8.1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh họa và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
8.3. Ở một loài thực vật, A là gen trội quy định tính trạng hoa kép, a là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a) Sự tổ hợp giữa hai gen trên tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?
8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên
a) có 3 chữ số khác nhau?
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
8.5. a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
7.26. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. $2x – y + 1 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$.
C. $x^2 + y^2 = 1$.
D. $y = 2x + 3$.
7.27. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. $-x – 2y + 3 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – t \end{cases}$.
C. $y^2 = 2x$.
D. $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1$.
7.28. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. $x^2 – y^2 = 1$.
B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = -4$.
C. $x^2 + y^2 = 2$.
D. $y^2 = 8x$.
7.29. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$.
B. $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
7.30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. $\frac{x^2}{3} – \frac{y^2}{2} = -1$.
B. $\frac{x^2}{1} – \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = -1$.
7.31. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. $x^2 = 4y$.
B. $x^2 = -6y$.
C. $y^2 = 4x$.
D. $y^2 = -4x$.
B – TỰ LUẬN
7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm $A(-1; 0)$ và $B(3; 1)$.
a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$ và đi qua $B$.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.
c) Viết phương trình đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.
7.34. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$.
a) Tìm toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$.
b) Chứng minh rằng điểm $M(5; 1)$ thuộc $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M$.
7.35. Cho elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$).
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của $(E)$ với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của $(E)$ với trục tung. Tính $A_1A_2, B_1B_2$.
b) Xét một điểm bất kì $M(x_0, y_0)$ thuộc $(E)$. Chứng minh rằng, $b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2$ và $b \le OM \le a$.
Chú ý. $A_1A_2, B_1B_2$ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip $(E)$ và tương ứng có độ dài là $2a, 2b$.
7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$.
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \le -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \ge a$.
c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $M_1M_2$ nhỏ nhất.
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao $6\text{ m}$, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0,8\text{ m}$, đỉnh cột và đáy cột đều rộng $1\text{ m}$. Tính độ rộng của cột ở độ cao $5\text{ m}$ (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
7.19. Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
7.20. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{7} – \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
7.21. Cho parabol có phương trình: $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
7.22. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3; 0)$.
7.23. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2; 4)$.
7.24. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A, B$ cách nhau $300\text{ km}$. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292\,000\text{ km/s}$ để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là $0,0005\text{ s}$. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
7.25. Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $AB = 400\text{ m}$. Đỉnh parabol $(P)$ của khúc cua cách đường thẳng $AB$ một khoảng $20\text{ m}$ và cách đều $A, B$ (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ m}$ trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ km}$ trên thực tế.
7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) $x^2 + y^2 + xy + 4x – 2 = 0$;
b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$;
c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$.
7.15. Viết phương trình của đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 7$;
b) Có tâm $I(1; -2)$ và đi qua điểm $A(-2; 2)$;
c) Có đường kính $AB$, với $A(-1; -3), B(-3; 5)$;
d) Có tâm $I(1; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.
7.16. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$, với $A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
7.17. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0; 2)$.
7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian $180$ phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 180$) vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + \sin t^\circ; 4 + \cos t^\circ)$.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
Bài 20: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
BÀI TẬP
7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y – \sqrt{3} = 0$ và $\Delta_2: 6x + 2y – \sqrt{6} = 0$.
b) $d_1: x – \sqrt{3}y + 2 = 0$ và $d_2: \sqrt{3}x – 3y + 2 = 0$.
c) $m_1: x – 2y + 1 = 0$ và $m_2: 3x + y – 2 = 0$.
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: \sqrt{3}x + y – 4 = 0$ và $\Delta_2: x + \sqrt{3}y + 3 = 0$;
b) $d_1: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 – 3s \end{cases}$ ($t, s$ là các tham số).
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(0; -2)$ và đường thẳng $\Delta: x + y – 4 = 0$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ và song song với $\Delta$.
c) Viết phương trình đường thẳng $b$ đi qua điểm $N(0; 3)$ và vuông góc với $\Delta$.
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0)$, $B(3; 2)$ và $C(-2; -1)$.
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng $d: y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $d’: y = a’x + b’$ ($a’ \neq 0$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa’ = -1$.
7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(1; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
7.1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec{n} = (2; 1)$, $\vec{v} = (3; 2)$, $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.
7.3. Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$.
a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.
b) Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.
7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2)$, $B(3; 0)$ và $C(-2; -1)$.
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.
7.5. (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a; 0)$, $B(0; b)$ với $ab \neq 0$ (H.7.3) có phương trình là
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ $21,2^\circ$ Bắc, kinh độ $105,8^\circ$ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ $16,1^\circ$ Bắc, kinh độ $108,2^\circ$ Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x^\circ$ Bắc, kinh độ $y^\circ$ Đông được tính theo công thức
$$\begin{cases} x = 21,2 – \frac{153}{40}t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5}t \end{cases}$$
a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ($17^\circ$ Bắc) chưa?
6.1. Xét hai đại lượng $x, y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?
a) $x + y = 1$;
b) $y = x^2$;
c) $y^2 = x$;
d) $x^2 – y^2 = 0$.
6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.
6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 + 3x + 1$;
b) $y = \frac{x – 1}{x^2 – 3x + 2}$;
c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 – x}$.
6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:
a) $y = 2x + 3$;
b) $y = 2x^2$.
6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a) $y = -2x + 1$;
b) $y = -\frac{1}{2}x^2$.
6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là 1,2 triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và 900 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày $x$ mà khách thuê xe.
a) Viết công thức của hàm số $T = T(x)$.
b) Tính $T(2), T(3), T(5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.
6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.
6.9. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$, trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$;
b) Đi qua điểm $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$;
c) Có đỉnh $I(1; 2)$;
d) Đi qua điểm $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh $-0,25$.
6.10. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$, biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8; 0)$ và có đỉnh là $I(6; -12)$.
6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$. Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$, trong mỗi trường hợp sau:
a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.
6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!
6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.
6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = \frac{-3}{1000}x^2 + x$, trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc $O$, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.
6.17. Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$.
6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
6.19. Xét đường tròn đường kính $AB = 4$ và một điểm $M$ di chuyển trên đoạn $AB$, đặt $AM = x$ (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính $AM$ và $MB$. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
6.22. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$; $AB = 2$; $BC = 13$; $CD = 8$; $DA = 5$ (H.6.21). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x = AH$. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.
6.23. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50\text{ m}$ để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200\text{ m}$ thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5\text{ km/h}$, vận tốc xe đạp của Hùng là $15\text{ km/h}$. Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
