^x + x \cdot (e^x)’$$

$$y’ = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$$

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai ($y”$)

Tiếp tục đạo hàm biểu thức vừa tìm được:

$$y” = [(1 + x)e^x]’ = (1 + x)’ \cdot e^x + (1 + x) \cdot (e^x)’$$

$$y” = 1 \cdot e^x + (1 + x)e^x = (1 + 1 + x)e^x = (2 + x)e^x$$

Bước 3: Thay vào bất phương trình $y” – y’ – y > 0$

$$(2 + x)e^x – (1 + x)e^x – x e^x > 0$$

Đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

$$e^x \cdot [(2 + x) – (1 + x) – x] > 0$$

$$e^x \cdot [2 + x – 1 – x – x] > 0$$

$$e^x \cdot (1 – x) > 0$$

Bước 4: Giải bất phương trình

Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta chỉ cần:

$$1 – x > 0 \Leftrightarrow x < 1$$

Vậy tập nghiệm là $(-\infty; 1)$.

Lưu ý về đáp án: Nhìn vào các lựa chọn trong ảnh, dường như có một sự nhầm lẫn nhỏ ở đề bài hoặc đáp án. Kết quả tính toán chính xác là $x < 1$. Tuy nhiên, nếu đề bài là $y’ + y – y” > 0$ hoặc một biến thể khác, kết quả sẽ khác. Dựa trên các lựa chọn hiện có, không có phương án nào khớp hoàn toàn với $(-\infty; 1)$. Nếu đây là lỗi đánh máy của đề và ý là $x > 1$, đáp án sẽ là C.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

• Nhận xét nhanh đạo hàm cấp $n$: Đối với hàm $y = x e^x$, đạo hàm cấp $n$ có dạng tổng quát là $y^{(n)} = (x + n)e^x$.
  • $y’ = (x + 1)e^x$
  • $y” = (x + 2)e^x$
• Thế nhanh vào bất phương trình:$$(x+2)e^x – (x+1)e^x – x e^x > 0 \Rightarrow x+2 – x-1 – x > 0 \Rightarrow 1-x > 0 \Rightarrow x < 1.$$
• Kiểm tra đáp án bằng máy tính: Nhập $y” – y’ – y$ vào máy tính (dùng tính năng đạo hàm $d/dx$ tại một điểm cụ thể). Thử với $x=0$ (thuộc tập $x<1$), nếu kết quả $>0$ thì giá trị đó đúng.

1. Đề bài

Câu 69: Cho hàm số:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\ m + 1, & x = 2 \end{cases}$$

với $m$ là tham số thực. Giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$ là:

A. $m = 3$.

B. $m = 2$.

C. $m = 4$.

D. $m = 1$.

---

2. Công thức và Lý thuyết

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Các bước giải chung:

1. Tính giá trị của hàm số tại điểm đó: Tìm $f(x_0)$.
2. Tính giới hạn của hàm số: Tìm $L = \lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Lập phương trình: Cho $f(x_0) = L$ để tìm tham số $m$.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Tính $f(2)$

Theo đề bài, tại $x = 2$, hàm số có giá trị là:

$$f(2) = m + 1$$

Bước 2: Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} f(x)$

$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$$

Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$. Ta thực hiện phân tích tử số thành nhân tử:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)$$

Thay $x = 2$ vào biểu thức, ta được:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$$

Bước 3: Tìm $m$

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$, ta cần:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$

$$\Leftrightarrow 4 = m + 1$$

$$\Leftrightarrow m = 3$$

Kết luận: Chọn đáp án A.

---

4. Cách làm nhanh (Mẹo Trắc nghiệm)

Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể rút ngắn các bước như sau:

1. Nhẩm nhanh biểu thức giới hạn: Nhìn vào $\frac{x^2-4}{x-2}$, bạn thấy ngay nó rút gọn còn $(x+2)$. Thay $x=2$ vào được 4.
2. Thiết lập phương trình nhẩm: $m + 1 = 4$.
3. Kết quả: $m = 3$ (Chưa đầy 10 giây).

Mẹo máy tính Casio: Nếu biểu thức phức tạp, bạn nhập $\frac{X^2-4}{X-2}$ vào máy tính rồi nhấn phím CALC với $X = 2.000001$. Máy sẽ hiện kết quả xấp xỉ 4, sau đó bạn giải $m+1 = 4$.

