Danh mục: ĐGNL

1. Đề bài

Câu 70: Cho hàm số $y = x \cdot e^x$. Tập nghiệm của bất phương trình $y” – y’ – y > 0$ là:

A. $(-1; +\infty)$.

B. $(+\infty; 1)$.

C. $(1; +\infty)$.

D. $(+\infty; -1)$.

---

2. Công thức và Lý thuyết

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:

• Đạo hàm của tích: $(u \cdot v)’ = u’v + uv’$.
• Đạo hàm hàm số mũ: $(e^x)’ = e^x$.
• Đạo hàm cấp hai: $y” = (y’)’$.
• Giải bất phương trình tích: Lưu ý rằng $e^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên ta có thể chia cả hai vế cho $e^x$ mà không làm đổi chiều bất phương trình.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một ($y’$)

Sử dụng công thức đạo hàm của tích với $u=x$ và $v=e^x$:

$$y’ = (x)’ \cdot e^x + x \cdot (e^x)’$$

$$y’ = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$$

Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai ($y”$)

Tiếp tục đạo hàm biểu thức vừa tìm được:

$$y” = [(1 + x)e^x]’ = (1 + x)’ \cdot e^x + (1 + x) \cdot (e^x)’$$

$$y” = 1 \cdot e^x + (1 + x)e^x = (1 + 1 + x)e^x = (2 + x)e^x$$

Bước 3: Thay vào bất phương trình $y” – y’ – y > 0$

$$(2 + x)e^x – (1 + x)e^x – x e^x > 0$$

Đặt $e^x$ làm nhân tử chung:

$$e^x \cdot [(2 + x) – (1 + x) – x] > 0$$

$$e^x \cdot [2 + x – 1 – x – x] > 0$$

$$e^x \cdot (1 – x) > 0$$

Bước 4: Giải bất phương trình

Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta chỉ cần:

$$1 – x > 0 \Leftrightarrow x < 1$$

Vậy tập nghiệm là $(-\infty; 1)$.

Lưu ý về đáp án: Nhìn vào các lựa chọn trong ảnh, dường như có một sự nhầm lẫn nhỏ ở đề bài hoặc đáp án. Kết quả tính toán chính xác là $x < 1$. Tuy nhiên, nếu đề bài là $y’ + y – y” > 0$ hoặc một biến thể khác, kết quả sẽ khác. Dựa trên các lựa chọn hiện có, không có phương án nào khớp hoàn toàn với $(-\infty; 1)$. Nếu đây là lỗi đánh máy của đề và ý là $x > 1$, đáp án sẽ là C.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

• Nhận xét nhanh đạo hàm cấp $n$: Đối với hàm $y = x e^x$, đạo hàm cấp $n$ có dạng tổng quát là $y^{(n)} = (x + n)e^x$.
  • $y’ = (x + 1)e^x$
  • $y” = (x + 2)e^x$
• Thế nhanh vào bất phương trình:$$(x+2)e^x – (x+1)e^x – x e^x > 0 \Rightarrow x+2 – x-1 – x > 0 \Rightarrow 1-x > 0 \Rightarrow x < 1.$$
• Kiểm tra đáp án bằng máy tính: Nhập $y” – y’ – y$ vào máy tính (dùng tính năng đạo hàm $d/dx$ tại một điểm cụ thể). Thử với $x=0$ (thuộc tập $x<1$), nếu kết quả $>0$ thì giá trị đó đúng.

1. Đề bài

Câu 69: Cho hàm số:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\ m + 1, & x = 2 \end{cases}$$

với $m$ là tham số thực. Giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$ là:

A. $m = 3$.

B. $m = 2$.

C. $m = 4$.

D. $m = 1$.

---

2. Công thức và Lý thuyết

Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm:

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

Các bước giải chung:

1. Tính giá trị của hàm số tại điểm đó: Tìm $f(x_0)$.
2. Tính giới hạn của hàm số: Tìm $L = \lim_{x \to x_0} f(x)$.
3. Lập phương trình: Cho $f(x_0) = L$ để tìm tham số $m$.

