Blog

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

A – TRẮC NGHIỆM

3.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 135^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{1}{2}ca$. B. $S = \frac{-\sqrt{2}}{4}ac$. C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}bc$. D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}ca$.

b) A. $R = \frac{a}{\sin A}$. B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}b$. C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}c$. D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}a$.

c) A. $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}ab$. B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$. C. $\sin B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos 135^\circ$.

3.13. Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{abc}{4R}$. B. $r = \frac{2S}{a + b + c}$. C. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$. D. $S = r(a + b + c)$.

b) A. $\sin A = \sin(B + C)$. B. $\cos A = \cos(B + C)$. C. $\cos A > 0$. D. $\sin A \le 0$.

---

B – TỰ LUẬN

3.14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ$;

b) $N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$;

c) $P = 1 + \tan^2 60^\circ$;

d) $Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} – \cot^2 120^\circ$.

3.15. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} = 45^\circ, AC = 10$. Tính $a, R, S, r$.

3.16. Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$;

b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$;

c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

3.17. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;

b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;

c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.

3.18. Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu $B$.

a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?

3.19. Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

BÀI TẬP

3.5. Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 5, c = 8$. Tính $\cos A, S, r$.

3.6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 70^\circ$. Tính $R, b, c$.

3.7. Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ, \widehat{B} = 130^\circ, c = 6$.

3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70$ km/h. Đi được $90$ phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8$ km/h. Sau $2$ giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

3.9. Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao $5$ m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

BÀI GIẢI

📝 Bài 3.5: Tam giác $a=6, b=5, c=8$

1. Tính $\cos A$:$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 – 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 – 36}{80} = \mathbf{\frac{53}{80}}$$
2. Tính diện tích $S$:
   • Nửa chu vi $p = \frac{6+5+8}{2} = 9.5$.
   • Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9.5(3.5)(4.5)(1.5)} \approx \mathbf{14.98}$ (đơn vị diện tích).
3. Tính bán kính $r$:
   • $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{14.98}{9.5} \approx \mathbf{1.58}$.

---

📐 Bài 3.6: Tam giác $a=10, \hat{A}=45^\circ, \hat{B}=70^\circ$

Bài này chúng ta dùng Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.

1. Tính $R$: $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \Rightarrow \mathbf{R = 5\sqrt{2}} \approx 7.07$.
2. Tính $b$: $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{13.29}$.
3. Tính $c$:
   • Góc $\hat{C} = 180^\circ – (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ$.
   • $c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{12.82}$.

---

🔍 Bài 3.7: Giải tam giác $\hat{A}=15^\circ, \hat{B}=130^\circ, c=6$

“Giải tam giác” nghĩa là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại.

1. Góc $\hat{C}$: $\hat{C} = 180^\circ – (15^\circ + 130^\circ) = \mathbf{35^\circ}$.
2. Cạnh $a$ và $b$ (Dùng định lý Sin):
   • $a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{2.71}$.
   • $b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{8.01}$.
3. Diện tích $S$: $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 2.71 \cdot 6 \cdot \sin 130^\circ \approx \mathbf{6.23}$.

---

Bài 3.8. Bài toán con tàu

Gọi $A$ là vị trí cảng, $B$ là vị trí tàu khi hỏng động cơ và $C$ là vị trí hòn đảo nơi tàu neo đậu.

Tính quãng đường

• Giai đoạn 1 (AB):
  • Thời gian: $t_1 = 90$ phút = $1,5$ giờ.
  • Quãng đường $AB = v_1 \times t_1 = 70 \times 1,5 = 105$ (km).
• Giai đoạn 2 (BC):
  • Thời gian: $t_2 = 2$ giờ.
  • Quãng đường $BC = v_2 \times t_2 = 8 \times 2 = 16$ (km).

