Thảo luận: Ta đã biết cách tính $\cos A$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ thông qua định lý côsin. Liệu $\sin A$ và diện tích $S$ có tính được trực tiếp theo độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$ hay không?
Giải
Xuất phát từ diện tích theo $\sin$
Ta đã biết diện tích tam giác $ABC$ là:
$$S = \frac{1}{2}bc \sin A$$
Để mất $\sin A$, ta bình phương hai vế:
$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \sin^2 A$$
Sử dụng công thức $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$:
$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos^2 A) = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos A)(1 + \cos A) \quad (1)$$
Thay định lý Côsin vào
Theo định lý Côsin: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$. Thay vào $(1)$:
$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( 1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$
Quy đồng mẫu số bên trong các ngoặc:
$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( \frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2}{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$
Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm nhân tử
Rút gọn $b^2c^2$ ở tử và mẫu ($2bc \cdot 2bc = 4b^2c^2$):
$$S^2 = \frac{1}{16} [a^2 – (b – c)^2] [(b + c)^2 – a^2]$$
Tiếp tục dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $X^2 – Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$$S^2 = \frac{1}{16} (a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(b + c + a)$$
Biểu diễn qua nửa chu vi $p$
Đặt $a + b + c = 2p$. Khi đó:
- $b + c + a = 2p$
- $b + c – a = (a + b + c) – 2a = 2p – 2a = 2(p – a)$
- $a + c – b = (a + b + c) – 2b = 2p – 2b = 2(p – b)$
- $a + b – c = (a + b + c) – 2c = 2p – 2c = 2(p – c)$
Thay các biểu thức này vào công thức $S^2$:
$$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p$$
$$S^2 = \frac{16}{16} \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$$
$$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$
Kết luận: Lấy căn bậc hai hai vế, ta được điều phải chứng minh:
$$S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$$