Cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với $A(a; 0)$ và $B(0; 1)$ như Hình 5.5 ($a > 0$). Đường cao $OH$ có độ dài là $h$.
a) Tính $h$ theo $a$.
b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục $Ox$, điểm $H$ thay đổi thế nào? Tại sao?
Giải
a) Tính $h$ theo $a$
Ta có $OA = |a| = a$ (vì $a > 0$) và $OB = 1$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAB$:
$$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{1^2} = \frac{1 + a^2}{a^2}$$
$$\implies h^2 = \frac{a^2}{a^2 + 1} \implies h = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$
b) Khi điểm $A$ dịch chuyển về $O$
Khi $A$ dịch chuyển về $O$, tức là $a \to 0^+$.
Ta có:
$$\lim_{a \to 0^+} h = \lim_{a \to 0^+} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} = 0$$
Giải thích:
Khi $a$ càng nhỏ, cạnh $OA$ càng ngắn lại, làm cho đường cao $OH$ cũng ngắn dần về $0$. Khi đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về gốc tọa độ $O$.
c) Khi $A$ dịch chuyển ra vô cực ($a \to +\infty$)
Ta cần tính giới hạn của $h$ khi $a$ tiến ra vô cực:
$$\lim_{a \to +\infty} h = \lim_{a \to +\infty} \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$$
Chia cả tử và mẫu cho $a$ (với $a > 0$):
$$\lim_{a \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{a^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1$$
Giải thích:
- Về độ dài: $h$ tiến dần về $1$ (chính bằng độ dài $OB$).
- Về vị trí: Khi $A$ ở rất xa, cạnh huyền $AB$ gần như nằm ngang và trùng với trục $Ox$. Khi đó, đường cao $OH$ hạ từ $O$ xuống $AB$ sẽ gần như thẳng đứng và trùng với trục $Oy$. Do đó, điểm $H$ sẽ dịch chuyển dần về điểm $B(0; 1)$.
