BÀI TẬP

6.1. Xét hai đại lượng $x, y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?

a) $x + y = 1$;

b) $y = x^2$;

c) $y^2 = x$;

d) $x^2 – y^2 = 0$.

6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.

6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 + 3x + 1$;

b) $y = \frac{x – 1}{x^2 – 3x + 2}$;

c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 – x}$.

6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2x + 3$;

b) $y = 2x^2$.

6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.

a) $y = -2x + 1$;

b) $y = -\frac{1}{2}x^2$.

6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là 1,2 triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và 900 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày $x$ mà khách thuê xe.

a) Viết công thức của hàm số $T = T(x)$.

b) Tính $T(2), T(3), T(5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

BÀI TẬP

6.7. Vẽ các đường parabol sau:

a) $y = x^2 – 3x + 2$;

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$;

c) $y = x^2 + 2x + 1$;

d) $y = -x^2 + x – 1$.

6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

6.9. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$, trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$;

b) Đi qua điểm $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$;

c) Có đỉnh $I(1; 2)$;

d) Đi qua điểm $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh $-0,25$.

6.10. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$, biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8; 0)$ và có đỉnh là $I(6; -12)$.

6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$. Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$, trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.

An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.

Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.

Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = \frac{-3}{1000}x^2 + x$, trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc $O$, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).

a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

BÀI TẬP

6.15. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) $3x^2 – 4x + 1$;

b) $x^2 + 2x + 1$;

c) $-x^2 + 3x – 2$;

d) $-x^2 + x – 1$.

6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:

a) $x^2 – 1 \ge 0$;

b) $x^2 – 2x – 1 < 0$;

c) $-3x^2 + 12x + 1 \le 0$;

d) $5x^2 + x + 1 \ge 0$.

6.17. Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:

$x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$.

6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.

6.19. Xét đường tròn đường kính $AB = 4$ và một điểm $M$ di chuyển trên đoạn $AB$, đặt $AM = x$ (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính $AM$ và $MB$. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.

BÀI TẬP

6.20. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2 – 4x – 1} = \sqrt{2x^2 – 4x + 3}$;

b) $\sqrt{x^2 + 2x – 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$;

c) $\sqrt{2x^2 + 3x – 3} = \sqrt{-x^2 – x + 1}$;

d) $\sqrt{-x^2 + 5x – 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$.

6.21. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$;

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 – x$;

c) $\sqrt{3x^2 – 17x + 23} = x – 3$;

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x – 2$.

6.22. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$; $AB = 2$; $BC = 13$; $CD = 8$; $DA = 5$ (H.6.21). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x = AH$. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.

6.23. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50\text{ m}$ để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200\text{ m}$ thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5\text{ km/h}$, vận tốc xe đạp của Hùng là $15\text{ km/h}$. Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI

A – TRẮC NGHIỆM

Chọn phương án đúng.

6.24. Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x – 2}}$ là

A. $D = [2; +\infty)$.

B. $D = (2; +\infty)$.

C. $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

D. $D = \mathbb{R}$.

6.25. Parabol $y = -x^2 + 2x + 3$ có đỉnh là

A. $I(-1; 0)$.

B. $I(3; 0)$.

C. $I(0; 3)$.

D. $I(1; 4)$.

6.26. Hàm số $y = x^2 – 5x + 4$

A. Đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

B. Đồng biến trên khoảng $(-\infty; 4)$.

C. Nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.

D. Nghịch biến trên khoảng $(1; 4)$.

6.27. Bất phương trình $x^2 – 2mx + 4 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi

A. $m = -1$.

B. $m = -2$.

C. $m = 2$.

D. $m > 2$.

6.28. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 – 3} = x – 1$ là

A. $\{-1 – \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}$.

B. $\{-1 – \sqrt{5}\}$.

C. $\{-1 + \sqrt{5}\}$.

D. $\varnothing$.

---

B – TỰ LUẬN

6.29. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{2x – 1} + \sqrt{5 – x}$;

b) $y = \frac{1}{\sqrt{x – 1}}$.

6.30. Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:

a) $y = -x^2 + 6x – 9$;

b) $y = -x^2 – 4x + 1$;

c) $y = x^2 + 4x$;

d) $y = 2x^2 + 2x + 1$.

6.31. Xác định parabol (P): $y = ax^2 + bx + 3$ trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua hai điểm $A(1; 1)$ và $B(-1; 0)$;

b) (P) đi qua điểm $M(1; 2)$ và nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng;

c) (P) có đỉnh là $I(1; 4)$.

6.32. Giải các bất phương trình sau:

a) $2x^2 – 3x + 1 > 0$;

b) $x^2 + 5x + 4 < 0$;

c) $-3x^2 + 12x – 12 \ge 0$;

d) $2x^2 + 2x + 1 < 0$.

6.33. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 – 14} = x – 1$;

b) $\sqrt{-x^2 – 5x + 2} = \sqrt{x^2 – 2x – 3}$.

6.34. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 3,2 nghìn và 4 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai.

Giả sử $t$ là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm $(0; 3,2)$ và $(1; 4)$. Giả sử điểm $(0; 3,2)$ là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.

a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.

b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024.

c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

A – TRẮC NGHIỆM

5.17. Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia 0,2 kg thì độ chính xác $d$ là

A. 0,1 kg.

B. 0,2 kg.

C. 0,3 kg.

D. 0,4 kg.

5.18. Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?

A. Đúng.

B. Sai.

5.19. Có 25% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$, đúng hay sai?

A. Đúng.

B. Sai.

5.20. Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?