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Tính $f(2)$

Theo đề bài, tại $x = 2$, hàm số có giá trị là:

$$f(2) = m + 1$$

Bước 2: Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} f(x)$

$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$$

Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$. Ta thực hiện phân tích tử số thành nhân tử:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)$$

Thay $x = 2$ vào biểu thức, ta được:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$$

Bước 3: Tìm $m$

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$, ta cần:

$$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$

$$\Leftrightarrow 4 = m + 1$$

$$\Leftrightarrow m = 3$$

Kết luận: Chọn đáp án A.

---

4. Cách làm nhanh (Mẹo Trắc nghiệm)

Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể rút ngắn các bước như sau:

1. Nhẩm nhanh biểu thức giới hạn: Nhìn vào $\frac{x^2-4}{x-2}$, bạn thấy ngay nó rút gọn còn $(x+2)$. Thay $x=2$ vào được 4.
2. Thiết lập phương trình nhẩm: $m + 1 = 4$.
3. Kết quả: $m = 3$ (Chưa đầy 10 giây).

Mẹo máy tính Casio: Nếu biểu thức phức tạp, bạn nhập $\frac{X^2-4}{X-2}$ vào máy tính rồi nhấn phím CALC với $X = 2.000001$. Máy sẽ hiện kết quả xấp xỉ 4, sau đó bạn giải $m+1 = 4$.

1. Đề bài

Câu 68: Cho tam giác $ABC$ có $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$. Biết $b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$, khi đó số đo của góc $A$ bằng:

A. $30^\circ$.

B. $45^\circ$.

C. $60^\circ$.

D. $120^\circ$.

Chọn đáp án C.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:

• Định lý Cosin: Trong tam giác $ABC$, ta có:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
• Phương pháp: Biến đổi biểu thức đại số đã cho để làm xuất hiện cụm $(b^2 + c^2 – a^2)$, từ đó thay thế vào công thức tính $\cos A$.

---

3. Bài giải chi tiết

Từ giả thiết của đề bài:

$$b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$$

Bước 1: Khai triển và nhóm các hạng tử

$$b^3 – ba^2 = ca^2 – c^3$$

$$b^3 + c^3 – ba^2 – ca^2 = 0$$

Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung

• Nhóm $(b^3 + c^3)$ và $-(ba^2 + ca^2)$:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2) – a^2(b + c) = 0$$
• Đặt $(b + c)$ làm nhân tử chung:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2 – a^2) = 0$$

Bước 3: Biện luận

Vì $b$ và $c$ là độ dài các cạnh của tam giác nên $b + c > 0$. Do đó, ta phải có:

$$b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$$

$$\implies b^2 + c^2 – a^2 = bc$$

Bước 4: Tính góc A

Thay kết quả trên vào công thức định lý Cosin:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$$

Vì $0^\circ < A < 180^\circ$, suy ra $A = 60^\circ$.

Chọn đáp án C.

---

4. Cách làm nhanh Trắc nghiệm

Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể “nhẩm” nhanh theo các bước sau để tiết kiệm thời gian:

1. Nhìn nhanh cấu trúc: Thấy $b^3$ và $c^3$ ở hai vế ngược dấu, hãy chuyển chúng về một bên để tạo hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $(b+c)(b^2 – bc + c^2)$.
2. Gom cụm $a^2$: Hai hạng tử còn lại là $-ba^2$ và $-ca^2$, gom lại thành $-a^2(b+c)$.
3. Triệt tiêu $b+c$: Vì $b+c \neq 0$, bạn chỉ cần quan tâm đến phần còn lại: $b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$.
4. Định lý Cosin thu gọn: Nhận ra $b^2 + c^2 – a^2 = bc$. Chia cả hai vế cho $2bc$, ta có ngay $\cos A = \frac{1}{2}$.
5. Kết luận: $\cos A = 0.5 \rightarrow A = 60^\circ$.

Câu 67: Tập nghiệm của phương trình $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$ là:

A. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

B. $S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

C. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

D. $S = \left\{ \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

 Đáp án đúng là A.

---

Hướng dẫn giải nhanh:

Để giải phương trình này, bạn sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$.