Xác định góc $\widehat{ABC}$

• Tàu đi từ $A$ theo hướng $S70^\circ E$. Nghĩa là góc tạo bởi $AB$ và tia Nam tại $A$ là $70^\circ$.
• Khi đến $B$, tàu trôi tự do theo hướng Nam (song song với tia Nam tại $A$).
• Theo tính chất so le trong (hoặc góc đồng vị), góc hợp bởi đoạn $AB$ và đoạn $BC$ (hướng Nam) chính là $180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$. Vậy trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{B} = 110^\circ$.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo (Đoạn AC)

Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 \approx 11025 + 256 – (3360 \cdot (-0,342))$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$AC \approx \sqrt{12430,12} \approx 111,49 \text{ (km)}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{A}$ (tức góc $\widehat{BAC}$) để xem hướng $AC$ lệch bao nhiêu độ so với hướng ban đầu.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC}$$

$$\sin A = \frac{16 \cdot \sin 110^\circ}{111,49} \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \widehat{A} \approx 7,75^\circ$$

• Xác định hướng: Ban đầu hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông. Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên góc lệch của $AC$ so với hướng Nam sẽ nhỏ đi: $70^\circ – 7,75^\circ = 62,25^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến $C$ là $S62,25^\circ E$.

🏢 Bài 3.9: Tính chiều cao tòa nhà và các góc

Dựa vào hình 3.18, ta có các dữ kiện:

• $BC = 5$ m (chiều cao cột ăng-ten).
• Tại điểm $A$, góc nhìn lên đỉnh $B$ là $50^\circ$, nhìn lên chân $C$ là $40^\circ$ so với phương ngang.

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Hãy nhìn vào tam giác $ABC$ trong hình:

1. Góc $\widehat{BAC}$: Đây là hiệu của hai góc nhìn.$$\widehat{BAC} = 50^\circ – 40^\circ = \mathbf{10^\circ}$$
2. Góc $\widehat{ABC}$: Gọi đường nằm ngang kẻ từ $A$ là $Ax$. Vì cột ăng-ten thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Trong tam giác vuông tạo bởi đỉnh $B$, $A$ và đường thẳng đứng qua $BC$, ta có:$$\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$$
3. Góc $\widehat{ACB}$: Tổng ba góc trong tam giác là $180^\circ$.$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của toà nhà

Để tính chiều cao tòa nhà, trước hết ta cần tìm độ dài cạnh $AC$ bằng Định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow AC = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 18.5 \text{ m}$$

Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên phương nằm ngang đi qua $A$. Trong tam giác vuông $AHC$:

• Cạnh đối $CH = AC \cdot \sin 40^\circ \approx 18.5 \cdot \sin 40^\circ \approx 11.89$ m.
• Chiều cao tòa nhà = $CH +$ (chiều cao điểm quan sát $A$ so với đất)
• Chiều cao tòa nhà $\approx 11.89 + 7 = \mathbf{18.89}$ m.

---

🏝️ Bài 3.10: Đề xuất cách xác định bề rộng hòn đảo

Đây là một bài toán thực tế yêu cầu khả năng tư duy mô hình hóa. Để đo bề rộng hòn đảo (đoạn $PQ$) từ bờ biển, mình đề xuất phương pháp sau:

Cách làm:

1. Chọn hai điểm mốc $A, B$ trên bãi biển cách nhau một khoảng $d$ đo được (ví dụ $d = 100$ m).
2. Đo các góc nhìn:
   • Tại $A$, dùng dụng cụ đo góc để xác định góc $\alpha_1$ nhìn về phía đầu đảo $P$ và $\alpha_2$ nhìn về phía đầu đảo $Q$ (so với đường thẳng $AB$).
   • Tại $B$, làm tương tự để đo góc $\beta_1$ nhìn về $P$ và $\beta_2$ nhìn về $Q$.
3. Tính toán:
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABP$ để tính độ dài $AP$.
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABQ$ để tính độ dài $AQ$.
   • Cuối cùng, xét tam giác $APQ$, ta đã biết $AP, AQ$ và góc $\widehat{PAQ} = |\alpha_1 – \alpha_2|$. Áp dụng Định lý Cosin để tính bề rộng $PQ$:$$PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2 – 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot \cos(\widehat{PAQ})}$$

⛰️ Bài 3.11: Tính độ dài đường hầm xuyên núi

Để tính được đoạn $AD$, chúng ta sẽ chia hình thang/tứ giác $ABCD$ thành các tam giác nhỏ để áp dụng định lý Cosin.

Bước 1: Tính độ dài đường cũ

Đường cũ đi qua các đoạn $DC, CB, BA$:

• $L_{\text{cũ}} = DC + CB + BA = 12 + 6 + 8 = \mathbf{26 \text{ km}}$.

Bước 2: Tính độ dài đường mới $AD$

Chúng ta sẽ nối $A$ với $C$ để tạo thành tam giác $ABC$.

