Chứng minh: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^k} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$)
Giải
Tiêu chuẩn Weierstrass
Hàm số $f(x)$ có giới hạn là $L$ khi $x \to +\infty$ nếu:
Với mọi số thực $\epsilon > 0$ bé tùy ý, luôn tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho:
$$\forall x > M \implies |f(x) – L| < \epsilon$$
Chứng minh cụ thể cho $f(x) = \frac{1}{x^k}$ với $L = 0$
Ta cần tìm một số $M$ (phụ thuộc vào $\epsilon$) sao cho hễ $x > M$ thì $|\frac{1}{x^k} – 0| < \epsilon$.
Phân tích biểu thức
Ta muốn có:
$$|\frac{1}{x^k}| < \epsilon$$
Vì ta đang xét $x \to +\infty$, có thể giả sử $x > 0$. Khi đó biểu thức tương đương với:
$$\frac{1}{x^k} < \epsilon$$
$$\iff x^k > \frac{1}{\epsilon}$$
$$\iff x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$
Chọn số $M$
Dựa vào phân tích trên, với mỗi số $\epsilon > 0$ cho trước, ta chọn:
$$M = \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}}$$
Kết luận
Với mọi $x > M$, ta có:
$$x > \sqrt[k]{\frac{1}{\epsilon}} \implies x^k > \frac{1}{\epsilon} \implies \frac{1}{x^k} < \epsilon$$
Điều này chứng tỏ rằng $|f(x) – 0| < \epsilon$ luôn đúng khi $x > M$.
Vậy, theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta đã chứng minh được:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^k} = 0$