1. Thay vào phương trình: $(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$
2. Rút gọn thành phương trình bậc hai: $-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$
3. Nghiệm của phương trình là $\sin x = 1$ hoặc $\sin x = \frac{1}{2}$.
4. Giải các phương trình lượng giác cơ bản này sẽ ra đáp án A.

---

1. Công thức và Lý thuyết cần nhớ

Để giải dạng bài này, bạn cần nắm vững các nhóm kiến thức sau:

• Công thức nhân đôi: $$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$$(Đây là chìa khóa để đưa phương trình về cùng một hàm số $\sin x$).
• Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng $at^2 + bt + c = 0$ với $t = \sin x$ (điều kiện $|t| \le 1$).
• Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
  • $\sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
  • $\sin x = \sin \alpha \iff \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases}$

---

2. Phương pháp giải

1. Biến đổi: Sử dụng công thức nhân đôi để chuyển $\cos 2x$ về $\sin x$.
2. Đặt ẩn phụ (nếu cần): Đặt $t = \sin x$ để đưa về phương trình đại số bậc hai.
3. Giải phương trình: Tìm nghiệm $t$, đối chiếu điều kiện $|t| \le 1$.
4. Kết luận: Từ $t$ tìm ra các họ nghiệm $x$.

---

3. Bài giải chi tiết

Phương trình: $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$

Bước 1: Thay $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$ vào phương trình:

$$(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$$

Bước 2: Thu gọn phương trình:

$$-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$:

Đặt $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$), ta có: $-2t^2 + 3t – 1 = 0$.

Các hệ số $a + b + c = (-2) + 3 + (-1) = 0$, nên phương trình có hai nghiệm:

• $t_1 = 1$ (Thỏa mãn)
• $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ (Thỏa mãn)

Bước 4: Tìm nghiệm $x$:

• Với $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
• Với $\sin x = \frac{1}{2} \iff \sin x = \sin \frac{\pi}{6}$:$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases}$$

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là:

$$S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$$

$\Rightarrow$ Đáp án đúng là A.

Câu 66: Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch mở rộng mạng lưới dịch vụ của mình tại một khu vực gồm sáu thị trấn: $A, B, C, D, E$ và $F$. Để cung cấp dịch vụ internet và điện thoại đến từng thị trấn, công ty cần phải kéo cáp ngầm nối các thị trấn với nhau. Mỗi đoạn cáp nối hai thị trấn có một chi phí nhất định, tùy thuộc vào khoảng cách địa lý và điều kiện địa hình. Sơ đồ dưới đây thể hiện các tuyến cáp có thể xây dựng, cùng với chi phí đi kèm (tính bằng nghìn đô la) cho từng tuyến.

Chi phí tối thiểu (nghìn đô la) mà công ty phải bỏ ra để xây dựng hệ thống cáp sao cho tất cả sáu thị trấn đều được kết nối với nhau là:

A. 780
B. 820
C. 760
D. 800

Đáp án đúng: A.

---

Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải

Lý thuyết

• Đồ thị: Tập hợp các đỉnh (thị trấn) và các cạnh (tuyến cáp) nối chúng.
• Cây khung (Spanning Tree): Là một đồ thị con chứa tất cả các đỉnh của đồ thị ban đầu, liên thông và không có chu trình. Với $n$ đỉnh, cây khung sẽ có đúng $n-1$ cạnh.
• Cây khung nhỏ nhất (MST): Là cây khung có tổng trọng số (chi phí) của các cạnh là nhỏ nhất.

Phương pháp giải: Thuật toán Kruskal

Đây là phương pháp nhanh nhất cho các bài toán trắc nghiệm:

1. Liệt kê tất cả các cạnh theo thứ tự trọng số từ nhỏ đến lớn.
2. Lựa chọn lần lượt các cạnh có trọng số nhỏ nhất.
3. Điều kiện: Nếu việc thêm một cạnh tạo thành một chu trình (vòng khép kín) thì bỏ qua cạnh đó.
4. Dừng lại khi đã chọn đủ $n-1$ cạnh (ở bài này là $6-1 = 5$ cạnh).