1. Đề bài

Câu 68: Cho tam giác $ABC$ có $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$. Biết $b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$, khi đó số đo của góc $A$ bằng:

A. $30^\circ$.

B. $45^\circ$.

C. $60^\circ$.

D. $120^\circ$.

Chọn đáp án C.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:

• Định lý Cosin: Trong tam giác $ABC$, ta có:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
• Phương pháp: Biến đổi biểu thức đại số đã cho để làm xuất hiện cụm $(b^2 + c^2 – a^2)$, từ đó thay thế vào công thức tính $\cos A$.

---

3. Bài giải chi tiết

Từ giả thiết của đề bài:

$$b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$$

Bước 1: Khai triển và nhóm các hạng tử

$$b^3 – ba^2 = ca^2 – c^3$$

$$b^3 + c^3 – ba^2 – ca^2 = 0$$

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung

• Nhóm $(b^3 + c^3)$ và $-(ba^2 + ca^2)$:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2) – a^2(b + c) = 0$$
• Đặt $(b + c)$ làm nhân tử chung:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2 – a^2) = 0$$

Bước 3: Biện luận

Vì $b$ và $c$ là độ dài các cạnh của tam giác nên $b + c > 0$. Do đó, ta phải có:

$$b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$$

$$\implies b^2 + c^2 – a^2 = bc$$

Bước 4: Tính góc A

Thay kết quả trên vào công thức định lý Cosin:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$$

Vì $0^\circ < A < 180^\circ$, suy ra $A = 60^\circ$.

Chọn đáp án C.

---

4. Cách làm nhanh Trắc nghiệm

Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể “nhẩm” nhanh theo các bước sau để tiết kiệm thời gian:

1. Nhìn nhanh cấu trúc: Thấy $b^3$ và $c^3$ ở hai vế ngược dấu, hãy chuyển chúng về một bên để tạo hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $(b+c)(b^2 – bc + c^2)$.
2. Gom cụm $a^2$: Hai hạng tử còn lại là $-ba^2$ và $-ca^2$, gom lại thành $-a^2(b+c)$.
3. Triệt tiêu $b+c$: Vì $b+c \neq 0$, bạn chỉ cần quan tâm đến phần còn lại: $b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$.
4. Định lý Cosin thu gọn: Nhận ra $b^2 + c^2 – a^2 = bc$. Chia cả hai vế cho $2bc$, ta có ngay $\cos A = \frac{1}{2}$.
5. Kết luận: $\cos A = 0.5 \rightarrow A = 60^\circ$.

Câu 67: Tập nghiệm của phương trình $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$ là:

A. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

B. $S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

C. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

D. $S = \left\{ \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

 Đáp án đúng là A.

---

Hướng dẫn giải nhanh:

Để giải phương trình này, bạn sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$.

1. Thay vào phương trình: $(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$
2. Rút gọn thành phương trình bậc hai: $-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$
3. Nghiệm của phương trình là $\sin x = 1$ hoặc $\sin x = \frac{1}{2}$.
4. Giải các phương trình lượng giác cơ bản này sẽ ra đáp án A.

---

1. Công thức và Lý thuyết cần nhớ

Để giải dạng bài này, bạn cần nắm vững các nhóm kiến thức sau:

• Công thức nhân đôi: $$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$$(Đây là chìa khóa để đưa phương trình về cùng một hàm số $\sin x$).
• Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng $at^2 + bt + c = 0$ với $t = \sin x$ (điều kiện $|t| \le 1$).
• Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
  • $\sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
  • $\sin x = \sin \alpha \iff \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases}$

---

2. Phương pháp giải

1. Biến đổi: Sử dụng công thức nhân đôi để chuyển $\cos 2x$ về $\sin x$.
2. Đặt ẩn phụ (nếu cần): Đặt $t = \sin x$ để đưa về phương trình đại số bậc hai.
3. Giải phương trình: Tìm nghiệm $t$, đối chiếu điều kiện $|t| \le 1$.
4. Kết luận: Từ $t$ tìm ra các họ nghiệm $x$.

---

3. Bài giải chi tiết

Phương trình: $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$

Bước 1: Thay $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$ vào phương trình:

$$(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$$

Bước 2: Thu gọn phương trình:

$$-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$:

Đặt $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$), ta có: $-2t^2 + 3t – 1 = 0$.

