Chứng minh định lý tổng:
$\lim (u_n + v_n) = a + b$
Giải
Ta có:
$\lim u_n = a \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_1: \forall n > N_1, |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$
$\lim v_n = b \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_2: \forall n > N_2, |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$
Cần chứng minh:
Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|(u_n + v_n) – (a + b)| < \epsilon$.
Xét biểu thức: $|(u_n + v_n) – (a + b)| = |(u_n – a) + (v_n – b)|$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A + B| \leq |A| + |B|$, ta có:
$$|(u_n – a) + (v_n – b)| \leq |u_n – a| + |v_n – b|$$
Chọn $N = \max(N_1, N_2)$. Khi đó với mọi $n > N$, cả hai điều kiện ở phần giả thiết đều thỏa mãn:
$$|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{và} \quad |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$$
Suy ra:
$$|(u_n + v_n) – (a + b)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Kết luận: Vậy $\lim (u_n + v_n) = a + b$.