---

Bài giải chi tiết hoàn chỉnh

Dựa vào sơ đồ, ta có danh sách các cạnh và chi phí tương ứng:

• $BD = 100$
• $BE = 120$
• $AC = 140$
• $DF = 160$
• $DE = 180$
• $EF = 220$
• $CD = 260$
• $AB = 300$

Các bước thực hiện thuật toán Kruskal:

1. Chọn cạnh $BD$ (chi phí $100$).
2. Chọn cạnh $BE$ (chi phí $120$).
3. Chọn cạnh $AC$ (chi phí $140$).
4. Chọn cạnh $DF$ (chi phí $160$).
   • Lúc này đã có 4 cạnh nối các đỉnh: $\{A, C\}$ và $\{B, D, E, F\}$.
5. Xét cạnh tiếp theo là $DE$ (chi phí $180$): Loại, vì $B, D, E$ đã tạo thành một phần của mạng lưới, thêm $DE$ sẽ tạo chu trình $B-D-E-B$.
6. Xét cạnh tiếp theo là $EF$ (chi phí $220$): Loại, vì tạo chu trình $B-D-F-E-B$.
7. Chọn cạnh $CD$ (chi phí $260$): Nhận, vì nó kết nối hai cụm $\{A, C\}$ và $\{B, D, E, F\}$ lại với nhau.

Tổng chi phí tối thiểu là:

$$T = 100 (BD) + 120 (BE) + 140 (AC) + 160 (DF) + 260 (CD)$$

$$T = 780$$

Đáp án đúng: A.

---

Cách giải nhanh bằng Trắc nghiệm

Khi làm trắc nghiệm, bạn không cần viết ra, chỉ cần dùng bút chì khoanh trực tiếp vào hình:

1. Tìm số bé nhất: Khoanh $100$.
2. Số bé tiếp theo: Khoanh $120$, $140$, $160$.
3. Đếm số cạnh: Đã được $4$ cạnh. Cần $5$ cạnh cho $6$ thị trấn.
4. Xét số tiếp theo là $180$: Thấy nó tạo thành tam giác $BDE \rightarrow$ Bỏ qua.
5. Xét số tiếp theo là $220$: Thấy nó tạo thành vòng khép kín $B-D-F-E \rightarrow$ Bỏ qua.
6. Xét số tiếp theo là $260$: Nhận (nối được điểm $C$ vào cụm còn lại).
7. Cộng nhẩm: $100+120+140+160+260 = 780$.

Mẹo nhỏ: Luôn nhớ nguyên tắc “Không tạo vòng khép kín” và “Số cạnh = Số đỉnh – 1”.

1. Đề bài

Câu 64: Cho $a = \log_2 5$ và $b = \log_5 3$. Biết $\log_{24} 15 = \dfrac{ma + ab}{n + ab}$ với $m, n$ là các số nguyên. Giá trị của $S = m^2 + n^2$ là:

A. $2$.

B. $5$.

C. $13$.

D. $10$.

Chọn đáp án D.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Các công thức lôgarit cần dùng:

1. Quy tắc đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
2. Quy tắc tích (vòng): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$
3. Lôgarit của một tích: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
4. Lôgarit của một lũy thừa: $\log_a x^k = k \log_a x$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Biểu diễn các số hạng trong biểu thức cần tính ($\log_{24} 15$) theo cùng một cơ số xuất hiện ở $a$ và $b$. Ở đây, ta thấy sự kết nối qua số $5$ ($a$ có cơ số $2$ số thực $5$, $b$ có cơ số $5$). Tuy nhiên, đưa về cơ số $2$ là thuận tiện nhất.
• Bước 2: Tính các tích $ab$ và các thành phần lẻ để thay vào biểu thức.
• Bước 3: Đồng nhất hệ số để tìm $m, n$ và tính $S$.

