Blog

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A – TRẮC NGHIỆM

4.27. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = \left(\frac{1}{2}; 6\right)$.

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3\sqrt{2})$.

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$.

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; -6)$.

4.28. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$.

B. $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-1; 1)$.

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (-b; a)$.

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$.

4.29. Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} = (1; 1)$.

B. $\vec{b} = (1; -1)$.

C. $\vec{c} = \left(2; \frac{1}{2}\right)$.

D. $\vec{d} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

4.30. Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; -1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2; 0)$ có số đo bằng:

A. $90^\circ$.

B. $0^\circ$.

C. $135^\circ$.

D. $45^\circ$.

4.31. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$.

B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin(\vec{a}, \vec{b})$.

D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{a} \cdot \vec{c}$.

4.32. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{AB}, \vec{BD}) = 45^\circ$.

B. $(\vec{AC}, \vec{BC}) = 45^\circ$ và $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = a^2$.

C. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2 \sqrt{2}$.

D. $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = -a^2$.

---

B – TỰ LUẬN

4.33. Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

4.34. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có:

$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}$.

4.35. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(2; 1), B(-2; 5)$ và $C(-5; 2)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.

b) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.

4.36. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2)$ và $D(6; 5)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương.

c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a; 1)$. Tìm $a$ để các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BE}$ cùng phương.

d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{AE}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

4.37. Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.

4.38. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$.

b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}$.

4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $S15^\circ E$ với vận tốc có độ lớn bằng $20\text{ km/h}$. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3\text{ km/h}$.

BÀI TẬP

4.16. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(1; 3)$, $N(4; 2)$.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng $OM, ON, MN$.

b) Chứng minh rằng tam giác $OMN$ vuông cân.

4.17. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $\vec{a} = 3\vec{i} – 2\vec{j}$, $\vec{b} = (4; -1)$ và các điểm $M(-3; 6)$, $N(3; -3)$.

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\vec{MN}$ và $2\vec{a} – \vec{b}$.

b) Các điểm $O, M, N$ có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm $P(x; y)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.

4.18. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2)$.

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.

c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

d) Tìm điểm $D(x; y)$ để $O(0; 0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.

4.19. Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí $A(1; 2)$ chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\vec{v} = (3; 4)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

4.20. Trong Hình 4.38, quân mã đang ở vị trí có tọa độ $(1; 2)$. Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

BÀI TẬP

4.11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

4.12. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$.

4.13. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$.

a) Hãy xác định điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.

4.14. Cho tam giác $ABC$.

a) Hãy xác định điểm $M$ để $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm $O$, ta có $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}$.

4.15. Chất điểm $A$ chịu tác động của ba lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_2}, \vec{F_3}$, biết $\vec{F_1}$ có độ lớn là $20\text{ N}$.

BÀI TẬP

4.6. Cho bốn điểm $A, B, C, D$. Chứng minh rằng:

a) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$;

b) $\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{BC} – \vec{BD}$.

4.7. Cho hình bình hành $ABCD$. Hãy tìm điểm $M$ để $\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{CD}$ và $\vec{CM}$.

4.8. Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các vectơ $\vec{AB} – \vec{AC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$.

4.9. Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ cùng tác động lên một vật, cho $|\vec{F_1}| = 3 \text{ N}, |\vec{F_2}| = 2 \text{ N}$. Tính độ lớn của hợp lực $\vec{F_1} + \vec{F_2}$.

4.10. Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

BÀI TẬP

4.1. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều khác $\vec{0}$. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đều cùng hướng với $\vec{0}$;

b) Nếu $\vec{b}$ không cùng hướng với $\vec{a}$ thì $\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{a}$;

c) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương;

d) Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

4.2. Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.

4.3. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{BC} = \vec{AD}$.

4.4. Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Hãy chỉ ra tập hợp $S$ gồm tất cả các vectơ khác $\vec{0}$, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp $\{A; B; C; D; O\}$. Hãy chia tập $S$ thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.

4.5. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, hãy vẽ các vectơ $\vec{OA}, \vec{MN}$ với $A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5)$.

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.

b) Một vật thể khởi hành từ $M$ và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ $\vec{v} = \vec{OA}$. Hỏi vật thể đó có đi qua $N$ hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới $N$?

