1.21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = -x^3 + 3x + 1$;
b) $y = x^3 + 3x^2 – x – 1$.
1.22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$;
b) $y = \frac{x + 3}{1 – x}$.
1.23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x^2 – x + 4}{x – 1}$;
b) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$.
1.24. Một cốc chứa $30 \text{ ml}$ dung dịch $\text{KOH}$ (potassium hydroxide) với nồng độ $100 \text{ mg/ml}$. Một bình chứa dung dịch $\text{KOH}$ khác với nồng độ $8 \text{ mg/ml}$ được trộn vào cốc.
a) Tính nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc sau khi trộn $x \text{ (ml)}$ từ bình chứa, kí hiệu là $C(x)$.
b) Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x \ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.
c) Giải thích tại sao nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn $8 \text{ mg/ml}$.
1.25. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương $R$ của mạch điện được tính theo công thức $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
Giả sử một điện trở $8 \ \Omega$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là $x \ (\Omega)$ thì điện trở tương đương $R$ là hàm số của $x$. Vẽ đồ thị của hàm số $y = R(x), x > 0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi $x$ tăng.
b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8 \ \Omega$.
1.16. Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 – 1}$.
Sử dụng đồ thị này, hãy:
a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.
b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
1.17. Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$ không?
1.18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) $y = \frac{3 – x}{2x + 1}$
b) $y = \frac{2x^2 + x – 1}{x + 2}$
1.19. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là:
$$C(x) = 2x + 50 \text{ (triệu đồng)}.$$
Khi đó $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?
1.20. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144 \text{ m}^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x \text{ (m)}$.
a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x) \text{ (mét)}$ của mảnh vườn.
1.10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = -x^2 + 4x + 3$;
b) $y = x^3 – 2x^2 + 1$ trên $[0; +\infty)$;
c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$ trên $(1; +\infty)$;
d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.
1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) $y = x^4 – 2x^2 + 3$;
b) $y = xe^{-x}$;
c) $y = x \ln x$;
d) $y = \sqrt{x – 1} + \sqrt{3 – x}$.
1.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 – 6x + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$;
b) $y = x^4 – 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0; 3]$;
c) $y = x – \sin 2x$ trên đoạn $[0; \pi]$;
d) $y = (x^2 – x)e^x$ trên đoạn $[0; 1]$.
1.13. Trong các hình chữ nhật có chu vi là $24 \text{ cm}$, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
1.14. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108 \text{ cm}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.
1.15. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1\,000 \text{ cm}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá $1,2$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá $0,75$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.
1.1. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:
a) Đồ thị hàm số $y = x^3 – \frac{3}{2}x^2$ (H.1.11);
b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 – 4)^2}$ (H.1.12).
1.2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
a) $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$;
b) $y = -x^3 + 2x^2 – 5x + 3$.
1.3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = \frac{2x – 1}{x + 2}$;
b) $y = \frac{x^2 + x + 4}{x – 3}$.
1.4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{4 – x^2}$;
b) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.
1.5. Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số
$$N(t) = \frac{25t + 10}{t + 5}, t \ge 0,$$
trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.
a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.
b) Tính đạo hàm $N'(t)$ và $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.
1.6. Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.
a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.
1.7. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 5$;
b) $y = x^4 – 4x^2 + 2$;
c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$;
d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.
1.8. Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.
a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$ và $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$.
Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).
1.9. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số
$$f(t) = \frac{5\,000}{1 + 5e^{-t}}, \quad t \ge 0,$$
trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
D. $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha$.
Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số $y = \sin x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$.
B. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
C. Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
D. Hàm số $y = \cot x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
Câu 3. Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = 5^n$. Số hạng $u_{2n}$ bằng:
A. $2 \cdot 5^n$.
B. $25^n$.
C. $10^n$.
D. $5^{n^2}$.
Câu 4. Hãy cho biết dãy số $(u_n)$ nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát của nó là:
A. $\frac{1}{n^2 + 1}$.
B. $2^{-n}$.
C. $\log_{\frac{1}{2}} n$.
D. $\frac{n}{n + 1}$.
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \ge 0$ thì $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
B. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = -\infty$.
C. Nếu $|q| < 1$ thì $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
D. $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin n}{n + 1} = 0$.
Câu 6. Hàm số nào dưới đây không liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $y = \tan x$.