---

3. Bài giải chi tiết

Ta có:

• $a = \log_2 5$
• $b = \log_5 3$
• Suy ra: $ab = \log_2 5 \cdot \log_5 3 = \log_2 3$

Biến đổi $\log_{24} 15$ bằng cách chèn cơ số $2$:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 15}{\log_2 24}$$

Phân tích các số $15$ và $24$ ra thừa số nguyên tố:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $24 = 2^3 \cdot 3$

Thay vào biểu thức:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 (3 \cdot 5)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{\log_2 2^3 + \log_2 3}$$

$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{3 + \log_2 3}$$

Thay $a = \log_2 5$ và $ab = \log_2 3$ vào:

$$\log_{24} 15 = \dfrac{a + ab}{3 + ab}$$

So sánh với dạng bài cho $\dfrac{ma + ab}{n + ab}$, ta được:

• $m = 1$
• $n = 3$

Tính giá trị $S$:

$$S = m^2 + n^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$

Chọn đáp án D.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Sử dụng máy tính Casio)

Nếu bạn muốn tiết kiệm thời gian trong phòng thi, hãy sử dụng tính năng gán biến (Store):

1. Lưu biến:
   • Bấm log(2, 5) rồi gán vào biến A (STO -> A).
   • Bấm log(5, 3) rồi gán vào biến B (STO -> B).
2. Tính giá trị biểu thức đề bài:
   • Bấm log(24, 15), kết quả xấp xỉ $0.8505…$
3. Thử đáp án hoặc giải hệ:
   • Dựa vào biểu thức $\dfrac{mA + AB}{n + AB} = \log_{24} 15$, ta có thể thử các cặp $(m, n)$ nhỏ.
   • Dễ thấy khi $m=1, n=3$: Bấm (A + A*B) / (3 + A*B) sẽ ra đúng kết quả $0.8505…$ của $\log_{24} 15$.
4. Kết luận: $1^2 + 3^2 = 10$.

Mẹo: Trong các bài toán dạng này, $m$ và $n$ thường là các số nguyên nhỏ (1, 2, 3…). Việc thử trực tiếp vào biểu thức trên máy tính thường nhanh hơn giải tự luận nếu bạn không thạo các quy tắc đổi cơ số.

1. Đề bài

Câu 63: Anh Hùng muốn gửi tiết kiệm để sau $3$ năm có $800$ triệu đồng mua xe. Biết lãi suất hàng tháng là $0,6\%$, tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là như nhau. Anh Hùng phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây:

A. $19.785 .000$ đồng.

B. $19.895 .000$ đồng.

C. $19.975 .000$ đồng.

D. $19.665 .000$ đồng.

Chọn đáp án B.

---

2. Công thức và Phương pháp giải

Đây là bài toán Gửi tiền định kỳ hàng tháng (đầu mỗi tháng gửi vào một số tiền $a$ cố định).

Công thức tổng quát

Nếu mỗi tháng gửi số tiền $a$ với lãi suất hàng tháng là $r$. Sau $n$ tháng, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi thu được là $S_n$:

$$S_n = \frac{a}{r}(1+r)[(1+r)^n – 1]$$

Thành phần công thức:

• $S_n$: Số tiền mục tiêu cần đạt được ($800.000 .000$ đồng).
• $a$: Số tiền gửi hàng tháng (cần tìm).
• $r$: Lãi suất mỗi định kỳ ($0,6\% = 0,006$).
• $n$: Số kỳ hạn gửi ($3 \text{ năm} = 36 \text{ tháng}$).

---

3. Bài giải chi tiết

Bước 1: Xác định các dữ kiện

• Tổng tiền mong muốn: $S_n = 800$ (triệu đồng).
• Lãi suất: $r = 0,6\% = 0,006$.
• Thời gian: $n = 3 \times 12 = 36$ (tháng).

Bước 2: Thay vào công thức

Ta có phương trình:

$$800 = \frac{a}{0,006}(1+0,006)[(1+0,006)^{36} – 1]$$

Bước 3: Giải tìm $a$

$$a = \frac{800 \times 0,006}{(1,006)[(1,006)^{36} – 1]}$$

Tính toán máy tính:

• Tử số: $800 \times 0,006 = 4,8$
• Mẫu số: $1,006 \times (1,006^{36} – 1) \approx 0,2414$
• $a \approx 19,8839$ (triệu đồng)

Đổi ra đơn vị đồng: $19.883 .900$ đồng.

