Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70 \text{ km/h}$. Sau khi đi được 90 phút, động cơ tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng Nam với vận tốc $8 \text{ km/h}$. Sau 2 giờ kể từ khi hỏng động cơ, tàu neo đậu được vào một hòn đảo (gọi là đảo $C$).
a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo $C$.
b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo $C$.
Giải
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo ($AC$)
Áp dụng định lý Côsin trong tam giác $ABC$:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\hat{B})$$
$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$
$$AC^2 = 11025 + 256 – 3360 \cdot (-0,342)$$
$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$
$$\Rightarrow AC \approx \sqrt{12430,12} \approx \mathbf{111,49 \text{ (km)}}$$
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo
Ta cần tìm góc $\widehat{SAC}$ (góc hợp bởi $AC$ và trục Bắc-Nam). Gọi $\alpha$ là góc $\widehat{BAC}$.
Áp dụng định lý Sin:
$$\frac{BC}{\sin(\hat{A})} = \frac{AC}{\sin(\hat{B})} \Rightarrow \sin(\hat{A}) = \frac{16 \cdot \sin(110^\circ)}{111,49}$$
$$\sin(\hat{A}) \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$
$$\Rightarrow \hat{A} \approx 7,7^\circ$$
Xác định hướng:
- Hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông.
- Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên tia $AC$ sẽ nằm “giữa” tia $AB$ và tia hướng Nam.
- Góc của $AC$ so với hướng Nam là: $70^\circ – 7,7^\circ = 62,3^\circ$.
- Kết luận: Hướng từ $A$ đến đảo là $S62,3^\circ E$.