Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 88 đến 90:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm của $AB$. Biết $SH = a$.
Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:
- A. $\frac{1}{6}a^3$
- B. $\frac{1}{12}a^3$
- C. $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
- D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^3$
Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:
- A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$
- B. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}a$
- C. $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2}a$
- D. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 5}{2}a$
Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:
- A. $0,5a$
- B. $0,66a$
- C. $0,33a$
- D. $0,25a$
Câu 88: Thể tích hình chóp $S.BHD$ là:
- A. $\frac{1}{6}a^3$
- B. $\frac{1}{12}a^3$
- C. $\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$
- D. $\frac{\sqrt{3}}{12}a^3$
Phân tích đề bài
- Chiều cao khối chóp: Theo đề bài, $H$ là hình chiếu của $S$ lên đáy, nên $SH \perp (ABCD)$. Vậy chiều cao $h = SH = a$.
- Đáy của khối chóp $S.BHD$: Là tam giác $BHD$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$.
Các bước giải chi tiết
1. Tính diện tích tam giác $BHD$:
Tam giác $BHD$ nằm trên hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
- Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên $BH = \frac{a}{2}$.
- Trong hình vuông $ABCD$, cạnh $AD \perp AB$, do đó chiều cao của tam giác $BHD$ hạ từ đỉnh $D$ xuống đường thẳng $AB$ chính bằng độ dài cạnh hình vuông, tức là $AD = a$.
Diện tích tam giác $BHD$ là:
$$S_{\triangle BHD} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$
2. Tính thể tích khối chóp $S.BHD$:
Công thức tính thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h$.
Thay các giá trị đã tìm được vào:
$$V_{S.BHD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BHD} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{a^3}{12}$$
Kết luận
Đối chiếu với các phương án đề bài đưa ra:
- Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{12}a^3$
Câu 89: Chu vi tam giác $SBD$ là:
- A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$
- B. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}a$
- C. $\frac{2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}}{2}a$
- D. $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 5}{2}a$
1. Tính độ dài cạnh $BD$ (Đường chéo hình vuông)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, độ dài đường chéo $BD$ được tính theo công thức:
$$BD = a\sqrt{2}$$
2. Tính độ dài cạnh $SB$
Xét tam giác vuông $SHB$ (vuông tại $H$ vì $SH \perp (ABCD)$):
- $SH = a$ (giả thiết)
- $HB = \frac{a}{2}$ ($H$ là trung điểm $AB$)
Áp dụng định lý Pythagoras:
$$SB = \sqrt{SH^2 + HB^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$
3. Tính độ dài cạnh $SD$
Xét tam giác vuông $SHD$ (vuông tại $H$):
- $SH = a$
- Để tính $HD$, ta xét tam giác vuông $AHD$ (vuông tại $A$):
- $AD = a$
- $AH = \frac{a}{2}$
- $HD = \sqrt{AD^2 + AH^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $SHD$:
$$SD = \sqrt{SH^2 + HD^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{5a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$$
4. Tính chu vi tam giác $SBD$
Chu vi $P$ là tổng độ dài ba cạnh:
$$P = SB + SD + BD = \frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}$$
Để đưa về dạng giống các phương án lựa chọn, ta quy đồng mẫu số là 2:
$$P = \frac{a\sqrt{5} + 3a + 2a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$$
Kết luận
Đối chiếu với các phương án:
- Đáp án đúng là: A. $\frac{2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{5}}{2}a$
Câu 90: Khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$ xấp xỉ:
- A. $0,5a$
- B. $0,66a$
- C. $0,33a$
- D. $0,25a$
Để tính khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $(SBD)$, ta gọi khoảng cách đó là $d$. Công thức liên hệ giữa thể tích khối chóp và khoảng cách là:
$$V_{S.HBD} = V_{H.SBD} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SBD} \cdot d$$
$$\Rightarrow d = \frac{3 \cdot V_{S.HBD}}{S_{\triangle SBD}}$$
Bước 1: Tính diện tích tam giác $SBD$
Ở câu 89, chúng ta đã có độ dài 3 cạnh của tam giác $SBD$:
- $SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$
- $SD = \frac{3a}{2}$
- $BD = a\sqrt{2}$
Sử dụng công thức Heron hoặc tính chiều cao để tìm diện tích. Ở đây, mình dùng Heron cho chuyên nghiệp nhé. Nửa chu vi $p$:
$$p = \frac{\frac{a\sqrt{5}}{2} + \frac{3a}{2} + a\sqrt{2}}{2} = \frac{3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}}{4}a$$
Tính toán diện tích $S_{\triangle SBD} = \sqrt{p(p-SB)(p-SD)(p-BD)}$, ta được:
$$S_{\triangle SBD} = \frac{3}{4}a^2$$
Bước 2: Thay vào công thức tính khoảng cách
Ta đã biết $V_{S.HBD} = \frac{a^3}{12}$ (từ Câu 88).
$$d = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{12}}{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\frac{a^3}{4}}{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a}{3}$$
Bước 3: Tính giá trị xấp xỉ
$$d = \frac{1}{3}a \approx 0,333…a$$
Kết luận
- So với các phương án đề bài cho, giá trị gần nhất là: C. $0,33a$.