Bước 4: Đối chiếu đáp án

Số tiền $19.883 .900$ gần nhất với giá trị $19.895 .000$ đồng.

---

4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Bấm máy Casio)

Để giải nhanh bài này trên máy tính cầm tay, bạn thực hiện quy trình sau:

1. Sử dụng tính năng SOLVE: Nhập biểu thức vào máy tính:$$800 = \frac{X}{0.006} \times 1.006 \times (1.006^{36} – 1)$$(Thay $a$ bằng biến $X$)
2. Bấm tổ hợp phím: SHIFT + CALC (SOLVE) rồi ấn =
3. Kết quả hiện ra: $X \approx 19,88394…$
4. So sánh: Nhìn vào các phương án, ta thấy $19,883$ triệu đồng gần nhất với đáp án B.

Chọn đáp án B.

📝 Đề bài

Câu 62: Cho phương trình $\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1$ với $m$ là tham số thực. Tập hợp tất cả giá trị của $m$ để phương trình trên vô nghiệm là:

A. $\left( \frac{1}{2}; \infty \right)$.

B. $\left( \frac{1}{2}; 2 \right)$.

C. $\left( -\infty; \frac{1}{2} \right]$.

D. $(-\infty; 2)$.

---

📚 Công thức và Lý thuyết

Đối với phương trình dạng $\sqrt{f(x)} = g(x)$, ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$

Lưu ý: Chúng ta không cần đặt điều kiện $f(x) \geq 0$ vì nó đã bằng một bình phương ($[g(x)]^2$) nên hiển nhiên không âm.

Phương pháp giải bài toán chứa tham số:

1. Biến đổi phương trình về dạng $m = h(x)$ (cô lập tham số).
2. Tìm điều kiện của $x$ từ bất phương trình $g(x) \geq 0$.
3. Khảo sát hàm số $h(x)$ trên miền xác định của $x$ để tìm điều kiện có nghiệm.
4. Lấy phần bù để tìm giá trị $m$ khiến phương trình vô nghiệm.

---

✍️ Bài giải chi tiết

Bước 1: Biến đổi phương trình

$$\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x – 1 \geq 0 \\ -x^2 + mx = (2x – 1)^2 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ -x^2 + mx = 4x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ mx = 5x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$

Bước 2: Cô lập $m$

Vì $x \geq \frac{1}{2} > 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $x$:

$$m = \frac{5x^2 – 4x + 1}{x} = 5x – 4 + \frac{1}{x}$$

Bước 3: Khảo sát hàm số $h(x) = 5x + \frac{1}{x} – 4$ trên $[1/2; +\infty)$

Xét đạo hàm: $h'(x) = 5 – \frac{1}{x^2}$.

$h'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.

Giá trị này nhỏ hơn $1/2$, nên trên khoảng $[1/2; +\infty)$, $h'(x) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.

• Tại $x = \frac{1}{2}$: $h(1/2) = 5(1/2) + \frac{1}{1/2} – 4 = 2.5 + 2 – 4 = 0.5$.
• Khi $x \to +\infty$: $h(x) \to +\infty$.

Vậy để phương trình có nghiệm, ta cần $m \geq \frac{1}{2}$.

Bước 4: Kết luận

Phương trình vô nghiệm khi $m < \frac{1}{2}$. Đối chiếu các phương án, tập hợp giá trị là $(-\infty; 1/2)$.

Chọn đáp án: C. (Lưu ý: Trong các đề thi trắc nghiệm đôi khi có sự sai sót nhỏ về ngoặc vuông/tròn ở đáp án, dựa trên logic toán học ở đây là $m < 1/2$).

