1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x + y > 2 \\ x – y \le 1 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. (1; 1).
B. (2; 0).
C. (3; 2).
D. (3; -2).
2. Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thoả mãn $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = 3$?
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
3. Biết rằng parabol $y = x^2 + bx + c$ có đỉnh là $I(1; 4)$. Khi đó giá trị của $b + c$ là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + 2y – 5 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vectơ $\vec{n} = (1; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
B. Vectơ $\vec{u} = (2; -1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
C. Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 – 2t \\ y = 1 + t \end{cases}$.
D. Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k = 2$.
5. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2 + 3x)^4$, hệ số của $x^2$ là
A. 9
B. $C_4^2$.
C. $9C_4^2$.
D. $36C_4^2$.
6. Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là
A. $\frac{7}{15}$.
B. $\frac{8}{15}$.
C. $\frac{1}{15}$.
D. $\frac{2}{15}$.
B – TỰ LUẬN
7. Cho các mệnh đề:
$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$”;
$Q$: “Tam giác $ABC$ có các cạnh thoả mãn $AB^2 + AC^2 = BC^2$”.
a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P, P \Leftrightarrow Q, \bar{P} \Rightarrow \bar{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
c) Gọi $X$ là tập hợp các tam giác $ABC$ vuông tại $A, Y$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp $X$ và $Y$.
8. a) Biểu diễn miền nghiệm $D$ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
$\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x – y \le 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$
b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền $D$.
9. Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ với đồ thị là parabol $(P)$ có đỉnh $I\left(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}\right)$ và đi qua điểm $A(1; 2)$.
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng $y = a(x – h)^2 + k$, trong đó $I(h; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol $(P)$ đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol $(P)$ đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.
c) Giải bất phương trình $f(x) \ge 0$.
10. Giải các phương trình chứa căn thức sau:
a) $\sqrt{2x^2 – 6x + 3} = \sqrt{x^2 – 3x + 1}$;
b) $\sqrt{x^2 + 18x – 9} = 2x – 3$.
11. Từ các chữ số 0; 1; 2; …; 9, có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1 000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?
12. Viết khai triển nhị thức Newton của $(2x – 1)^n$, biết $n$ là số tự nhiên thoả mãn $A_n^2 + 24C_n^1 = 140$.
13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác $ABC$, ta có
14. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, BC$.
a) Biểu thị các vectơ $\vec{DM}, \vec{AN}$ theo các vectơ $\vec{AB}, \vec{AD}$.
b) Tính $\vec{DM} \cdot \vec{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng $DM$ và $AN$.
15. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có ba đỉnh $A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2)$.
a) Viết phương trình đường thẳng $BC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
c) Viết phương trình đường tròn có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
16. Trong mặt phẳng toạ độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai địa điểm $A(1; 1)$ và $B(-1; 21)$ với các vectơ vận tốc tương ứng là $\vec{v_A} = (1; 2), \vec{v_B} = (1; -4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?
17. Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí $A, B$ nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí $A$ nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí $B$. Giả sử vận tốc âm thanh là 1 236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.
18. Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi$.
a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết $3,1415 < \pi < 3,1416$.
19. Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:
Tỉnh/ thành phố
Năm 2010
Năm 2016
Hà Nội
5,3
1,3
Vĩnh Phúc
10,4
2,9
Bắc Ninh
7,0
1,6
Hải Dương
10,8
2,3
Hải Phòng
6,5
2,1
Hưng Yên
11,1
2,6
Thái Bình
10,7
3,7
Hà Nam
12,0
4,4
Nam Định
10,0
3,0
Ninh Bình
12,2
4,3
(Theo Tổng cục Thống kê)
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.
b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.
20. Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.
9.13. Một hộp có bốn loại bi: bi xanh, bi đỏ, bi trắng và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi $E$ là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của $E$ là biến cố
A. Lấy được viên bi xanh.
B. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng.
C. Lấy được viên bi trắng.
D. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng hoặc bi xanh.