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

A – TRẮC NGHIỆM

3.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 135^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{1}{2}ca$. B. $S = \frac{-\sqrt{2}}{4}ac$. C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}bc$. D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}ca$.

b) A. $R = \frac{a}{\sin A}$. B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}b$. C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}c$. D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}a$.

c) A. $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}ab$. B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$. C. $\sin B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos 135^\circ$.

3.13. Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) A. $S = \frac{abc}{4R}$. B. $r = \frac{2S}{a + b + c}$. C. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$. D. $S = r(a + b + c)$.

b) A. $\sin A = \sin(B + C)$. B. $\cos A = \cos(B + C)$. C. $\cos A > 0$. D. $\sin A \le 0$.

---

B – TỰ LUẬN

3.14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ$;

b) $N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$;

c) $P = 1 + \tan^2 60^\circ$;

d) $Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} – \cot^2 120^\circ$.

3.15. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} = 45^\circ, AC = 10$. Tính $a, R, S, r$.

3.16. Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$;

b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$;

c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

3.17. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;

b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;

c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.

3.18. Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu $B$.

a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào?

b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?

3.19. Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.

BÀI TẬP

3.5. Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 5, c = 8$. Tính $\cos A, S, r$.

3.6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 70^\circ$. Tính $R, b, c$.

3.7. Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ, \widehat{B} = 130^\circ, c = 6$.

3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70$ km/h. Đi được $90$ phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8$ km/h. Sau $2$ giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

3.9. Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao $5$ m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

BÀI GIẢI

📝 Bài 3.5: Tam giác $a=6, b=5, c=8$

1. Tính $\cos A$:$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 – 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 – 36}{80} = \mathbf{\frac{53}{80}}$$
2. Tính diện tích $S$:
   • Nửa chu vi $p = \frac{6+5+8}{2} = 9.5$.
   • Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9.5(3.5)(4.5)(1.5)} \approx \mathbf{14.98}$ (đơn vị diện tích).
3. Tính bán kính $r$:
   • $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{14.98}{9.5} \approx \mathbf{1.58}$.

---

📐 Bài 3.6: Tam giác $a=10, \hat{A}=45^\circ, \hat{B}=70^\circ$

Bài này chúng ta dùng Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.

1. Tính $R$: $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \Rightarrow \mathbf{R = 5\sqrt{2}} \approx 7.07$.
2. Tính $b$: $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{13.29}$.
3. Tính $c$:
   • Góc $\hat{C} = 180^\circ – (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ$.
   • $c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{12.82}$.

---

🔍 Bài 3.7: Giải tam giác $\hat{A}=15^\circ, \hat{B}=130^\circ, c=6$

“Giải tam giác” nghĩa là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại.

1. Góc $\hat{C}$: $\hat{C} = 180^\circ – (15^\circ + 130^\circ) = \mathbf{35^\circ}$.
2. Cạnh $a$ và $b$ (Dùng định lý Sin):
   • $a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{2.71}$.
   • $b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{8.01}$.
3. Diện tích $S$: $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 2.71 \cdot 6 \cdot \sin 130^\circ \approx \mathbf{6.23}$.

---

Bài 3.8. Bài toán con tàu

Gọi $A$ là vị trí cảng, $B$ là vị trí tàu khi hỏng động cơ và $C$ là vị trí hòn đảo nơi tàu neo đậu.

Tính quãng đường

• Giai đoạn 1 (AB):
  • Thời gian: $t_1 = 90$ phút = $1,5$ giờ.
  • Quãng đường $AB = v_1 \times t_1 = 70 \times 1,5 = 105$ (km).
• Giai đoạn 2 (BC):
  • Thời gian: $t_2 = 2$ giờ.
  • Quãng đường $BC = v_2 \times t_2 = 8 \times 2 = 16$ (km).