A. Số trung bình.

B. Mốt.

C. Trung vị.

D. Độ lệch chuẩn.

5.21. Điểm trung bình môn học kì I một số môn học của bạn An là 8; 9; 7; 6; 5; 7; 3. Nếu An được cộng thêm mỗi môn 0,5 điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?

A. Số trung bình.

B. Trung vị.

C. Độ lệch chuẩn.

D. Tứ phân vị.

---

B – TỰ LUẬN

5.22. Lương khởi điểm của 5 sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là:

$$3,5 \quad 9,2 \quad 9,2 \quad 9,5 \quad 10,5.$$

a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này.

b) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?

5.23. Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của 11 học sinh lớp 10 được cho trong bảng sau:

Học sinh	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
Toán	62	91	43	31	57	63	80	37	43	5	78
Tiếng Anh	65	57	55	37	62	70	73	49	65	41	64

Hãy so sánh mức độ học đều của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.

5.24. Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người).

Tỉnh/thành phố	Dân số	Tỉnh/thành phố	Dân số
Hà Nội	7,52	Hưng Yên	1,19
Vĩnh Phúc	1,09	Thái Bình	1,79
Bắc Ninh	1,25	Hà Nam	0,81
Quảng Ninh	1,27	Nam Định	1,85
Hải Dương	1,81	Ninh Bình	0,97
Hải Phòng	2,01

a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.

c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?

5.25. Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:

Đồng bằng sông Hồng: 187 34 35 46 54 57 37 39 23 57 27.

Đồng bằng sông Cửu Long: 33 34 33 29 24 39 42 24 23 19 24 15 26.

a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.

b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?

c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?

5.26. Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của 10 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:

$$5,5 \quad 13,8 \quad 10,2 \quad 12,2 \quad 11,0 \quad 7,4 \quad 11,4 \quad 13,1 \quad 12,5 \quad 13,4.$$

a) Tính số trung bình, trung vị, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Thực hiện làm tròn đến hàng đơn vị cho các giá trị trong mẫu số liệu. Sai số tuyệt đối của phép làm tròn này không vượt quá bao nhiêu?

BÀI TẬP

5.11. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.

(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.

(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.

(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.

(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.

5.12. Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

(Hình ảnh biểu đồ A và B)

Không tính toán, hãy cho biết:

a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?

b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?

5.13. Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:

a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.

5.14. Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 51 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:

Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5; $Q_1 = 36$; $Q_2 = 60$; $Q_3 = 100$; giá trị lớn nhất bằng 205.

a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?

b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.

c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

5.15. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):

2,977; 3,155; 3,920; 3,412; 4,236

2,593; 3,270; 3,813; 4,042; 3,387.

Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

5.16. Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:

7,8; 3,2; 7,7; 8,7; 8,6; 8,4; 7,2; 3,6

5,0; 4,4; 6,7; 7,0; 4,5; 6,0; 5,4.

Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.

BÀI TẬP

5.7. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:

a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:

9, 8, 15, 8, 20.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):

350, 300, 650, 300, 450, 500, 300, 250.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:

36, 38, 33, 34, 32, 30, 34, 35.

5.8. Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tính giá trị của số đặc trưng đó.

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:

Hành tinh	Thuỷ tinh	Kim tinh	Trái Đất	Hoả tinh	Mộc tinh	Thổ tinh	Thiên Vương tinh	Hải Vương tinh
Số mặt trăng	0	0	1	2	63	34	27	13
(Theo NASA)

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:

32, 24, 20, 14, 23.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60, 72, 63, 83, 68, 74, 90, 86, 74, 80.

d) Các sai số trong một phép đo: 10, 15, 18, 15, 14, 13, 42, 15, 12, 14, 42.

5.9. Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018 – 2019 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:

0, 0, 4, 0, 0, 0, 10, 0, 6, 0.

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

5.10. Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).

Sân vận động	Cẩm Phả	Thiên Trường	Hàng Đẫy	Thanh Hoá	Mỹ Đình
Số chỗ ngồi	20 120	21 315	23 405	20 120	37 546
(Theo vov.vn)

Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?

BÀI TẬP

5.1. Trong các số sau, những số nào là số gần đúng?

a) Cân một túi gạo cho kết quả là 10,2 kg.

b) Bán kính Trái Đất là 6 371 km.

c) Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời mất 365 ngày.

5.2. Giải thích kết quả “Đo độ cao của một ngọn núi cho kết quả là $1235 \pm 5$ m” và thực hiện làm tròn số gần đúng.

5.3. Sử dụng máy tính cầm tay tìm số gần đúng cho $\sqrt[3]{7}$ với độ chính xác 0,0005.

5.4. Các nhà vật lí sử dụng ba phương pháp đo hằng số Hubble lần lượt cho kết quả như sau:

$67,31 \pm 0,96$; $67,90 \pm 0,55$; $67,74 \pm 0,46$.

Phương pháp nào chính xác nhất tính theo sai số tương đối?

5.5. An và Bình cùng tính chu vi của hình tròn bán kính 2 cm với hai kết quả như sau:

Kết quả của An: $S_1 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 2 = 12,56$ cm;

Kết quả của Bình: $S_2 = 2\pi R \approx 2 \cdot 3,1 \cdot 2 = 12,4$ cm.

Hỏi:

a) Hai giá trị tính được có phải là các số gần đúng không?

b) Giá trị nào chính xác hơn?

5.6. Làm tròn số 8 316,4 đến hàng chục và 9,754 đến hàng phần trăm rồi tính sai số tuyệt đối của số quy tròn.