7.3. Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{CBD} = 90^\circ$.
a) Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của $AB, AD$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $BC$.
b) Gọi $G, K$ tương ứng là trọng tâm của các tam giác $ABC, ACD$. Chứng minh rằng $GK$ vuông góc với $BC$.
Giải
a) Chứng minh $MN$ vuông góc với $BC$
Xét $\triangle ABD$, ta có:
- $M$ là trung điểm của cạnh $AB$ (giả thiết).
- $N$ là trung điểm của cạnh $AD$ (giả thiết).
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABD$.
$\Rightarrow MN \parallel BD$ (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có $\widehat{CBD} = 90^\circ$ nên:
$BD \perp BC$ (2)
Từ (1) và (2), áp dụng quan hệ giữa tính song song và vuông góc, ta suy ra:
$$MN \perp BC$$
(Điều phải chứng minh)
b) Chứng minh $GK$ vuông góc với $BC$
Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $AC$.
Xét $\triangle ABC$, vì $G$ là trọng tâm và $BE$ là đường trung tuyến xuất phát từ $B$ nên điểm $G$ nằm trên đoạn $BE$ và ta có tỉ số:
$$\frac{EG}{EB} = \frac{1}{3}$$
Tương tự, xét $\triangle ACD$, vì $K$ là trọng tâm và $DE$ là đường trung tuyến xuất phát từ $D$ nên điểm $K$ nằm trên đoạn $DE$ và ta có tỉ số:
$$\frac{EK}{ED} = \frac{1}{3}$$
Xét $\triangle EBD$, ta có:
$$\frac{EG}{EB} = \frac{EK}{ED} = \frac{1}{3}$$
Theo định lý Thales đảo, ta suy ra:
$GK \parallel BD$ (3)
Mà ta đã biết:
$BD \perp BC$ (chứng minh ở câu a) (4)
Từ (3) và (4), suy ra:
$$GK \perp BC$$
(Điều phải chứng minh)