Xác định góc $\widehat{ABC}$

• Tàu đi từ $A$ theo hướng $S70^\circ E$. Nghĩa là góc tạo bởi $AB$ và tia Nam tại $A$ là $70^\circ$.
• Khi đến $B$, tàu trôi tự do theo hướng Nam (song song với tia Nam tại $A$).
• Theo tính chất so le trong (hoặc góc đồng vị), góc hợp bởi đoạn $AB$ và đoạn $BC$ (hướng Nam) chính là $180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$. Vậy trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{B} = 110^\circ$.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo (Đoạn AC)

Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 \approx 11025 + 256 – (3360 \cdot (-0,342))$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$AC \approx \sqrt{12430,12} \approx 111,49 \text{ (km)}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{A}$ (tức góc $\widehat{BAC}$) để xem hướng $AC$ lệch bao nhiêu độ so với hướng ban đầu.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC}$$

$$\sin A = \frac{16 \cdot \sin 110^\circ}{111,49} \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \widehat{A} \approx 7,75^\circ$$

• Xác định hướng: Ban đầu hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông. Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên góc lệch của $AC$ so với hướng Nam sẽ nhỏ đi: $70^\circ – 7,75^\circ = 62,25^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến $C$ là $S62,25^\circ E$.

🏢 Bài 3.9: Tính chiều cao tòa nhà và các góc

Dựa vào hình 3.18, ta có các dữ kiện:

• $BC = 5$ m (chiều cao cột ăng-ten).
• Tại điểm $A$, góc nhìn lên đỉnh $B$ là $50^\circ$, nhìn lên chân $C$ là $40^\circ$ so với phương ngang.

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Hãy nhìn vào tam giác $ABC$ trong hình:

1. Góc $\widehat{BAC}$: Đây là hiệu của hai góc nhìn.$$\widehat{BAC} = 50^\circ – 40^\circ = \mathbf{10^\circ}$$
2. Góc $\widehat{ABC}$: Gọi đường nằm ngang kẻ từ $A$ là $Ax$. Vì cột ăng-ten thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Trong tam giác vuông tạo bởi đỉnh $B$, $A$ và đường thẳng đứng qua $BC$, ta có:$$\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$$
3. Góc $\widehat{ACB}$: Tổng ba góc trong tam giác là $180^\circ$.$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của toà nhà

Để tính chiều cao tòa nhà, trước hết ta cần tìm độ dài cạnh $AC$ bằng Định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow AC = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 18.5 \text{ m}$$

Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên phương nằm ngang đi qua $A$. Trong tam giác vuông $AHC$:

• Cạnh đối $CH = AC \cdot \sin 40^\circ \approx 18.5 \cdot \sin 40^\circ \approx 11.89$ m.
• Chiều cao tòa nhà = $CH +$ (chiều cao điểm quan sát $A$ so với đất)
• Chiều cao tòa nhà $\approx 11.89 + 7 = \mathbf{18.89}$ m.

---

🏝️ Bài 3.10: Đề xuất cách xác định bề rộng hòn đảo

Đây là một bài toán thực tế yêu cầu khả năng tư duy mô hình hóa. Để đo bề rộng hòn đảo (đoạn $PQ$) từ bờ biển, mình đề xuất phương pháp sau:

Cách làm:

1. Chọn hai điểm mốc $A, B$ trên bãi biển cách nhau một khoảng $d$ đo được (ví dụ $d = 100$ m).
2. Đo các góc nhìn:
   • Tại $A$, dùng dụng cụ đo góc để xác định góc $\alpha_1$ nhìn về phía đầu đảo $P$ và $\alpha_2$ nhìn về phía đầu đảo $Q$ (so với đường thẳng $AB$).
   • Tại $B$, làm tương tự để đo góc $\beta_1$ nhìn về $P$ và $\beta_2$ nhìn về $Q$.
3. Tính toán:
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABP$ để tính độ dài $AP$.
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABQ$ để tính độ dài $AQ$.
   • Cuối cùng, xét tam giác $APQ$, ta đã biết $AP, AQ$ và góc $\widehat{PAQ} = |\alpha_1 – \alpha_2|$. Áp dụng Định lý Cosin để tính bề rộng $PQ$:$$PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2 – 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot \cos(\widehat{PAQ})}$$

⛰️ Bài 3.11: Tính độ dài đường hầm xuyên núi

Để tính được đoạn $AD$, chúng ta sẽ chia hình thang/tứ giác $ABCD$ thành các tam giác nhỏ để áp dụng định lý Cosin.

Bước 1: Tính độ dài đường cũ

Đường cũ đi qua các đoạn $DC, CB, BA$:

• $L_{\text{cũ}} = DC + CB + BA = 12 + 6 + 8 = \mathbf{26 \text{ km}}$.

