Cho dãy số $(u_n)$. Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ thì:
$a \geq 0$
$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$
Giải
Chứng minh $a \geq 0$
Ta dùng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại: $a < 0$.
Chọn $\epsilon$: Vì $a < 0$ nên $-a > 0$. Ta chọn $\epsilon = \frac{-a}{2} > 0$.
Áp dụng định nghĩa: Vì $\lim u_n = a$, nên tồn tại số $N$ sao cho với mọi $n > N$:$$|u_n – a| < \epsilon \iff a – \epsilon < u_n < a + \epsilon$$
Xét vế phải: $u_n < a + \epsilon = a + \left( \frac{-a}{2} \right) = \frac{a}{2}$.
Mâu thuẫn: Vì $a < 0$ nên $\frac{a}{2} < 0$. Suy ra $u_n < 0$. Điều này trái với giả thiết $u_n \geq 0$ với mọi $n$.
Kết luận: Vậy giả sử sai, ta phải có $a \geq 0$.
Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$
Ta xét hai trường hợp của $a$:
Trường hợp 1: $a = 0$
Cần chứng minh: $|\sqrt{u_n} – 0| < \epsilon \iff \sqrt{u_n} < \epsilon$.
Vì $\lim u_n = 0$, với mọi số dương $\epsilon^2 > 0$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $n > N$:$$0 \leq u_n < \epsilon^2$$
Lấy căn bậc hai hai vế (vì các vế không âm), ta được: $\sqrt{u_n} < \epsilon$.
Vậy $\lim \sqrt{u_n} = 0$.
Trường hợp 2: $a > 0$
Xét hiệu: $|\sqrt{u_n} – \sqrt{a}| = \left| \frac{(\sqrt{u_n} – \sqrt{a})(\sqrt{u_n} + \sqrt{a})}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}} \right| = \frac{|u_n – a|}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}}$.
Vì $u_n \geq 0$ nên $\sqrt{u_n} + \sqrt{a} \geq \sqrt{a}$. Do đó:$$\frac{|u_n – a|}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}} \leq \frac{|u_n – a|}{\sqrt{a}}$$
Với mọi $\epsilon > 0$, vì $\lim u_n = a$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|u_n – a| < \epsilon \cdot \sqrt{a}$.
Khi đó: $|\sqrt{u_n} – \sqrt{a}| \leq \frac{|u_n – a|}{\sqrt{a}} < \frac{\epsilon \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \epsilon$.
Kết luận:
Vậy $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$.
