HĐ1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm
Cho hàm số $f(x) = \frac{4 – x^2}{x – 2}$.
- a) Tìm tập xác định của hàm số $f(x)$.
- b) Cho dãy số $x_n = \frac{2n + 1}{n}$. Rút gọn $f(x_n)$ và tính giới hạn của dãy $(u_n)$ với $u_n = f(x_n)$.
- c) Với dãy số $(x_n)$ bất kỳ sao cho $x_n \neq 2$ và $x_n \to 2$, tính $f(x_n)$ và tìm $\lim_{n \to +\infty} f(x_n)$.
Giải
a) Tìm tập xác định
Hàm số $f(x) = \frac{4 – x^2}{x – 2}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0:
$$x – 2 \neq 0 \iff x \neq 2$$
Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
b) Tính giới hạn với dãy số cụ thể $x_n = \frac{2n + 1}{n}$
- Rút gọn $f(x)$: Với mọi $x \neq 2$, ta có:$$f(x) = \frac{4 – x^2}{x – 2} = \frac{(2 – x)(2 + x)}{x – 2} = \frac{-(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = -(x + 2)$$
- Thay $x_n$ vào $f(x)$:$$u_n = f(x_n) = -(x_n + 2) = -\left( \frac{2n + 1}{n} + 2 \right)$$Rút gọn biểu thức bên trong: $\frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$.Do đó: $u_n = -\left( 2 + \frac{1}{n} + 2 \right) = -\left( 4 + \frac{1}{n} \right) = -4 – \frac{1}{n}$.
- Tính giới hạn:$$\lim u_n = \lim \left( -4 – \frac{1}{n} \right) = -4 – 0 = \mathbf{-4}$$
c) Tính giới hạn với dãy số $(x_n)$ bất kỳ
Giả sử có dãy số $(x_n)$ bất kỳ thỏa mãn $x_n \neq 2$ và $\lim x_n = 2$.
- Vì $x_n \neq 2$, ta luôn có: $f(x_n) = -(x_n + 2)$.
- Áp dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số:$$\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = \lim_{n \to +\infty} [-(x_n + 2)] = -(\lim x_n + 2) = -(2 + 2) = \mathbf{-4}$$
Kết luận:
Qua hoạt động này, ta thấy dù chọn dãy số nào tiến về 2 thì giá trị hàm số đều tiến về -4.
Ta nói
$\lim_{x \to 2} f(x) = -4$.