Bước 2: Tính độ dài đường mới $AD$

Chúng ta sẽ nối $A$ với $C$ để tạo thành tam giác $ABC$.

1. Xét tam giác $ABC$:
   • Đã biết $AB = 8, BC = 6$ và góc $\widehat{B} = 105^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AC$:$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ$$$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot (-0.2588) \approx 100 + 24.84 = 124.84$$$$\Rightarrow AC \approx \mathbf{11.17 \text{ km}}$$
2. Tính góc $\widehat{ACB}$ để tìm góc $\widehat{ACD}$:
   • Dùng định lý Sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin B}$
   • $\sin \widehat{ACB} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11.17} \approx 0.6918 \Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43.77^\circ$.
   • Góc còn lại: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43.77^\circ = \mathbf{91.23^\circ}$.
3. Xét tam giác $ACD$:
   • Đã biết $AC \approx 11.17, CD = 12$ và góc $\widehat{ACD} \approx 91.23^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AD$:$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \widehat{ACD}$$$$AD^2 \approx 124.84 + 144 – 2 \cdot 11.17 \cdot 12 \cdot \cos 91.23^\circ$$$$AD^2 \approx 268.84 – 268.08 \cdot (-0.0215) \approx 268.84 + 5.76 = 274.6$$$$\Rightarrow AD \approx \mathbf{16.57 \text{ km}}$$

Bước 3: Tính số kilômét giảm được

• Độ dài giảm đi = $L_{\text{cũ}} – AD \approx 26 – 16.57 = \mathbf{9.43 \text{ km}}$.

BÀI TẬP

3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $(2 \sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3 \tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$;

b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$;

c) $\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.

Chú ý. $\sin^2 \alpha = (\sin \alpha)^2, \cos^2 \alpha = (\cos \alpha)^2, \tan^2 \alpha = (\tan \alpha)^2, \cot^2 \alpha = (\cot \alpha)^2$.

3.2. Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$;

b) $2 \sin (180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos (180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot (180^\circ – \alpha)$, với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

3.3. Chứng minh các hệ thức sau:

a) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$;

b) $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \neq 90^\circ$);

c) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

3.4. Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thoả mãn $\tan \alpha = 3$.

Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{2 \sin \alpha – 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}$.

GIẢI

Bài 3.1: Tính giá trị biểu thức

a) $(2\sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3\tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$

• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cos 180^\circ = -1$; $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Thay vào: $A = (2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} – 3 \cdot \frac{-\sqrt{3}}{3}) \cdot (-1 – \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 – \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3})(-1 – \frac{\sqrt{3}}{3})$

b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$

• $1^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2 – (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1 = \mathbf{\frac{1}{4}}$

c) $C = \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$

• Ta có: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$; $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Thay vào: $C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
• $C = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \mathbf{1}$.

---

Bài 3.2: Đơn giản biểu thức

a) $A = \sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$

• Dùng góc bù: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ – 80^\circ) = \sin 80^\circ$
• $\cos 164^\circ = \cos(180^\circ – 16^\circ) = -\cos 16^\circ$

Kết quả: $A = \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ – \cos 164^\circ = \mathbf{2\sin 80^\circ}$

b) $B = 2\sin(180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos(180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot(180^\circ – \alpha)$

• Áp dụng công thức góc bù:
  • $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$
  • $\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos \alpha$
  • $\cot(180^\circ – \alpha) = -\cot \alpha$
• Thay vào biểu thức:
  • $B = 2\sin \alpha \cdot \cot \alpha – (-\cos \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot (-\cot \alpha)$
• Nhớ rằng $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$:
  • $B = 2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} – \cos \alpha \cdot (\tan \alpha \cdot \cot \alpha)$
  • $B = 2\cos \alpha – \cos \alpha \cdot 1 = \mathbf{\cos \alpha}$.

---

Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức

Đây là phần quan trọng nhất vì nó là nền tảng cho mọi bài toán lượng giác sau này!

a) Chứng minh $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

• Xét điểm $M(x; y)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\angle xOM = \alpha$.
• Theo định nghĩa: $x = \cos \alpha$ và $y = \sin \alpha$.
• Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi điểm $M$, hình chiếu của $M$ và gốc tọa độ $O$: $x^2 + y^2 = R^2$.
• Vì đây là đường tròn đơn vị nên $R = 1$. Vậy $\mathbf{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1}$ (Đpcm).

b) Chứng minh $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

• Ta có: $1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
• Quy đồng mẫu số: $\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
• Từ câu (a), ta biết $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
• Vậy: $\mathbf{1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$ (Đpcm).

c) Chứng minh $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

• Ta có: $1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
• Quy đồng mẫu số: $\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
• Tương tự: $\mathbf{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$ (Đpcm).

