Bài tập cuối chương VII – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

A – TRẮC NGHIỆM

7.33. Cho các phát biểu sau:

1. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có giao tuyến là đường thẳng $a$ và cùng vuông góc với mặt phẳng $(R)$ thì $a \perp (R)$.
2. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng $a$, một đường thẳng $b$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $a$ thì $b \perp (Q)$.
3. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $a$ và $a$ vuông góc với $(Q)$ thì $(P) \perp (Q)$.
4. Đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì $a \perp (Q)$.

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

7.34. Cho mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ và $a$ là giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

B. Đường thẳng $d$ nằm trên $(Q)$ và $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

C. Đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

D. Đường thẳng $d$ vuông góc với $(Q)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.

7.35. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện $[S, AB, C]$ bằng $\widehat{SBC}$.

B. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $90^\circ$.

C. Số đo của góc nhị diện $[S, AC, B]$ bằng $90^\circ$.

D. Số đo của góc nhị diện $[D, SA, B]$ bằng $\widehat{BSD}$.

7.36. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \perp (ABCD)$. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

B. Đường thẳng $BD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$.

C. Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$.

D. Đường thẳng $AD$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

7.37. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng $S$, chiều cao bằng $h$ là:

A. $V = S \cdot h$.

B. $V = \frac{1}{2} S \cdot h$.

C. $V = \frac{1}{3} S \cdot h$.

D. $V = \frac{2}{3} S \cdot h$.

B – TỰ LUẬN

7.38. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a$, $OB = a\sqrt{2}$ và $OC = 2a$. Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

7.39. Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $ABC$ cân tại $A$, tam giác $BCD$ cân tại $D$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• a) Chứng minh rằng $BC \perp (AID)$.
• b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $AH \perp (BCD)$.
• c) Kẻ đường cao $IJ$ của tam giác $AID$. Chứng minh rằng $IJ$ là đường vuông góc chung của $AD$ và $BC$.

7.40. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, BC = a$ và $\widehat{CAB} = 30^\circ$. Biết $SA \perp (ABC)$ và $SA = a\sqrt{2}$.

• a) Chứng minh rằng $(SBC) \perp (SAB)$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

7.41. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Biết tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $(SAD) \perp (ABCD)$.

• a) Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$.
• b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

7.42. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$, $AA’ \perp (ABCD)$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$.

• a) Tính thể tích của khối hộp $ABCD.A’B’C’D’$.
• b) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BD)$.

7.43. Cho hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$. Biết $A’.ABCD$ là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng $a$. Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ và thể tích của khối chóp $A’.BB’C’C$.

7.44. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AB \parallel CD$ và $AB = BC = DA = a, CD = 2a$. Biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $S$ đến mặt phẳng $(ABCD)$ và thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

7.45. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài bằng $10\text{ m}$ và tạo với mặt đất góc $80^\circ$. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài $12\text{ m}$ và tạo với cây cột một góc bằng $120^\circ$ (tức là $\widehat{ABC} = 120^\circ$). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.