Các hệ số $a + b + c = (-2) + 3 + (-1) = 0$, nên phương trình có hai nghiệm:

• $t_1 = 1$ (Thỏa mãn)
• $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ (Thỏa mãn)

Bước 4: Tìm nghiệm $x$:

• Với $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
• Với $\sin x = \frac{1}{2} \iff \sin x = \sin \frac{\pi}{6}$:$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases}$$

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là:

$$S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$$

$\Rightarrow$ Đáp án đúng là A.

Câu 66: Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch mở rộng mạng lưới dịch vụ của mình tại một khu vực gồm sáu thị trấn: $A, B, C, D, E$ và $F$. Để cung cấp dịch vụ internet và điện thoại đến từng thị trấn, công ty cần phải kéo cáp ngầm nối các thị trấn với nhau. Mỗi đoạn cáp nối hai thị trấn có một chi phí nhất định, tùy thuộc vào khoảng cách địa lý và điều kiện địa hình. Sơ đồ dưới đây thể hiện các tuyến cáp có thể xây dựng, cùng với chi phí đi kèm (tính bằng nghìn đô la) cho từng tuyến.

Chi phí tối thiểu (nghìn đô la) mà công ty phải bỏ ra để xây dựng hệ thống cáp sao cho tất cả sáu thị trấn đều được kết nối với nhau là:

A. 780
B. 820
C. 760
D. 800

Đáp án đúng: A.

---

Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải

Lý thuyết

• Đồ thị: Tập hợp các đỉnh (thị trấn) và các cạnh (tuyến cáp) nối chúng.
• Cây khung (Spanning Tree): Là một đồ thị con chứa tất cả các đỉnh của đồ thị ban đầu, liên thông và không có chu trình. Với $n$ đỉnh, cây khung sẽ có đúng $n-1$ cạnh.
• Cây khung nhỏ nhất (MST): Là cây khung có tổng trọng số (chi phí) của các cạnh là nhỏ nhất.

Phương pháp giải: Thuật toán Kruskal

Đây là phương pháp nhanh nhất cho các bài toán trắc nghiệm:

1. Liệt kê tất cả các cạnh theo thứ tự trọng số từ nhỏ đến lớn.
2. Lựa chọn lần lượt các cạnh có trọng số nhỏ nhất.
3. Điều kiện: Nếu việc thêm một cạnh tạo thành một chu trình (vòng khép kín) thì bỏ qua cạnh đó.
4. Dừng lại khi đã chọn đủ $n-1$ cạnh (ở bài này là $6-1 = 5$ cạnh).

---

Bài giải chi tiết hoàn chỉnh

Dựa vào sơ đồ, ta có danh sách các cạnh và chi phí tương ứng:

• $BD = 100$
• $BE = 120$
• $AC = 140$
• $DF = 160$
• $DE = 180$
• $EF = 220$
• $CD = 260$
• $AB = 300$

Các bước thực hiện thuật toán Kruskal:

1. Chọn cạnh $BD$ (chi phí $100$).
2. Chọn cạnh $BE$ (chi phí $120$).
3. Chọn cạnh $AC$ (chi phí $140$).
4. Chọn cạnh $DF$ (chi phí $160$).
   • Lúc này đã có 4 cạnh nối các đỉnh: $\{A, C\}$ và $\{B, D, E, F\}$.
5. Xét cạnh tiếp theo là $DE$ (chi phí $180$): Loại, vì $B, D, E$ đã tạo thành một phần của mạng lưới, thêm $DE$ sẽ tạo chu trình $B-D-E-B$.
6. Xét cạnh tiếp theo là $EF$ (chi phí $220$): Loại, vì tạo chu trình $B-D-F-E-B$.
7. Chọn cạnh $CD$ (chi phí $260$): Nhận, vì nó kết nối hai cụm $\{A, C\}$ và $\{B, D, E, F\}$ lại với nhau.

Tổng chi phí tối thiểu là:

$$T = 100 (BD) + 120 (BE) + 140 (AC) + 160 (DF) + 260 (CD)$$

$$T = 780$$

Đáp án đúng: A.