Bài 3.4: Tính giá trị $P$ khi biết $\tan \alpha = 3$

Để tính $P = \frac{2\sin \alpha – 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}$, mẹo hay nhất là chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$):

$$P = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} – 3}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 2} = \frac{2\tan \alpha – 3}{3\tan \alpha + 2}$$

Thay $\tan \alpha = 3$ vào:

$$P = \frac{2(3) – 3}{3(3) + 2} = \frac{3}{11}$$

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

A – TRẮC NGHIỆM

2.7. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $x + y > 3$.

B. $x^2 + y^2 \le 4$.

C. $(x – y)(3x + y) \ge 1$.

D. $y^3 – 2 \le 0$.

2.8. Cho bất phương trình $2x + y > 3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

B. Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.

D. Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $[3; +\infty)$.

2.9. Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x – y < 3$?

2.10. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\begin{cases} x – y < 0 \\ 2y \ge 0. \end{cases}$

B. $\begin{cases} 3x + y^3 < 0 \\ x + y > 3. \end{cases}$

C. $\begin{cases} x + 2y < 0 \\ y^2 + 3 < 0. \end{cases}$

D. $\begin{cases} -x^3 + y < 4 \\ x + 2y < 1. \end{cases}$

2.11. Cho hệ bất phương trình $\begin{cases} x – y < -3 \\ 2y \ge -4 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. $(0; 0)$.

B. $(-2; 1)$.

C. $(3; -1)$.

D. $(-3; 1)$.

---

B – TỰ LUẬN

2.12. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\frac{x + y}{2} \ge \frac{2x – y + 1}{3}$ trên mặt phẳng tọa độ.

2.13. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} x + y < 1 \\ 2x – y \ge 3 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

2.14. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\begin{cases} y – 2x \le 2 \\ y \le 4 \\ x \le 5 \\ x + y \ge -1 \end{cases}$ trên mặt phẳng tọa độ.

Từ đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = -x – y$ với $(x; y)$ thoả mãn hệ trên.

2.15. Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: trái phiếu chính phủ với lãi suất 7% một năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% một năm và trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% một năm. Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng. Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp. Hỏi bác An nên đầu tư mỗi loại trái phiếu bao nhiêu tiền để lợi nhuận thu được sau một năm là lớn nhất?

2.16. Một công ty dự định chi tối đa 160 triệu đồng cho quảng cáo một sản phẩm mới trong một tháng trên các đài phát thanh và truyền hình. Biết cùng một thời lượng quảng cáo, số người mới quan tâm đến sản phẩm trên truyền hình gấp 8 lần trên đài phát thanh, tức là quảng cáo trên truyền hình có hiệu quả gấp 8 lần trên đài phát thanh.

Đài phát thanh chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 900 giây với chi phí là 80 nghìn đồng/giây. Đài truyền hình chỉ nhận các quảng cáo có tổng thời lượng trong một tháng tối đa là 360 giây với chi phí là 400 nghìn đồng/giây.

Công ty cần đặt thời gian quảng cáo trên các đài phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài phát thanh là 1 (đơn vị) thì hiệu quả khi quảng cáo 1 giây trên đài truyền hình là 8 (đơn vị). Khi đó hiệu quả quảng cáo $x$ (giây) trên đài phát thanh và $y$ (giây) trên truyền hình là $F(x, y) = x + 8y$. Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $F(x, y)$ với $x, y$ thoả mãn các điều kiện trong đề bài.

2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\begin{cases} x < 0 \\ y \ge 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y – x > 1; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0; \end{cases}$

d) $\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1. \end{cases}$

2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\begin{cases} y – x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0; \end{cases}$

b) $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4; \end{cases}$

c) $\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x – y < 0. \end{cases}$

2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi $F$ (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho $x$ kilôgam thịt bò và $y$ kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn $F$ theo $x$ và $y$.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.