B. $y = \frac{2x^2 + 3x – 1}{x^2 + 1}$.
C. $y = \sin x$.
D. $y = |x|$.
Câu 7. Cho $0 < a \neq 1$. Giá trị của biểu thức $\log_a \left( a^3 \cdot \sqrt[4]{a} \right) + (\sqrt[3]{a})^{\log_a 8}$ bằng:
A. $\frac{19}{4}$.
B. $9$.
C. $\frac{21}{4}$.
D. $\frac{47}{12}$.
Câu 8. Cho đồ thị ba hàm số mũ $y = a^x$, $y = b^x$ và $y = c^x$ như trong hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a > c > b$.
B. $b > a > c$.
C. $c > a > b$.
D. $c > b > a$.
Câu 9. Nếu $f(x) = \sin^2 x + xe^{2x}$ thì $f”(0)$ bằng
A. $4$.
B. $5$.
C. $6$.
D. $0$.
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = -2x^3 + 6x^2 – 5$ tại điểm $M(3; -5)$ thuộc đồ thị là
A. $y = 18x + 49$.
B. $y = 18x – 49$.
C. $y = -18x – 49$.
D. $y = -18x + 49$.
Câu 11. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA \perp (ABC)$, $SA = a\sqrt{2}$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng
A. $\frac{6a}{11}$.
B. $\frac{a\sqrt{66}}{11}$.
C. $\frac{a\sqrt{6}}{11}$.
D. $\frac{a\sqrt{11}}{11}$.
Câu 12. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $AC = AA’ = 2a$. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ bằng
A. $8a^3$.
B. $6a^3$.
C. $4a^3$.
D. $a^3$.
Câu 13. Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AC$ và cạnh $AD$. Thể tích khối chóp $B.CMND$ bằng
A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{16}$.
C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$.
D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{8}$.
Câu 14. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = 1, AA’ = 2$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$.
D. $\frac{\sqrt{3}}{8}$.
Câu 15. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có $AC’ = \sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’$ và $BC’$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
D. $\frac{1}{2}$.
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi 16, 17:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các công nhân tại một doanh nghiệp lớn:
Mức thu nhập (triệu đồng/tháng)
[0;5)
[5;10)
[10;15)
[15;20)
[20;25)
Số công nhân
$7$
$18$
$35$
$57$
$28$
Câu 16. Nhóm chứa trung vị là
A. $[5; 10)$.
B. $[10; 15)$.
C. $[15; 20)$.
D. $[20; 25)$.
Câu 17. Nhóm chứa mốt là
A. $[5; 10)$.
B. $[10; 15)$.
C. $[15; 20)$.
D. $[20; 25)$.
Câu 18. Vận động viên Tùng thi bắn súng. Biết rằng xác suất để Tùng bắn trúng vòng 10 là $0,2$. Mỗi vận động viên được bắn hai lần và hai lần bắn là độc lập. Vận động viên đạt huy chương vàng nếu cả hai lần bắn trúng vòng 10. Xác suất để vận động viên Tùng đạt huy chương vàng là
A. $0,04$.
B. $0,035$.
C. $0,05$.
D. $0,045$.
Câu 19. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi người gieo một con xúc xắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên cả hai con xúc xắc của Sơn và Tùng lớn hơn $1$ là
A. $\frac{27}{36}$.
B. $\frac{25}{36}$.
C. $\frac{26}{35}$.
D. $\frac{28}{37}$.
Câu 20. Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là $0,8$ và $0,6$. Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là
Câu 22. Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún cây đu sẽ đưa người chơi dao động qua lại quanh vị trí cân bằng. Giả sử khoảng cách $h$ (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được tính theo thời gian $t$ ($t \ge 0$ và được tính bằng giây) bởi hệ thức $h = |d|$ với $d = 3\cos \left[ \frac{\pi}{3}(2t – 1) \right]$, trong đó ta quy ước rằng $d > 0$ khi vị trí cân bằng ở về phía sau lưng người chơi đu và $d < 0$ trong trường hợp ngược lại.
a) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.
b) Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng $2 \text{ m}$ (tính chính xác đến $0,01$ giây).