1. Xét tam giác $ABC$:
   • Đã biết $AB = 8, BC = 6$ và góc $\widehat{B} = 105^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AC$:$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ$$$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot (-0.2588) \approx 100 + 24.84 = 124.84$$$$\Rightarrow AC \approx \mathbf{11.17 \text{ km}}$$
2. Tính góc $\widehat{ACB}$ để tìm góc $\widehat{ACD}$:
   • Dùng định lý Sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin B}$
   • $\sin \widehat{ACB} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11.17} \approx 0.6918 \Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43.77^\circ$.
   • Góc còn lại: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43.77^\circ = \mathbf{91.23^\circ}$.
3. Xét tam giác $ACD$:
   • Đã biết $AC \approx 11.17, CD = 12$ và góc $\widehat{ACD} \approx 91.23^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AD$:$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \widehat{ACD}$$$$AD^2 \approx 124.84 + 144 – 2 \cdot 11.17 \cdot 12 \cdot \cos 91.23^\circ$$$$AD^2 \approx 268.84 – 268.08 \cdot (-0.0215) \approx 268.84 + 5.76 = 274.6$$$$\Rightarrow AD \approx \mathbf{16.57 \text{ km}}$$

Bước 3: Tính số kilômét giảm được

• Độ dài giảm đi = $L_{\text{cũ}} – AD \approx 26 – 16.57 = \mathbf{9.43 \text{ km}}$.

BÀI TẬP

3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $(2 \sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3 \tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$;

b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$;

c) $\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.

Chú ý. $\sin^2 \alpha = (\sin \alpha)^2, \cos^2 \alpha = (\cos \alpha)^2, \tan^2 \alpha = (\tan \alpha)^2, \cot^2 \alpha = (\cot \alpha)^2$.

3.2. Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$;

b) $2 \sin (180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos (180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot (180^\circ – \alpha)$, với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

3.3. Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$;

b) $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \neq 90^\circ$);

c) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

3.4. Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thoả mãn $\tan \alpha = 3$.

Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{2 \sin \alpha – 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}$.

GIẢI

Bài 3.1: Tính giá trị biểu thức

a) $(2\sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3\tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos 180^\circ = -1$; $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Thay vào: $A = (2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} – 3 \cdot \frac{-\sqrt{3}}{3}) \cdot (-1 – \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 – \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3})(-1 – \frac{\sqrt{3}}{3})$

b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$

• $1^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2 – (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1 = \mathbf{\frac{1}{4}}$

c) $C = \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$

• Ta có: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$; $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Thay vào: $C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
• $C = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \mathbf{1}$.

---

Bài 3.2: Đơn giản biểu thức

a) $A = \sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$

• Dùng góc bù: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ – 80^\circ) = \sin 80^\circ$
• $\cos 164^\circ = \cos(180^\circ – 16^\circ) = -\cos 16^\circ$

Kết quả: $A = \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ – \cos 164^\circ = \mathbf{2\sin 80^\circ}$

b) $B = 2\sin(180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos(180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot(180^\circ – \alpha)$

• Áp dụng công thức góc bù:
  • $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$
  • $\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos \alpha$
  • $\cot(180^\circ – \alpha) = -\cot \alpha$
• Thay vào biểu thức:
  • $B = 2\sin \alpha \cdot \cot \alpha – (-\cos \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot (-\cot \alpha)$
• Nhớ rằng $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$:
  • $B = 2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} – \cos \alpha \cdot (\tan \alpha \cdot \cot \alpha)$
  • $B = 2\cos \alpha – \cos \alpha \cdot 1 = \mathbf{\cos \alpha}$.

---

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức

Đây là phần quan trọng nhất vì nó là nền tảng cho mọi bài toán lượng giác sau này!

a) Chứng minh $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

• Xét điểm $M(x; y)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\angle xOM = \alpha$.
• Theo định nghĩa: $x = \cos \alpha$ và $y = \sin \alpha$.
• Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi điểm $M$, hình chiếu của $M$ và gốc tọa độ $O$: $x^2 + y^2 = R^2$.
• Vì đây là đường tròn đơn vị nên $R = 1$. Vậy $\mathbf{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1}$ (Đpcm).

b) Chứng minh $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

• Ta có: $1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
• Quy đồng mẫu số: $\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
• Từ câu (a), ta biết $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
• Vậy: $\mathbf{1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$ (Đpcm).

c) Chứng minh $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

• Ta có: $1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
• Quy đồng mẫu số: $\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
• Tương tự: $\mathbf{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$ (Đpcm).

