Chứng minh định lý về hằng số:
$\lim_{x \to \pm\infty} c = c$
Giải
Xét một dãy số $(x_n)$ bất kỳ sao cho $x_n \to +\infty$ (hoặc $-\infty$).
Xét hàm số hằng $f(x) = c$. Điều này có nghĩa là với mọi giá trị của $x$, kết quả luôn luôn là $c$.
Khi đó, dãy giá trị tương ứng là $f(x_n) = c, c, c, \dots$ (một dãy số hằng).
Theo lý thuyết giới hạn của dãy số, giới hạn của một dãy hằng số chính là hằng số đó: $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = c$.
Kết luận:
Vì kết quả đúng với mọi dãy $(x_n)$, nên theo định nghĩa: $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$.
