Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ thỏa mãn:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{và} \quad \lim_{x \to x_0} g(x) = M$$
Chứng minh:
$$\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$$
Giải
Cho trước một số $\epsilon > 0$ bất kỳ. Ta cần tìm $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|(f(x) + g(x)) – (L + M)| < \epsilon$.
Theo giả thiết:
Với $\frac{\epsilon}{2} > 0$, tồn tại $\delta_1 > 0$ để $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$.
Với $\frac{\epsilon}{2} > 0$, tồn tại $\delta_2 > 0$ để $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$.
Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó, với $0 < |x – x_0| < \delta$, cả hai bất đẳng thức trên đều đúng.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác: $|A + B| \leq |A| + |B|$, ta có:$$|(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + (g(x) – M)|$$$$\leq |f(x) – L| + |g(x) – M|$$$$< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Vậy $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$.