---

Cách giải nhanh bằng Trắc nghiệm

Khi làm trắc nghiệm, bạn không cần viết ra, chỉ cần dùng bút chì khoanh trực tiếp vào hình:

1. Tìm số bé nhất: Khoanh $100$.
2. Số bé tiếp theo: Khoanh $120$, $140$, $160$.
3. Đếm số cạnh: Đã được $4$ cạnh. Cần $5$ cạnh cho $6$ thị trấn.
4. Xét số tiếp theo là $180$: Thấy nó tạo thành tam giác $BDE \rightarrow$ Bỏ qua.
5. Xét số tiếp theo là $220$: Thấy nó tạo thành vòng khép kín $B-D-F-E \rightarrow$ Bỏ qua.
6. Xét số tiếp theo là $260$: Nhận (nối được điểm $C$ vào cụm còn lại).
7. Cộng nhẩm: $100+120+140+160+260 = 780$.

Mẹo nhỏ: Luôn nhớ nguyên tắc “Không tạo vòng khép kín” và “Số cạnh = Số đỉnh – 1”.

1. Đề bài

Câu 64: Cho $a = \log_2 5$ và $b = \log_5 3$. Biết $\log_{24} 15 = \dfrac{ma + ab}{n + ab}$ với $m, n$ là các số nguyên. Giá trị của $S = m^2 + n^2$ là:

A. $2$.

B. $5$.

C. $13$.

D. $10$.

Chọn đáp án D.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Các công thức lôgarit cần dùng:

1. Quy tắc đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
2. Quy tắc tích (vòng): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$
3. Lôgarit của một tích: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
4. Lôgarit của một lũy thừa: $\log_a x^k = k \log_a x$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Biểu diễn các số hạng trong biểu thức cần tính ($\log_{24} 15$) theo cùng một cơ số xuất hiện ở $a$ và $b$. Ở đây, ta thấy sự kết nối qua số $5$ ($a$ có cơ số $2$ số thực $5$, $b$ có cơ số $5$). Tuy nhiên, đưa về cơ số $2$ là thuận tiện nhất.
• Bước 2: Tính các tích $ab$ và các thành phần lẻ để thay vào biểu thức.
• Bước 3: Đồng nhất hệ số để tìm $m, n$ và tính $S$.

---

3. Bài giải chi tiết

Ta có:

• $a = \log_2 5$
• $b = \log_5 3$
• Suy ra: $ab = \log_2 5 \cdot \log_5 3 = \log_2 3$

Biến đổi $\log_{24} 15$ bằng cách chèn cơ số $2$:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 15}{\log_2 24}$$

Phân tích các số $15$ và $24$ ra thừa số nguyên tố:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $24 = 2^3 \cdot 3$

Thay vào biểu thức:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 (3 \cdot 5)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{\log_2 2^3 + \log_2 3}$$

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{3 + \log_2 3}$$

Thay $a = \log_2 5$ và $ab = \log_2 3$ vào:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{a + ab}{3 + ab}$$

So sánh với dạng bài cho $\dfrac{ma + ab}{n + ab}$, ta được:

• $m = 1$
• $n = 3$

Tính giá trị $S$:

$$S = m^2 + n^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$

Chọn đáp án D.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Sử dụng máy tính Casio)

Nếu bạn muốn tiết kiệm thời gian trong phòng thi, hãy sử dụng tính năng gán biến (Store):

1. Lưu biến:
   • Bấm log(2, 5) rồi gán vào biến A (STO -> A).
   • Bấm log(5, 3) rồi gán vào biến B (STO -> B).
2. Tính giá trị biểu thức đề bài:
   • Bấm log(24, 15), kết quả xấp xỉ $0.8505…$
3. Thử đáp án hoặc giải hệ:
   • Dựa vào biểu thức $\dfrac{mA + AB}{n + AB} = \log_{24} 15$, ta có thể thử các cặp $(m, n)$ nhỏ.
   • Dễ thấy khi $m=1, n=3$: Bấm (A + A*B) / (3 + A*B) sẽ ra đúng kết quả $0.8505…$ của $\log_{24} 15$.
4. Kết luận: $1^2 + 3^2 = 10$.

Mẹo: Trong các bài toán dạng này, $m$ và $n$ thường là các số nguyên nhỏ (1, 2, 3…). Việc thử trực tiếp vào biểu thức trên máy tính thường nhanh hơn giải tự luận nếu bạn không thạo các quy tắc đổi cơ số.