9.14. Rút ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Xác suất để số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho 5 là
A. $\frac{1}{30}$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{2}{5}$.
9.15. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4 là
A. $\frac{1}{7}$.
B. $\frac{1}{6}$.
C. $\frac{1}{8}$.
D. $\frac{2}{9}$.
9.16. Một tổ trong lớp 10T có 4 bạn nữ và 3 bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo của lớp. Xác suất để hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ là
A. $\frac{4}{7}$.
B. $\frac{2}{7}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{2}{21}$.
B – TỰ LUẬN
9.17. Một hộp đựng bảy thẻ màu xanh đánh số từ 1 đến 7; năm thẻ màu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và hai thẻ màu vàng đánh số từ 1 đến 2. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Mỗi biến cố sau là tập con nào của không gian mẫu?
$A$: “Rút ra được thẻ màu đỏ hoặc màu vàng”;
$B$: “Rút ra được thẻ mang số hoặc là 2 hoặc là 3″.
9.18. Có hộp I và hộp II, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Từ mỗi hộp, rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ. Tính xác suất để thẻ rút ra từ hộp II mang số lớn hơn số trên thẻ rút ra từ hộp I.
9.19. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8;
b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8.
9.20. Dự báo thời tiết trong ba ngày thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư của tuần sau cho biết, trong mỗi ngày này, khả năng có mưa và không mưa như nhau.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố:
$F$: “Trong ba ngày, có đúng một ngày có mưa”;
$G$: “Trong ba ngày, có ít nhất hai ngày không mưa”.
9.21. Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để trong bốn lần gieo đó có hai lần xuất hiện mặt sấp và hai lần xuất hiện mặt ngửa.
9.22. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ một túi đựng 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh đôi một khác nhau. Gọi $A$ là biến cố: “Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh”. Tính $P(A)$ và $P(\overline{A})$.
9.6. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba con và quan sát giới tính của ba người con này. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) $A$: “Con đầu là gái”;
b) $B$: “Có ít nhất một người con trai”.
9.7. Một hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10; 11; …; 20. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) $C$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;
b) $D$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.
9.8. Một chiếc hộp đựng 6 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất để trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen.
9.9. Gieo liên tiếp một con xúc xắc và một đồng xu.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
$F$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
$G$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.
9.10. Trên một phố có hai quán ăn X, Y. Ba bạn Sơn, Hải, Văn mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của biến cố “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.
9.11. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
9.12. Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là màu vàng và màu xanh tương ứng với hai loại gen là gen trội $A$ và gen lặn $a$. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là hạt trơn và hạt nhăn tương ứng với hai loại gen là gen trội $B$ và gen lặn $b$. Biết rằng, cây con lấy ngẫu nhiên một gen từ cây bố và một gen từ cây mẹ.
Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gen là $(Aa, Bb)$ và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn. Giả sử các kết quả có thể là đồng khả năng. Tính xác suất để cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.
8.17. Số cách cắm 4 bông hoa khác nhau vào 4 bình hoa khác nhau (mỗi bông hoa cắm vào một bình) là
A. 16.
B. 24.
C. 8.
D. 4.
8.18. Số các số có ba chữ số khác nhau, trong đó các chữ số đều lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 5 là
A. 120.
B. 60.
C. 720.
D. 2.
8.19. Số cách chọn 3 bạn học sinh đi học bơi từ một nhóm 10 bạn học sinh là
A. 3 628 800.
B. 604 800.
C. 120.
D. 720.
8.20. Bạn An gieo một con xúc xắc hai lần. Số các trường hợp để tổng số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bằng 8 qua hai lần gieo là
A. 36.
B. 6.
C. 5.
D. 4.
8.21. Hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức $(3x – 4)^5$ là
A. 1 620.
B. 60.
C. -60.
D. -1 620.
B – TỰ LUẬN
8.22. a) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?
b) Có bao nhiêu cách viết một dãy 5 chữ cái in hoa khác nhau từ bảng chữ cái tiếng Anh (gồm 26 chữ cái)?
