8.17. Số cách cắm 4 bông hoa khác nhau vào 4 bình hoa khác nhau (mỗi bông hoa cắm vào một bình) là
A. 16.
B. 24.
C. 8.
D. 4.
8.18. Số các số có ba chữ số khác nhau, trong đó các chữ số đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 5 là
A. 120.
B. 60.
C. 720.
D. 2.
8.19. Số cách chọn 3 bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm 10 bạn học sinh là
A. 3 628 800.
B. 604 800.
C. 120.
D. 720.
8.20. Bạn An gieo một con xúc xắc hai lần. Số các trường hợp để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng 8 qua hai lần gieo là
A. 36.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
8.21. Hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức $(3x – 4)^5$ là
A. 1 620.
B. 60.
C. -60.
D. -1 620.
B – TỰ LUẬN
8.22. a) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?
b) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?
8.23. Từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
b) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
8.24. Tế bào A có $2n = 8$ nhiễm sắc thể (NST), và nguyên phân 5 lần liên tiếp. Tế bào B có $2n = 14$ NST và nguyên phân 4 lần liên tiếp. Tính và so sánh tổng số NST trong tế bào A và trong tế bào B được tạo ra.
8.25. Lớp 10B có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?
a) Ba học sinh được chọn là bất kì.
b) Ba học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ.
c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.
8.26. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2x + 3)^5$, hệ số của $x^4$ hay hệ số của $x^3$ lớn hơn?
8.13. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x – 1)^5$.
8.14. Biểu diễn $(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên.
8.15.
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0,02)^5$ để tính giá trị gần đúng của $1,02^5$.
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,02^5$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
8.16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là $r\%$.
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là $P = 800 \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^5$ (nghìn người).
b) Với $r = 1,5\%$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1 + 0,015)^5$, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
8.1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh họa và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
8.3. Ở một loài thực vật, A là gen trội quy định tính trạng hoa kép, a là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a) Sự tổ hợp giữa hai gen trên tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?
8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên
a) có 3 chữ số khác nhau?
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
8.5. a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
7.26. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. $2x – y + 1 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$.
C. $x^2 + y^2 = 1$.
D. $y = 2x + 3$.
7.27. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. $-x – 2y + 3 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – t \end{cases}$.
C. $y^2 = 2x$.
D. $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1$.
7.28. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. $x^2 – y^2 = 1$.
B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = -4$.
C. $x^2 + y^2 = 2$.
D. $y^2 = 8x$.
7.29. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$.
B. $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
7.30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. $\frac{x^2}{3} – \frac{y^2}{2} = -1$.
B. $\frac{x^2}{1} – \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = -1$.
7.31. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. $x^2 = 4y$.
B. $x^2 = -6y$.
C. $y^2 = 4x$.
D. $y^2 = -4x$.
B – TỰ LUẬN
7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm $A(-1; 0)$ và $B(3; 1)$.
a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$ và đi qua $B$.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.
c) Viết phương trình đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.
7.34. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$.
a) Tìm toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$.
b) Chứng minh rằng điểm $M(5; 1)$ thuộc $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M$.
7.35. Cho elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$).
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của $(E)$ với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của $(E)$ với trục tung. Tính $A_1A_2, B_1B_2$.
b) Xét một điểm bất kì $M(x_0, y_0)$ thuộc $(E)$. Chứng minh rằng, $b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2$ và $b \le OM \le a$.
Chú ý. $A_1A_2, B_1B_2$ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip $(E)$ và tương ứng có độ dài là $2a, 2b$.
7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$.
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \le -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \ge a$.
c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $M_1M_2$ nhỏ nhất.
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao $6\text{ m}$, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0,8\text{ m}$, đỉnh cột và đáy cột đều rộng $1\text{ m}$. Tính độ rộng của cột ở độ cao $5\text{ m}$ (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
7.19. Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
7.20. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{7} – \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
7.21. Cho parabol có phương trình: $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
7.22. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3; 0)$.
7.23. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2; 4)$.
7.24. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A, B$ cách nhau $300\text{ km}$. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292\,000\text{ km/s}$ để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là $0,0005\text{ s}$. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
7.25. Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $AB = 400\text{ m}$. Đỉnh parabol $(P)$ của khúc cua cách đường thẳng $AB$ một khoảng $20\text{ m}$ và cách đều $A, B$ (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ m}$ trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ km}$ trên thực tế.
7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) $x^2 + y^2 + xy + 4x – 2 = 0$;
b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$;
c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$.
7.15. Viết phương trình của đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 7$;
b) Có tâm $I(1; -2)$ và đi qua điểm $A(-2; 2)$;
c) Có đường kính $AB$, với $A(-1; -3), B(-3; 5)$;
d) Có tâm $I(1; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.
7.16. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$, với $A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
7.17. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0; 2)$.
7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian $180$ phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 180$) vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + \sin t^\circ; 4 + \cos t^\circ)$.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
Bài 20: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
BÀI TẬP
7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y – \sqrt{3} = 0$ và $\Delta_2: 6x + 2y – \sqrt{6} = 0$.
b) $d_1: x – \sqrt{3}y + 2 = 0$ và $d_2: \sqrt{3}x – 3y + 2 = 0$.
c) $m_1: x – 2y + 1 = 0$ và $m_2: 3x + y – 2 = 0$.
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: \sqrt{3}x + y – 4 = 0$ và $\Delta_2: x + \sqrt{3}y + 3 = 0$;
b) $d_1: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 – 3s \end{cases}$ ($t, s$ là các tham số).
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(0; -2)$ và đường thẳng $\Delta: x + y – 4 = 0$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ và song song với $\Delta$.
c) Viết phương trình đường thẳng $b$ đi qua điểm $N(0; 3)$ và vuông góc với $\Delta$.
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0)$, $B(3; 2)$ và $C(-2; -1)$.
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng $d: y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $d’: y = a’x + b’$ ($a’ \neq 0$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa’ = -1$.
7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(1; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
7.1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec{n} = (2; 1)$, $\vec{v} = (3; 2)$, $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.
7.3. Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$.
a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.
b) Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.
7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2)$, $B(3; 0)$ và $C(-2; -1)$.
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.
7.5. (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a; 0)$, $B(0; b)$ với $ab \neq 0$ (H.7.3) có phương trình là
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ $21,2^\circ$ Bắc, kinh độ $105,8^\circ$ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ $16,1^\circ$ Bắc, kinh độ $108,2^\circ$ Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x^\circ$ Bắc, kinh độ $y^\circ$ Đông được tính theo công thức
$$\begin{cases} x = 21,2 – \frac{153}{40}t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5}t \end{cases}$$
a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ($17^\circ$ Bắc) chưa?
