Câu 2.23: Cho dãy số $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
A. $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
B. $u_n = \frac{(-1)^n}{2^{n-1}}$.
C. $u_n = \frac{1}{2n}$.
D. $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.
Câu 2.24: Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 3n + 6$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 3$.
B. Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d = 6$.
C. Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 3$.
D. Dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q = 6$.
Câu 2.25: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
A. $u_1 = -1, u_{n+1} = u_n^2$.
B. $u_1 = -1, u_{n+1} = 2u_n$.
C. $u_1 = -1, u_{n+1} = u_n + 2$.
D. $u_1 = -1, u_{n+1} = u_n – 2$.
Câu 2.26: Tổng 100 số hạng đầu của dãy số $(u_n)$ với $u_n = 2n – 1$ là:
A. $199$.
B. $2^{100} – 1$.
C. $10.000$.
D. $9.999$.
B – TỰ LUẬN
Câu 2.27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Câu 2.28: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Câu 2.29: Chứng minh rằng:
a) Trong một cấp số cộng $(u_n)$, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ với $k \geq 2$.
b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ với $k \geq 2$.
Câu 2.30: Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Câu 2.31: Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ $n$ so với mặt sân.
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Câu 2.32: Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?
2.15. Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) $1, 4, 16, \dots;$
b) $2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots$
2.16. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội $q$ và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.
a) $u_n = 5n;$
b) $u_n = 5^n;$
c) $u_1 = 1, u_n = n u_{n-1};$
d) $u_1 = 1, u_n = 5u_{n-1}.$
2.17. Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
2.18. Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5 115?
2.19. Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.
2.20. Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.
2.21. Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kế trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.
2.8. Xác định công sai $d$, số hạng thứ 5 ($u_5$), số hạng tổng quát ($u_n$) và số hạng thứ 100 ($u_{100}$) của mỗi cấp số cộng sau:
a) $4, 9, 14, 19, \dots$
b) $1, -1, -3, -5, \dots$
2.9. Viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu có, tìm $d$ và viết số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$:
a) $u_n = 3 + 5n$
b) $u_n = 6n – 4$
c) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + n$
d) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + 3$
2.10. Một cấp số cộng có $u_5 = 18$ và $u_{12} = 32$. Tìm $u_{50}$.
2.11. Một cấp số cộng có $u_1 = 5$ và $d = 2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu để có tổng $S_n = 2700$?
2.12. Giá xe ô tô mới là $680$ triệu đồng. Sau mỗi năm, giá giảm $55$ triệu đồng. Tính giá xe sau $5$ năm sử dụng.
2.13. Hội trường có hàng ghế 1 là $15$ ghế, hàng 2 là $18$ ghế, hàng 3 là $21$ ghế (mỗi hàng sau hơn hàng trước $3$ ghế). Để tổng số ghế ít nhất là $870$, cần tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
2.14. Năm 2020, dân số là $1,2$ triệu người. Mỗi năm tăng thêm $30$ nghìn người. Ước tính dân số vào năm 2030.
2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát cho bởi:
a) $u_n = 3n – 2$;
b) $u_n = 3 \cdot 2^n$;
c) $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
2.2. Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $u_1 = 1, u_n = n \cdot u_{n-1}$ với $n \geq 2$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.
2.3. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n = 2n – 1$;
b) $u_n = -3n + 2$;
c) $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}$.
2.4. Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_n = n – 1$;
b) $u_n = \frac{n+1}{n+2}$;
c) $u_n = \sin n$;
d) $u_n = (-1)^{n-1} n^2$.
2.5. Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1.
2.6. Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức:
$$A_n = 100 \left(1 + \frac{0,06}{12}\right)^n$$
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
2.7. Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi $A_n$ ($n \in \mathbb{N}$) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau $n$ tháng.
a) Tìm lần lượt $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_n)$.
1.24. Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = -\frac{5\pi}{6}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, $\gamma = \frac{25\pi}{3}$, $\delta = \frac{17\pi}{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
A. $\beta$ và $\gamma$.
B. $\alpha, \beta, \gamma$.
C. $\beta, \gamma, \delta$.
D. $\alpha$ và $\beta$.
1.25. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha$.
B. $\cos(\pi – \alpha) = \cos \alpha$.
C. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$.
D. $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.
1.26. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\cos(a – b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$.
B. $\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$.
C. $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$.
D. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
1.27. Rút gọn biểu thức $M = \cos(a + b)\cos(a – b) – \sin(a + b)\sin(a – b)$, ta được
A. $M = \sin 4a$.
B. $M = 1 – 2\cos^2 a$.
C. $M = 1 – 2\sin^2 a$.
D. $M = \cos 4a$.
1.28. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là $[-1; 1]$.
C. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
1.29. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A. $y = \tan x + x$.
B. $y = x^2 + 1$.
C. $y = \cot x$.
D. $y = \frac{\sin x}{x}$.
1.30. Đồ thị của các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[ -2\pi; \frac{5\pi}{2} \right]$?
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
1.31. Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x}{\sin x – 1}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \{k2\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi | k \in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
B – TỰ LUẬN
1.32. Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$;
b) $\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$;
c) $\sin\left( \alpha – \frac{\pi}{3} \right)$;
d) $\cos\left( \alpha – \frac{\pi}{6} \right)$.
1.33. Cho góc bất kì $\alpha$. Chứng minh các đẳng thức sau:
b) $\cos^4 \alpha – \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$.
1.34. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = 2\cos\left( 2x – \frac{\pi}{3} \right) – 1$;
b) $y = \sin x + \cos x$.
1.35. Giải các phương trình sau:
a) $\cos\left( 3x – \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b) $2\sin^2 x – 1 + \cos 3x = 0$;
c) $\tan\left( 2x + \frac{\pi}{5} \right) = \tan\left( x – \frac{\pi}{6} \right)$.
1.36. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số
$$p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t),$$
trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số $p(t)$.
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
1.37. Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới $i$ liên hệ với góc khúc xạ $r$ bởi Định luật khúc xạ ánh sáng
$$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1}$$
Ở đây, $n_1$ và $n_2$ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới $i = 50^\circ$, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
c) $\sqrt{3} \tan \left( \frac{x}{2} + 15^\circ \right) = 1$;
d) $\cot(2x – 1) = \cot \frac{\pi}{5}$.
1.21. Giải các phương trình sau:
a) $\sin 2x + \cos 4x = 0$;
b) $\cos 3x = -\cos 7x$.
1.22. Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0 = 500$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + x \tan \alpha$, ở đó $g = 9,8$ m/s$^2$ là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).
b) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
c) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
1.23. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
$$x = 2 \cos \left( 5t – \frac{\pi}{6} \right).$$
Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
a) $y = 2 \sin \left( x – \frac{\pi}{4} \right) – 1$;
b) $y = \sqrt{1 + \cos x} – 2$.
1.18. Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x = 0$.
1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h(t) = 90 \cos \left( \frac{\pi}{10} t \right)$, trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
