Cho hình vuông cạnh bằng $1$ (đơn vị độ dài).
- Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ ở góc dưới bên trái.
- Lặp lại thao tác này với hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải.
- Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần.
Gọi $u_1, u_2, \dots, u_n, \dots$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$.
b) Tìm $S = \lim_{n \to +\infty} S_n$.
Giải
Phân tích dãy số:
- Bước 1: Hình vuông ban đầu có cạnh là $1$. Khi chia làm 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, cạnh của mỗi hình vuông nhỏ sẽ là $\frac{1}{2}$. Vậy độ dài cạnh hình vuông tô màu đầu tiên là $u_1 = \frac{1}{2}$.
- Bước 2: Lặp lại thao tác với hình vuông nhỏ (cạnh $\frac{1}{2}$), ta lại chia nó làm 4. Cạnh của hình vuông tô màu tiếp theo sẽ là $u_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
- Tổng quát: Cạnh của hình vuông thứ $n$ là $u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = \frac{1}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.
a) Tính tổng $S_n$
Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{\frac{1}{2} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]}{1 – \frac{1}{2}}$$
$$S_n = \frac{\frac{1}{2} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]}{\frac{1}{2}} = 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n$$
b) Tìm $S = \lim_{n \to +\infty} S_n$
Vì $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$ nên đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
$$S = \lim_{n \to +\infty} \left[ 1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]$$
Vì $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$, ta có:
$$S = 1 – 0 = 1$$
Kết luận:
- $S_n = 1 – \frac{1}{2^n}$
- $S = 1$