Câu 23. Cho cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng ba số $u_1, u_4$ và $u_7$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai $d \neq 0$. Hãy tìm công bội $q$ của cấp số nhân đó.
Câu 24. Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:
Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.
Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm $5\%$.
Kí hiệu $u_n, v_n$ tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ $n$ ứng với các hợp đồng $A$ và $B$.
a) Tính $u_2, u_3$ và $u_n$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng $A$ thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
b) Tính $v_2, v_3$ và $v_n$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng $B$ thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng $B$ vượt lương hằng năm theo hợp đồng $A$?
a) Hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} & \text{khi } x \neq -1 \\ m^2 & \text{khi } x = -1 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x = -1$;
b) Hàm số $g(x) = \begin{cases} 2x + m & \text{khi } x \le 1 \\ \frac{x^3 – x^2 + 2x – 2}{x – 1} & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Câu 27. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
Câu 28. Để xác định tính acid và tính bazơ của các dung dịch, người ta sử dụng khái niệm độ pH. Độ pH của một dung dịch được cho bởi công thức $\text{pH} = -\log[H^+]$, trong đó $[H^+]$ là nồng độ của ion hydrogen (tính bằng mol/lít).
a) Tính độ pH của một dung dịch có nồng độ ion hydrogen là $0,1 \text{ mol/lít}$.
b) Độ pH sẽ biến đổi như thế nào nếu nồng độ ion hydrogen giảm?
c) Xác định nồng độ ion hydrogen trong bia biết độ pH của bia là khoảng $4,5$.
Câu 29. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = 3x^2 – 2\sqrt{x}$;
b) $y = \sqrt{1 + 2x – x^2}$;
c) $y = \tan\frac{x}{2} – \cot\frac{x}{2}$;
d) $y = e^x + \ln x^2$.
Câu 30. Một chất điểm chuyển động có phương trình $s(t) = t^3 – 3t^2 – 9t + 2$, ở đó thời gian $t > 0$ tính bằng giây và quãng đường $s$ tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 2 \text{ giây}$.
b) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 3 \text{ giây}$.
c) Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm vận tốc bằng $0$.
d) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm gia tốc bằng $0$.
Câu 31. Cho tứ diện $OABC$ có $OA = OB = OC = a$, $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 60^\circ$ và $\widehat{BOC} = 90^\circ$.
a) Chứng minh rằng $(OBC) \perp (ABC)$.
b) Tính theo $a$ khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ và thể tích khối tứ diện $OABC$.
Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{2}$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $SC$, cắt các cạnh $SC, SB, SD$ lần lượt tại $M, E, F$.
a) Chứng minh rằng $AE \perp (SBC)$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và hình chóp $S.AEMF$.
Câu 33. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có $AB = a, AA’ = a\sqrt{2}$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BB’$ và $CC’$. Mặt phẳng $(A’MN)$ cắt đường thẳng $AB, AC$ tương ứng tại $H$ và $K$.
a) Chứng minh rằng $MN \parallel HK$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $A’.AHK$.
Câu 34. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp SC$.
b) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$.
Câu 35. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AD = a, AB = a\sqrt{2}$. Biết $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $CD$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAM)$.
b) Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABMD$.
Câu 36. Trong đại dịch Covid-19, một doanh nghiệp muốn hỗ trợ các gia đình thuộc nhóm $25\%$ hộ gia đình có thu nhập thấp nhất ở một địa phương. Một mẫu số liệu ghép nhóm về thu nhập của các hộ gia đình ở địa phương này được cho trong bảng sau:
Thu nhập (triệu đồng/tháng)
[2;5)
[5;8)
[8;11)
[11;14)
[14;17)
[17;20)
Số hộ gia đình
$8$
$17$
$35$
$56$
$27$
$15$
Dựa trên mẫu số liệu trên, hãy xác định hộ gia đình có thu nhập dưới bao nhiêu sẽ nhận được hỗ trợ của doanh nghiệp đó?
Câu 37. Hai bạn Dũng và Cường tham gia một kì thi học sinh giỏi môn Toán. Xác suất để Dũng và Cường đạt giải tương ứng là $0,85$ và $0,9$. Tính xác suất để:
a) Có ít nhất một trong hai bạn đạt giải;
b) Có đúng một bạn đạt giải.
