BÀI TẬP
1.7. Sử dụng $15^\circ = 45^\circ – 30^\circ$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^\circ$.
1.8. Tính:
a) $\cos \left( a + \frac{\pi}{6} \right)$, biết $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;
b) $\tan \left( a – \frac{\pi}{4} \right)$, biết $\cos a = -\frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.
1.9. Tính $\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a$, biết:
a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;
b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}$.
1.10. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A = \frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{15}}{\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} – \sin \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}}$;
b) $B = \sin \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8}$.
1.11. Chứng minh đẳng thức sau:
$$\sin(a + b) \sin(a – b) = \sin^2 a – \sin^2 b = \cos^2 b – \cos^2 a.$$
1.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^\circ$; $\widehat{C} = 45^\circ$ và $a = BC = 12 \text{ cm}$.
a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} ab \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ cho bởi công thức:
$$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$$
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.
1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$, $A$ là biên độ dao động $(A > 0)$ và $\varphi \in [-\pi; \pi]$ là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình:
$$x_1(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} t + \frac{\pi}{6} \right) \text{ (cm),}$$
$$x_2(t) = 2 \cos \left( \frac{\pi}{3} t – \frac{\pi}{3} \right) \text{ (cm).}$$
Tìm dao động tổng hợp $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$ và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.