Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5\text{ m}$ (đoạn $BC = 5\text{ m}$). Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh $B$ của cột với góc nâng $50^\circ$ và chân $C$ của cột với góc nâng $40^\circ$ so với phương nằm ngang.
a) Tính các góc của tam giác $ABC$.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Giải
a) Tính các góc của tam giác $ABC$
Gọi $Ax$ là đường nằm ngang đi qua $A$. Theo đề bài: $\widehat{xAB} = 50^\circ$ và $\widehat{xAC} = 40^\circ$.
- Góc $\widehat{BAC}$:$$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} – \widehat{xAC} = 50^\circ – 40^\circ = 10^\circ$$
- Góc $\widehat{ABC}$:Trong tam giác vuông tạo bởi $B$ và đường nằm ngang $Ax$ (gọi hình chiếu của $B$ lên $Ax$ là $H$), ta có $\widehat{ABH} = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ$.Vì cột ăng-ten $BC$ thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Suy ra $\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$.
- Góc $\widehat{ACB}$:$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$
b) Tính chiều cao của tòa nhà
Tính cạnh $AC$
Áp dụng định lý Sin trong tam giác $ABC$:
$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow \frac{5}{\sin(10^\circ)} = \frac{AC}{\sin(40^\circ)}$$
$$AC = \frac{5 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)} \approx \frac{5 \cdot 0,6428}{0,1736} \approx 18,51 \text{ (m)}$$
Tính độ cao của điểm $C$ so với vị trí $A$
Gọi $CH$ là khoảng cách thẳng đứng từ $C$ đến đường nằm ngang $Ax$. Trong tam giác vuông $ACH$ tại $H$:
$$CH = AC \cdot \sin(\widehat{xAC}) = 18,51 \cdot \sin(40^\circ) \approx 18,51 \cdot 0,6428 \approx 11,9 \text{ (m)}$$
Chiều cao tòa nhà
Chiều cao tòa nhà là tổng độ cao của vị trí $A$ so với mặt đất và độ cao chênh lệch $CH$:
$$h = 7 + CH = 7 + 11,9 = \mathbf{18,9 \text{ (m)}}$$