Bài 3.4: Tính giá trị $P$ khi biết $\tan \alpha = 3$

Để tính $P = \frac{2\sin \alpha – 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}$, mẹo hay nhất là chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$):

$$P = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} – 3}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 2} = \frac{2\tan \alpha – 3}{3\tan \alpha + 2}$$

Thay $\tan \alpha = 3$ vào:

$$P = \frac{2(3) – 3}{3(3) + 2} = \frac{3}{11}$$

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

A – TRẮC NGHIỆM

2.7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $x + y > 3$.

B. $x^2 + y^2 \le 4$.

C. $(x – y)(3x + y) \ge 1$.

D. $y^3 – 2 \le 0$.

2.8. Cho bất phương trình $2x + y > 3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $[3; +\infty)$.

2.9. Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x – y < 3$?

2.10. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\begin{cases} x – y < 0 \\ 2y \ge 0. \end{cases}$

B. $\begin{cases} 3x + y^3 < 0 \\ x + y > 3. \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + 2y < 0 \\ y^2 + 3 < 0. \end{cases}$

D. $\begin{cases} -x^3 + y < 4 \\ x + 2y < 1. \end{cases}$

2.11. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x – y < -3 \\ 2y \ge -4 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. $(0; 0)$.

B. $(-2; 1)$.

C. $(3; -1)$.

D. $(-3; 1)$.

---

B – TỰ LUẬN

2.12. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x + y}{2} \ge \frac{2x – y + 1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

2.13. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y < 1 \\ 2x – y \ge 3 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

2.14. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y – 2x \le 2 \\ y \le 4 \\ x \le 5 \\ x + y \ge -1 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = -x – y$ với $(x; y)$ thoả mãn hệ trên.

2.15. Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

2.16. Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.

Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo $x$ (giây) trên đài phát thanh và $y$ (giây) trên truyền hình là $F(x, y) = x + 8y$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y)$ với $x, y$ thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y \ge 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y – x > 1; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0; \end{cases}$

d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$

2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\begin{cases} y – x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x – y < 0. \end{cases}$

2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $2x + 3y > 6$;

b) $2^2x + y \leq 0$;

c) $2x^2 – y \geq 1$.

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $3x + 2y \geq 300$;

b) $7x + 20y < 0$.

2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

	Phí cố định (nghìn đồng/ngày)	Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu	900	8
Thứ Bảy và Chủ nhật	1 500	10

a) Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa $x$ và $y$ sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.

1.17. Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

B. $3 < 1$.

C. $4 – 5 = 1$.

D. Bạn học giỏi quá!

1.18. Cho định lí: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để diện tích của chúng bằng nhau.

B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần và đủ để chúng có diện tích bằng nhau.

C. Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện đủ để chúng bằng nhau.

D. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau.

1.19. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 1 \Rightarrow x > -1$.

B. $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 1 \Rightarrow x > 1$.

C. $\forall x \in \mathbb{R}, x > -1 \Rightarrow x^2 > 1$.

D. $\forall x \in \mathbb{R}, x > 1 \Rightarrow x^2 > 1$.

1.20. Cho tập hợp $A = \{a; b; c\}$. Tập $A$ có bao nhiêu tập con?

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 10.

1.21. Cho các tập hợp $A, B$ được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình bên. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. $A \cap B$.

B. $A \setminus B$.

C. $A \cup B$.

D. $B \setminus A$.

B – TỰ LUẬN

1.22. Biểu diễn các tập hợp sau bằng biểu đồ Ven:

a) $A = \{0; 1; 2; 3\}$;

b) $B = \{\text{Lan; Huệ; Trang}\}$.

1.23. Phần không bị gạch trên trục số dưới đây biểu diễn tập hợp số nào?

1.24. Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 7\}$; $B = \{1; 2; 3; 6; 7; 8\}$. Xác định các tập hợp sau:

$$A \cup B; A \cap B; A \setminus B.$$

1.25. Cho hai tập hợp $A = [-2; 3]$ và $B = (1; +\infty)$. Xác định các tập hợp sau:

$$A \cap B; B \setminus A \text{ và } C_{\mathbb{R}}B.$$

1.26. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-\infty; 1) \cap (0; +\infty)$;

b) $(4; 7] \cup (-1; 5)$;

c) $(4; 7] \setminus (-3; 5]$.