8.23. Từ các chữ số: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
a) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?
b) Có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
8.24. Tế bào A có $2n = 8$ nhiễm sắc thể (NST), và nguyên phân 5 lần liên tiếp. Tế bào B có $2n = 14$ NST và nguyên phân 4 lần liên tiếp. Tính và so sánh tổng số NST trong tế bào A và trong tế bào B được tạo ra.
8.25. Lớp 10B có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn tham gia vào đội thiện nguyện của trường trong mỗi trường hợp sau?
a) Ba học sinh được chọn là bất kì.
b) Ba học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ.
c) Có ít nhất một nam trong ba học sinh được chọn.
8.26. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2x + 3)^5$, hệ số của $x^4$ hay hệ số của $x^3$ lớn hơn?
8.13. Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển của $(3x – 1)^5$.
8.14. Biểu diễn $(3 + \sqrt{2})^5 – (3 – \sqrt{2})^5$ dưới dạng $a + b\sqrt{2}$ với $a, b$ là các số nguyên.
8.15.
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 0,02)^5$ để tính giá trị gần đúng của $1,02^5$.
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của $1,02^5$ và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
8.16. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là $r\%$.
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là $P = 800 \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^5$ (nghìn người).
b) Với $r = 1,5\%$, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của $(1 + 0,015)^5$, hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
8.1. Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh họa và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.
8.2. Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?
8.3. Ở một loài thực vật, A là gen trội quy định tính trạng hoa kép, a là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a) Sự tổ hợp giữa hai gen trên tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?
8.4. Có bao nhiêu số tự nhiên
a) có 3 chữ số khác nhau?
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
8.5. a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
7.26. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A. $2x – y + 1 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}$.
C. $x^2 + y^2 = 1$.
D. $y = 2x + 3$.
7.27. Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A. $-x – 2y + 3 = 0$.
B. $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 – t \end{cases}$.
C. $y^2 = 2x$.
D. $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1$.
7.28. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A. $x^2 – y^2 = 1$.
B. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = -4$.
C. $x^2 + y^2 = 2$.
D. $y^2 = 8x$.
7.29. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A. $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1$.
B. $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{4} – \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$.
7.30. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. $\frac{x^2}{3} – \frac{y^2}{2} = -1$.
B. $\frac{x^2}{1} – \frac{y^2}{6} = 1$.
C. $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{1} = 1$.
D. $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = -1$.
7.31. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. $x^2 = 4y$.
B. $x^2 = -6y$.
C. $y^2 = 4x$.
D. $y^2 = -4x$.
B – TỰ LUẬN
7.32. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $A(1; -1), B(3; 5), C(-2; 4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm $A(-1; 0)$ và $B(3; 1)$.
a) Viết phương trình đường tròn tâm $A$ và đi qua $B$.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$.
c) Viết phương trình đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc với đường thẳng $AB$.
7.34. Cho đường tròn $(C)$ có phương trình $x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0$.
a) Tìm toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$.
b) Chứng minh rằng điểm $M(5; 1)$ thuộc $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M$.
7.35. Cho elip $(E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$).
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của $(E)$ với trục hoành và các giao điểm $B_1, B_2$ của $(E)$ với trục tung. Tính $A_1A_2, B_1B_2$.
b) Xét một điểm bất kì $M(x_0, y_0)$ thuộc $(E)$. Chứng minh rằng, $b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2$ và $b \le OM \le a$.
Chú ý. $A_1A_2, B_1B_2$ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip $(E)$ và tương ứng có độ dài là $2a, 2b$.
7.36. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$.
a) Tìm các giao điểm $A_1, A_2$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $A_1$ nhỏ hơn của $A_2$).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $x \le -a$, nếu điểm $M(x; y)$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $x \ge a$.
c) Tìm các điểm $M_1, M_2$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $M_1M_2$ nhỏ nhất.
7.37. Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao $6\text{ m}$, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng $0,8\text{ m}$, đỉnh cột và đáy cột đều rộng $1\text{ m}$. Tính độ rộng của cột ở độ cao $5\text{ m}$ (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).
