Danh mục: TOÁN 11

BÀI TẬP

1.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1 – \cos x}{\sin x}$;

b) $y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2 – \cos x}}$.

1.16. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \sin 2x + \tan 2x$;

b) $y = \cos x + \sin^2 x$;

c) $y = \sin x \cos 2x$;

d) $y = \sin x + \cos x$.

1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y = 2 \sin \left( x – \frac{\pi}{4} \right) – 1$;

b) $y = \sqrt{1 + \cos x} – 2$.

1.18. Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x = 0$.

1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h(t) = 90 \cos \left( \frac{\pi}{10} t \right)$, trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

BÀI TẬP

1.7. Sử dụng $15^\circ = 45^\circ – 30^\circ$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^\circ$.

1.8. Tính:

a) $\cos \left( a + \frac{\pi}{6} \right)$, biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

b) $\tan \left( a – \frac{\pi}{4} \right)$, biết $\cos a = -\frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.

1.9. Tính $\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a$, biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}$.

1.10. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = \frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{15}}{\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} – \sin \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}}$;

b) $B = \sin \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8}$.

1.11. Chứng minh đẳng thức sau:

$$\sin(a + b) \sin(a – b) = \sin^2 a – \sin^2 b = \cos^2 b – \cos^2 a.$$

1.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^\circ$; $\widehat{C} = 45^\circ$ và $a = BC = 12 \text{ cm}$.

a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} ab \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ cho bởi công thức:

$$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$$

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.

1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$, $A$ là biên độ dao động $(A > 0)$ và $\varphi \in [-\pi; \pi]$ là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

$$x_1(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{6} \right) \text{ (cm),}$$

$$x_2(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} t – \frac{\pi}{3} \right) \text{ (cm).}$$

Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

BÀI TẬP

1.1. Hoàn thành bảng sau:

Số đo độ	15∘	?	0∘	900∘	?	?
Số đo radian	?	$\frac{3\pi}{8}$	?	?	$-\frac{7\pi}{12}$	$-\frac{11\pi}{8}$

1.2. Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\pi}{12}$;

b) $1,5$;

c) $35^\circ$;

d) $315^\circ$.

1.3. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm $M$ biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\pi}{3}$;

b) $-\frac{11\pi}{4}$;

c) $150^\circ$;

d) $-225^\circ$.

1.4. Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết:

a) $\cos \alpha = \frac{1}{5}$ và $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

b) $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

c) $\tan \alpha = \sqrt{5}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

d) $\cot \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

1.5. Chứng minh các đẳng thức:

a) $\cos^4 \alpha – \sin^4 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1$;

b) $\frac{\cos^2 \alpha + \tan^2 \alpha – 1}{\sin^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$.

1.6. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.