Vận dụng 2. (Giải thích nghịch lý Zeno)
Giả sử Achilles chạy với vận tốc $v_A = 100$ km/h, vận tốc của rùa là $v_R = 1$ km/h và khoảng cách ban đầu giữa họ là $a = 100$ km.
- a) Tính thời gian $t_1, t_2, \dots, t_n, \dots$ tương ứng để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$, từ $A_2$ đến $A_3, \dots$, từ $A_n$ đến $A_{n+1}, \dots$ (Trong đó $A_1$ là vị trí xuất phát của Achilles, $A_2$ là vị trí ban đầu của rùa, $A_3$ là vị trí rùa đạt được khi Achilles đến $A_2, \dots$).
- b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_{n+1}, \dots$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.
- c) Sai lầm trong lập luận của Zeno nằm ở đâu?
Giải
a) Tính các khoảng thời gian $t_n$
- Thời gian $t_1$: Để Achilles đi hết quãng đường ban đầu $A_1A_2 = 100$ km:$$t_1 = \frac{100}{100} = 1 \text{ (giờ)}$$
- Trong thời gian $t_1 = 1$ giờ này, rùa đã đi thêm được một quãng đường $A_2A_3$:$$s_2 = v_R \cdot t_1 = 1 \cdot 1 = 1 \text{ (km)}$$
- Thời gian $t_2$: Để Achilles đi hết quãng đường $A_2A_3 = 1$ km:$$t_2 = \frac{1}{100} \text{ (giờ)}$$
- Tương tự, quãng đường rùa đi tiếp là $s_3 = v_R \cdot t_2 = 1 \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$ (km).
- Thời gian $t_3$: Để Achilles đi hết quãng đường $A_3A_4$:$$t_3 = \frac{1/100}{100} = \frac{1}{100^2} \text{ (giờ)}$$
Tổng quát: Thời gian $t_n$ tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu $t_1 = 1$ và công bội $q = \frac{1}{100}$.
$$t_n = \frac{1}{100^{n-1}}$$
b) Tính tổng thời gian $T$
Tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là tổng của chuỗi vô hạn các khoảng thời gian trên:
$$T = t_1 + t_2 + t_3 + \dots + t_n + \dots$$
$$T = 1 + \frac{1}{100} + \frac{1}{100^2} + \dots$$
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và $q = \frac{1}{100}$. Áp dụng công thức:
$$T = \frac{1}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{1}{\frac{99}{100}} = \frac{100}{99} \approx 1,01 \text{ (giờ)}$$
c) Sai lầm của Zeno
Sai lầm của Zeno nằm ở quan niệm về thời gian và sự vô hạn:
- Zeno cho rằng một tổng có vô số các khoảng thời gian dương ($t_1, t_2, \dots$) thì tổng đó phải bằng vô cực.
- Tuy nhiên, toán học hiện đại chứng minh rằng một tổng vô hạn các số hạng vẫn có thể hội tụ về một giá trị hữu hạn (ở đây là $100/99$ giờ).
Vì vậy, dù Achilles phải vượt qua vô số điểm chia, ông ta vẫn đuổi kịp rùa trong một khoảng thời gian ngắn ngủi và xác định.