1.27. Một cuộc khảo sát về khách du lịch thăm vịnh Hạ Long cho thấy trong 1 410 khách du lịch được phỏng vấn có 789 khách du lịch đến thăm động Thiên Cung, 690 khách du lịch đến đảo Titop. Toàn bộ khách được phỏng vấn đã đến ít nhất một trong hai địa điểm trên. Hỏi có bao nhiêu khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop ở vịnh Hạ Long?

1.8. Gọi $X$ là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp $X$ và biểu diễn tập $X$ bằng biểu đồ Ven.

1.9. Kí hiệu $E$ là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.

a) Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp $E$.

b) Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp $E$.

c) Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp $E$. Tập hợp $E$ có bao nhiêu phần tử?

1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:

$$A = \{0; 4; 8; 12; 16\}.$$

1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?

$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 – 6 = 0\}; \quad B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 – 6 = 0\}.$

1.12. Cho $X = \{a; b\}$. Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.

a) $a \subset X$;

b) $\{a\} \subset X$;

c) $\varnothing \in X$.

1.13. Cho $A = \{2; 5\}, B = \{5; x\}, C = \{2; y\}$. Tìm $x$ và $y$ để $A = B = C$.

1.14. Cho $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid x < 4\}; B = \{x \in \mathbb{Z} \mid (5x – 3x^2)(x^2 + 2x – 3) = 0\}$.

a) Liệt kê các phần tử của hai tập hợp $A$ và $B$.

b) Hãy xác định các tập hợp $A \cap B, A \cup B$ và $A \setminus B$.

1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-4; 1] \cap [0; 3)$;

b) $(0; 2] \cup (-3; 1]$;

c) $(-2; 1) \cap (-\infty; 1]$;

d) $\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]$.

1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?

b) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?

c) Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?

1.1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

1.2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\pi < \frac{10}{3}$;

b) Phương trình $3x + 7 = 0$ có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 2 022 là hợp số.

1.3. Cho hai câu sau:

$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông”;

$Q$: “Tam giác $ABC$ có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

1.4. Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

$P$: “Nếu số tự nhiên $n$ có chữ số tận cùng là 5 thì $n$ chia hết cho 5”;

$Q$: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật thì tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau”.

1.5. Với hai số thực $a$ và $b$, xét các mệnh đề $P: “a^2 < b^2”$ và $Q: “0 < a < b”$.

a) Hãy phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

1.6. Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

$Q: “\exists n \in \mathbb{N}, n \text{ chia hết cho } n + 1”.$

1.7. Dùng kí hiệu $\forall, \exists$ để viết các mệnh đề sau:

$P$: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

$Q$: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

1.6. Cho các số: 27 501; 106 712; 7 110 385; 2 915 404 267.

Lý thuyết & Phương pháp:

• Cách đọc: Tách số thành từng lớp (lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu, lớp tỷ) từ phải sang trái, mỗi lớp có 3 chữ số. Đọc từ trái sang phải.
• Giá trị chữ số: Một chữ số ở hàng nào thì có giá trị bằng (chữ số đó) $\times$ (đơn vị hàng đó).

Bài giải

a) Đọc số:

• 27 501: Hai mươi bảy nghìn năm trăm linh một.
• 106 712: Một trăm lẻ sáu nghìn bảy trăm mười hai.
• 7 110 385: Bảy triệu một trăm mười nghìn ba trăm tám mươi lăm.
• 2 915 404 267: Hai tỷ chín trăm mười lăm triệu bốn trăm linh bốn nghìn hai trăm sáu mươi bảy.

b) Giá trị của chữ số 7:

• Trong số 27 501: Chữ số 7 ở hàng nghìn $\rightarrow$ Giá trị là 7 000.
• Trong số 106 712: Chữ số 7 ở hàng trăm $\rightarrow$ Giá trị là 700.
• Trong số 7 110 385: Chữ số 7 ở hàng triệu $\rightarrow$ Giá trị là 7 000 000.
• Trong số 2 915 404 267: Chữ số 7 ở hàng đơn vị $\rightarrow$ Giá trị là 7.