Câu 38. Một máy bay có 4 động cơ trong đó 2 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Chuyến bay hạ cánh an toàn khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ không bị lỗi. Giả sử mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị lỗi là $0,01$ và mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị lỗi là $0,015$. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Tính xác suất để chuyến bay hạ cánh an toàn.
C. $\left(\dfrac{1}{v}\right)’ = -\dfrac{1}{v^2}$.
D. $\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v + uv’}{v^2}$.
9.19. Cho hàm số $f(x) = x^2 + \sin^3 x$. Khi đó $f’\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ bằng:
A. $\pi$.
B. $2\pi$.
C. $\pi + 3$.
D. $\pi – 3$.
9.20. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 1$. Tập nghiệm của bất phương trình $f'(x) \leq 0$ là:
A. $[1; 3]$.
B. $[-1; 3]$.
C. $[-3; 1]$.
D. $[-3; -1]$.
9.21. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{4 + 3u(x)}$ với $u(1) = 7, u'(1) = 10$. Khi đó $f'(1)$ bằng:
A. $1$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $-3$.
9.22. Cho hàm số $f(x) = x^2 e^{-2x}$. Tập nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ là:
A. $\{0; 1\}$.
B. $\{-1; 0\}$.
C. $\{0\}$.
D. $\{1\}$.
9.23. Chuyển động của một vật có phương trình $s(t) = \sin\left(0,8\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$, ở đó $s$ tính bằng centimét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng $0$, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?
A. $4,5 \text{ cm/s}^2$.
B. $5,5 \text{ cm/s}^2$.
C. $6,3 \text{ cm/s}^2$.
D. $7,1 \text{ cm/s}^2$.
9.24. Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4x – 1$ có đồ thị là $(C)$. Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm $M$ trên đồ thị $(C)$ là:
A. $1$.
B. $2$.
C. $-1$.
D. $3$.
B – TỰ LUẬN
9.25. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = \left(\dfrac{2x – 1}{x + 2}\right)^5$;
b) $y = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$;
c) $y = e^x \sin^2 x$;
d) $y = \log(x + \sqrt{x})$.
9.26. Xét hàm số luỹ thừa $y = x^{\alpha}$ với $\alpha$ là số thực.
a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.
b) Bằng cách viết $y = x^{\alpha} = e^{\alpha \ln x}$, tính đạo hàm của hàm số đã cho.
9.27. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Đặt $g(x) = f(1) + 4(x^2 – 1)f'(1)$. Tính $g(2)$.
9.28. Cho hàm số $f(x) = \dfrac{x + 1}{x – 1}$. Tính $f”(1)$.
9.29. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f(1) = 2$ và $f'(x) = x^2 f(x)$ với mọi $x$. Tính $f”(1)$.
9.30. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 + 3x^2 – 1$ tại điểm có hoành độ bằng $1$.
9.31. Đồ thị của hàm số $y = \dfrac{a}{x}$ ($a$ là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
9.32. Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.
9.33. Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: $s = f(t) = t^3 – 6t^2 + 9t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm $t = 2$ giây và $t = 4$ giây.
b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?
c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ giây.
d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.
e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc?
9.15. Cho hàm số $P(x) = ax^2 + bx + 3$ ($a, b$ là hằng số). Tìm $a, b$ biết $P'(1) = 0$ và $P”(1) = -2$.
9.16. Cho hàm số $f(x) = 2 \sin^2 \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$. Chứng minh rằng $|f”(x)| \leq 4$ với mọi $x$.
9.17. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s(t) = 10 + 0,5 \sin \left( 2\pi t + \frac{\pi}{5} \right)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm $t = 5$ giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
9.10. Cho hàm số $f(x) = 2 \sin^2 \left( 3x – \frac{\pi}{4} \right)$. Chứng minh rằng $|f'(x)| \leq 6$ với mọi $x$.
9.11. Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t) = 100 – 4,9t^2$, ở đó độ cao $h$ so với mặt đất tính bằng mét và thời gian $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:
a) Tại thời điểm $t = 5$ giây;
b) Khi vật chạm đất.
9.12. Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t) = 12 + 0,5 \sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?