---

⚡ Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

Nếu bạn muốn thử nhanh các giá trị để loại trừ:

1. Thử $m = 0$: Phương trình thành $\sqrt{-x^2} = 2x – 1$. Vế trái chỉ xác định khi $x=0$, nhưng khi $x=0$ vế phải bằng $-1$. Vậy $m=0$ vô nghiệm $\rightarrow$ Loại A, B.
2. Thử $m = 2$: Phương trình $\sqrt{-x^2+2x} = 2x-1 \Leftrightarrow 5x^2-8x+1=0$. Bấm máy tính thấy có nghiệm $x \approx 1.46$ (thỏa mãn $\geq 0.5$). Vậy $m=2$ có nghiệm $\rightarrow$ Loại D.
3. Chỉ còn lại C.

Chiến lược siêu nhận thức: Khi giải toán chứa tham số, việc “cô lập $m$” và dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên là con đường an toàn nhất. Đừng quên điều kiện của vế không chứa căn nhé!

📝 Đề bài

Câu 61: Một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng chu vi là $24$ (đơn vị dài). Biết rằng diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình chữ nhật là $4$ (đơn vị diện tích). Hiệu giữa chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là:

A. $2$.

B. $4$.

C. $6$.

D. $8$.

Chọn đáp án: B.

---

📚 Công thức và Lý thuyết

Để giải bài toán này, ta cần nhớ sau:

1. Hình vuông (cạnh $a$):
   • Chu vi: $C = 4a$
   • Diện tích: $S_{hv} = a^2$
2. Hình chữ nhật (chiều dài $L$, chiều rộng $W$):
   • Chu vi: $C = 2(L + W)$
   • Diện tích: $S_{hcn} = L \times W$
3. Mối liên hệ: Trong các hình có cùng chu vi, hình vuông luôn là hình có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Từ chu vi hình vuông, tìm độ dài cạnh hình vuông.
• Bước 2: Tính diện tích hình vuông, từ đó suy ra diện tích hình chữ nhật.
• Bước 3: Sử dụng tổng (từ chu vi) và tích (từ diện tích) để tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

---

✍️ Bài giải chi tiết

1. Tìm cạnh và diện tích hình vuông:
   • Cạnh hình vuông là: $a = 24 : 4 = 6$.
   • Diện tích hình vuông là: $S_{hv} = 6^2 = 36$.
2. Tìm diện tích hình chữ nhật:
   • Theo đề bài: $S_{hcn} = S_{hv} – 4 = 36 – 4 = 32$.
3. Tìm chiều dài ($L$) và chiều rộng ($W$) của hình chữ nhật:
   • Ta có hệ phương trình:
     • Tổng: $L + W = 24 : 2 = 12$
     • Tích: $L \times W = 32$
   • Chúng ta tìm hai số có tổng là $12$ và tích là $32$. Đó chính là $8$ và $4$ (vì $8 + 4 = 12$ và $8 \times 4 = 32$).
   • Vậy chiều dài $L = 8$ và chiều rộng $W = 4$.
4. Tính hiệu giữa chiều dài và chiều rộng:
   • $Hiệu = L – W = 8 – 4 = 4$.

Chọn đáp án: B.

---

⚡ Cách làm nhanh – Trắc nghiệm

Nếu bạn đang trong phòng thi và cần tốc độ, hãy nhớ công thức liên hệ giữa diện tích hình vuông và hình chữ nhật khi có cùng chu vi:

$$S_{hv} – S_{hcn} = \left( \frac{L – W}{2} \right)^2$$

Giải thích nhanh: Nếu gọi $d$ là hiệu nửa cạnh (tức là $L = a+d$ và $W = a-d$), thì hiệu diện tích luôn là $d^2$. Ở đây $L-W = 2d$.

Áp dụng vào bài:

1. Hiệu diện tích là $4$.
2. Suy ra $\left( \frac{L-W}{2} \right)^2 = 4 \Rightarrow \frac{L-W}{2} = 2$.
3. Vậy $L – W = 4$. (Chọn ngay B không cần tính diện tích cụ thể!).

Sự thật thú vị: Hình vuông là một “trường hợp đặc biệt” của hình chữ nhật khi hiệu giữa hai cạnh bằng $0$. Càng kéo dãn hình chữ nhật ra (hiệu càng lớn) thì diện tích càng giảm dù chu vi không đổi!