Vận dụng 3: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Các khoảng cách giữa các đỉnh được xác định như sau:
$CD = 441 \text{ m}, CB = 575 \text{ m}, DB = 538 \text{ m}$ (tạo thành $\triangle BCD$)
$DE = 217 \text{ m}, EA = 401 \text{ m}, AB = 256 \text{ m}, EB = 476 \text{ m}, DB = 538 \text{ m}$ (Hình vẽ chia ngũ giác thành 3 tam giác: $\triangle BCD, \triangle BDE, \triangle ABE$).
Yêu cầu: Tính tổng diện tích của công viên Hòa Bình.
Giải
Tính diện tích $\triangle BCD$
Cạnh $BC=575, CD=441, DB=538$.
Nửa chu vi $p_1 = \frac{575 + 441 + 538}{2} = 777 \text{ (m)}$.
$S_{BCD} = \sqrt{777(777-575)(777-441)(777-538)} \approx 112.385,6 \text{ (m}^2\text{)}$.
Tính diện tích $\triangle BDE$
Cạnh $BD=538, DE=217, EB=476$.
Nửa chu vi $p_2 = \frac{538 + 217 + 476}{2} = 615,5 \text{ (m)}$.
$S_{BDE} = \sqrt{615,5(615,5-538)(615,5-217)(615,5-476)} \approx 51.495,1 \text{ (m}^2\text{)}$.
Tính diện tích $\triangle ABE$
Cạnh $AB=256, BE=476, EA=401$.
Nửa chu vi $p_3 = \frac{256 + 476 + 401}{2} = 566,5 \text{ (m)}$.
$S_{ABE} = \sqrt{566,5(566,5-256)(566,5-476)(566,5-401)} \approx 51.327,1 \text{ (m}^2\text{)}$.
Tổng diện tích công viên
$$S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{BDE} + S_{ABE}$$
$$S_{ABCDE} \approx 112.385,6 + 51.495,1 + 51.327,1 = 215.207,8 \text{ (m}^2\text{)}$$
Kết luận: Diện tích công viên Hòa Bình khoảng
$215.208 \text{ m}^2$.