9.1. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = x^2 – x$ tại $x_0 = 1$;
b) $y = -x^3$ tại $x_0 = -1$.
9.2. Sử dụng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) $y = kx^2 + c$ (với $k, c$ là các hằng số);
b) $y = x^3$.
9.3. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = -x^2 + 4x$, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ $x_0 = 1$;
b) Tiếp điểm có tung độ $y_0 = 0$.
9.4. Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là $19,6$ m/s thì độ cao $h$ của nó (tính bằng mét) sau $t$ giây được cho bởi công thức $h = 19,6t – 4,9t^2$. Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.
9.5. Một kỹ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $0,5$ và $-0,75$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại $P$ và phương trình của parabol là $y = ax^2 + bx + c$, trong đó $x$ tính bằng mét.
a) Tìm $c$.
b) Tính $y'(0)$ và tìm $b$.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa $P$ và $Q$ là $40$ m. Tìm $a$.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$.
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.16, 8.17.
Một hộp đựng 20 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi $A$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn 9”; $B$ là biến cố “Rút được tấm thẻ ghi số không nhỏ hơn 8 và không lớn hơn 15”.
8.16. Số phần tử của $A \cup B$ là
A. 11.
B. 10.
C. 12.
D. 13.
8.17. Số phần tử của $AB$ là
A. 5.
B. 6.
C. 3.
D. 4.
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.18, 8.19.
Tại một hội thảo quốc tế có 50 nhà khoa học, trong đó có 31 người thành thạo tiếng Anh, 21 người thành thạo tiếng Pháp và 5 người thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một người trong hội thảo.
8.18. Xác suất để người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc Pháp là
A. $\frac{47}{50}$
B. $\frac{37}{50}$
C. $\frac{39}{50}$
D. $\frac{41}{50}$
8.19. Xác suất để người được chọn không thành thạo cả hai thứ tiếng Anh hay Pháp là
A. $\frac{7}{50}$
B. $\frac{3}{50}$
C. $\frac{9}{50}$
D. $\frac{11}{50}$
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu hỏi trong các Bài 8.20, 8.21.
Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 23 học sinh thích bóng chuyền, 18 học sinh thích bóng rổ, 26 học sinh thích bóng chuyền hoặc bóng rổ hoặc cả hai. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.
8.20. Xác suất để chọn được học sinh không thích cả bóng chuyền và bóng rổ là
A. $\frac{18}{40}$
B. $\frac{14}{40}$
C. $\frac{19}{40}$
D. $\frac{21}{40}$
8.21. Xác suất để chọn được học sinh thích bóng chuyền và không thích bóng rổ là
A. $\frac{7}{40}$
B. $\frac{9}{40}$
C. $\frac{8}{40}$
D. $\frac{11}{40}$
B – TỰ LUẬN
8.22. Hai vận động viên bắn súng $A$ và $B$ mỗi người bắn một viên đạn vào tấm bia một cách độc lập. Xét các biến cố sau:
$M$: “Vận động viên $A$ bắn trúng vòng 10”;
$N$: “Vận động viên $B$ bắn trúng vòng 10”.
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo biến cố $M$ và $N$:
$C$: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”;
$D$: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10”;
$E$: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10”;
$F$: “Vận động viên $A$ bắn trúng và vận động viên $B$ không bắn trúng vòng 10”;
$G$: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10”.
8.23. Một đoàn khách du lịch gồm 31 người, trong đó có 7 người đến từ Hà Nội, 5 người đến từ Hải Phòng. Chọn ngẫu nhiên một người trong đoàn. Tính xác suất để người đó đến từ Hà Nội hoặc đến từ Hải Phòng.
8.24. Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:
$A$: “Ở lần gieo thứ nhất, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 1”;
$B$: “Ở lần gieo thứ hai, số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 2”;
$C$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 8”;
$D$: “Tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc ở hai lần gieo là 7”.
Chứng tỏ rằng các cặp biến cố $A$ và $C$; $B$ và $C$; $C$ và $D$ không độc lập.
8.25. Hai chuyến bay của hai hãng hàng không $X$ và $Y$, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng $X$ và hãng $Y$ khởi hành đúng giờ tương ứng là 0,92 và 0,98. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:
a) Cả hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;
b) Chỉ có duy nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ;
c) Có ít nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.
