Blog

A – TRẮC NGHIỆM

1.30. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

• A. Nếu $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
• B. Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
• C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.
• D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.

1.31. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

• A. $y = -x^3 + 3x^2 – 9x$.
• B. $y = -x^3 + x + 1$.
• C. $y = \frac{x-1}{x-2}$.
• D. $y = 2x^2 + 3x + 2$.

1.32. Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

• A. $y = |x|$.
• B. $y = x^4$.
• C. $y = -x^3 + x$.
• D. $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$.

1.33. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^2 \ln x$ là

• A. $\frac{1}{e}$.
• B. $-\frac{1}{e}$.
• C. $-\frac{1}{2e}$.
• D. $\frac{1}{2e}$.

1.34. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = (x – 2)^2 \cdot e^x$ trên đoạn $[1; 3]$ là

• A. $0$.
• B. $e^3$.
• C. $e^4$.
• D. $e$.

1.35. Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$; $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• B. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• C. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1.36. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 2}{x + 2}$ là

• A. $y = -2$.
• B. $y = 1$.
• C. $y = x + 2$.
• D. $y = x$.

1.37. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

• A. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• B. Đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• C. Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• D. Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

1.38. Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:

• A. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$.
• B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
• C. $y = \frac{x – 1}{x + 1}$.
• D. $y = \frac{x + 3}{1 – x}$.

1.39. Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

• A. $y = x – \frac{1}{x + 1}$.
• B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
• C. $y = \frac{x^2 – x + 1}{x + 1}$.
• D. $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

---

B – TỰ LUẬN

1.40. Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

• a) $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$;
• b) $y = x^4 – 2x^2 – 1$;
• c) $y = \frac{2x – 1}{3x + 1}$;
• d) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$.

1.41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

• a) $y = \frac{2x + 1}{3x – 2}$ trên nửa khoảng $[2; +\infty)$;
• b) $y = \sqrt{2 – x^2}$.

1.42. Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

• a) $y = \frac{3x – 2}{x + 1}$;
• b) $y = \frac{x^2 + 2x – 1}{2x – 1}$.

1.43. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

• a) $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 12$;
• b) $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$;
• c) $y = \frac{x^2 – 2x}{x – 1}$.

1.44. Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f$ (H.1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$$

• a) Viết công thức tính $q = g(p)$ như một hàm số của biến $p \in (f; +\infty)$.
• b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to +\infty} g(p)$; $\lim_{p \to f^+} g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
• c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $(f; +\infty)$.

1.45. Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức:

$N(t) = 100e^{0,012t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0 \leq t \leq 50$).

• a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
• b) Xem $N(t)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $[0; 50]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$ trên đoạn $[0; 50]$.
• c) Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?

1.46. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như Hình 1.40. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = t^3 – 12t + 3, t \ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

---

1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa nào đó là:

$$C(x) = 23\,000 + 50x – 0,5x^2 + 0,00175x^3$$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ $101$.

---

1.28. Người quản lý của một khu chung cư có $100$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $8$ triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lý nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

---

1.29. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức:

$$p = \frac{354}{1 + 0,01x}, x \ge 0$$

trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là $240$ nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

• Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^+} x(p)$.

1.21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = -x^3 + 3x + 1$;

b) $y = x^3 + 3x^2 – x – 1$.

1.22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$;

b) $y = \frac{x + 3}{1 – x}$.

1.23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x^2 – x + 4}{x – 1}$;

b) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$.

1.24. Một cốc chứa $30 \text{ ml}$ dung dịch $\text{KOH}$ (potassium hydroxide) với nồng độ $100 \text{ mg/ml}$. Một bình chứa dung dịch $\text{KOH}$ khác với nồng độ $8 \text{ mg/ml}$ được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc sau khi trộn $x \text{ (ml)}$ từ bình chứa, kí hiệu là $C(x)$.

b) Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x \ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn $8 \text{ mg/ml}$.

1.25. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương $R$ của mạch điện được tính theo công thức $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở $8 \ \Omega$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là $x \ (\Omega)$ thì điện trở tương đương $R$ là hàm số của $x$. Vẽ đồ thị của hàm số $y = R(x), x > 0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi $x$ tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8 \ \Omega$.

1.16. Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 – 1}$.

Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

1.17. Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$ không?

1.18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{3 – x}{2x + 1}$

b) $y = \frac{2x^2 + x – 1}{x + 2}$

1.19. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là:

$$C(x) = 2x + 50 \text{ (triệu đồng)}.$$

Khi đó $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?

1.20. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144 \text{ m}^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x \text{ (m)}$.

a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x) \text{ (mét)}$ của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P(x)$.

1.10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = -x^2 + 4x + 3$;

b) $y = x^3 – 2x^2 + 1$ trên $[0; +\infty)$;

c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$ trên $(1; +\infty)$;

d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.

1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x^4 – 2x^2 + 3$;

b) $y = xe^{-x}$;

c) $y = x \ln x$;

d) $y = \sqrt{x – 1} + \sqrt{3 – x}$.

1.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 – 6x + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$;

b) $y = x^4 – 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0; 3]$;

c) $y = x – \sin 2x$ trên đoạn $[0; \pi]$;

d) $y = (x^2 – x)e^x$ trên đoạn $[0; 1]$.

1.13. Trong các hình chữ nhật có chu vi là $24 \text{ cm}$, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

1.14. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108 \text{ cm}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

1.15. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1\,000 \text{ cm}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá $1,2$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá $0,75$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

1.1. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = x^3 – \frac{3}{2}x^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 – 4)^2}$ (H.1.12).

1.2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$;

b) $y = -x^3 + 2x^2 – 5x + 3$.

1.3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x – 1}{x + 2}$;

b) $y = \frac{x^2 + x + 4}{x – 3}$.

1.4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4 – x^2}$;

b) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

1.5. Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số

$$N(t) = \frac{25t + 10}{t + 5}, t \ge 0,$$

trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm $N'(t)$ và $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

1.6. Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.

a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

---

1.7. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 5$;

b) $y = x^4 – 4x^2 + 2$;

c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$;

d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.

---

1.8. Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.

a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$ và $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).

---

1.9. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số

$$f(t) = \frac{5\,000}{1 + 5e^{-t}}, \quad t \ge 0,$$

trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?