7.19. Cho elip có phương trình: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
7.20. Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{7} – \frac{y^2}{9} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
7.21. Cho parabol có phương trình: $y^2 = 8x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
7.22. Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm $A(5; 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3; 0)$.
7.23. Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2; 4)$.
7.24. Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí $A, B$ cách nhau $300\text{ km}$. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc $292\,000\text{ km/s}$ để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ $A$ đến sớm hơn tín hiệu từ $B$ là $0,0005\text{ s}$. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
7.25. Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là $A$, điểm cuối là $B$, khoảng cách $AB = 400\text{ m}$. Đỉnh parabol $(P)$ của khúc cua cách đường thẳng $AB$ một khoảng $20\text{ m}$ và cách đều $A, B$ (H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ m}$ trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của $(P)$, với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng $1\text{ km}$ trên thực tế.
7.14. Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) $x^2 + y^2 + xy + 4x – 2 = 0$;
b) $x^2 + y^2 – 2x – 4y + 5 = 0$;
c) $x^2 + y^2 + 6x – 8y + 1 = 0$.
7.15. Viết phương trình của đường tròn $(C)$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm $I(-2; 5)$ và bán kính $R = 7$;
b) Có tâm $I(1; -2)$ và đi qua điểm $A(-2; 2)$;
c) Có đường kính $AB$, với $A(-1; -3), B(-3; 5)$;
d) Có tâm $I(1; 3)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.
7.16. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$, với $A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
7.17. Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x – 4y + 4 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại điểm $M(0; 2)$.
7.18. Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian $180$ phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 180$) vật thể ở vị trí có toạ độ $(2 + \sin t^\circ; 4 + \cos t^\circ)$.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
Bài 20: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
BÀI TẬP
7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y – \sqrt{3} = 0$ và $\Delta_2: 6x + 2y – \sqrt{6} = 0$.
b) $d_1: x – \sqrt{3}y + 2 = 0$ và $d_2: \sqrt{3}x – 3y + 2 = 0$.
c) $m_1: x – 2y + 1 = 0$ và $m_2: 3x + y – 2 = 0$.
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $\Delta_1: \sqrt{3}x + y – 4 = 0$ và $\Delta_2: x + \sqrt{3}y + 3 = 0$;
b) $d_1: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 – 3s \end{cases}$ ($t, s$ là các tham số).
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(0; -2)$ và đường thẳng $\Delta: x + y – 4 = 0$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.
b) Viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(-1; 0)$ và song song với $\Delta$.
c) Viết phương trình đường thẳng $b$ đi qua điểm $N(0; 3)$ và vuông góc với $\Delta$.
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 0)$, $B(3; 2)$ và $C(-2; -1)$.
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng $d: y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $d’: y = a’x + b’$ ($a’ \neq 0$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $aa’ = -1$.
7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0; 0)$, $A(1; 0)$, $B(1; 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
7.1. Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\vec{n} = (2; 1)$, $\vec{v} = (3; 2)$, $A(1; 3)$, $B(-2; 1)$.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.
7.3. Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$.
a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.
b) Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.
7.4. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1; 2)$, $B(3; 0)$ và $C(-2; -1)$.
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.
7.5. (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm $A(a; 0)$, $B(0; b)$ với $ab \neq 0$ (H.7.3) có phương trình là
$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$
7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ $21,2^\circ$ Bắc, kinh độ $105,8^\circ$ Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ $16,1^\circ$ Bắc, kinh độ $108,2^\circ$ Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x^\circ$ Bắc, kinh độ $y^\circ$ Đông được tính theo công thức
$$\begin{cases} x = 21,2 – \frac{153}{40}t \\ y = 105,8 + \frac{9}{5}t \end{cases}$$
a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 ($17^\circ$ Bắc) chưa?
6.1. Xét hai đại lượng $x, y$ phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì $y$ là hàm số của $x$?
a) $x + y = 1$;
b) $y = x^2$;
c) $y^2 = x$;
d) $x^2 – y^2 = 0$.
6.2. Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.
6.3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = 2x^3 + 3x + 1$;
b) $y = \frac{x – 1}{x^2 – 3x + 2}$;
c) $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 – x}$.
6.4. Tìm tập xác định và tập giá trị của mỗi hàm số sau:
a) $y = 2x + 3$;
b) $y = 2x^2$.
6.5. Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
a) $y = -2x + 1$;
b) $y = -\frac{1}{2}x^2$.
6.6. Giá thuê xe ô tô tự lái là 1,2 triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và 900 nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền $T$ phải trả là một hàm số của số ngày $x$ mà khách thuê xe.
a) Viết công thức của hàm số $T = T(x)$.
b) Tính $T(2), T(3), T(5)$ và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.
6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.
6.9. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$, trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua hai điểm $A(1; 0)$ và $B(2; 4)$;
b) Đi qua điểm $A(1; 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$;
c) Có đỉnh $I(1; 2)$;
d) Đi qua điểm $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh $-0,25$.
6.10. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$, biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8; 0)$ và có đỉnh là $I(6; -12)$.
6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$. Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$, trong mỗi trường hợp sau:
a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.
6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là 12 m.
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!
6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.
b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.
6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = \frac{-3}{1000}x^2 + x$, trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc $O$, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).
a) Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$. Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.
6.17. Tìm các giá trị của tham số $m$ để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \in \mathbb{R}$:
$x^2 + (m + 1)x + 2m + 3$.
6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu $v_0 = 20$ m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
6.19. Xét đường tròn đường kính $AB = 4$ và một điểm $M$ di chuyển trên đoạn $AB$, đặt $AM = x$ (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính $AM$ và $MB$. Kí hiệu $S(x)$ là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của $x$ để diện tích $S(x)$ không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
6.22. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$; $AB = 2$; $BC = 13$; $CD = 8$; $DA = 5$ (H.6.21). Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x = AH$. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.
6.23. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường một khoảng $50\text{ m}$ để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình một đoạn $200\text{ m}$ thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là $5\text{ km/h}$, vận tốc xe đạp của Hùng là $15\text{ km/h}$. Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
6.24. Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{x – 2}}$ là
A. $D = [2; +\infty)$.
B. $D = (2; +\infty)$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
D. $D = \mathbb{R}$.
6.25. Parabol $y = -x^2 + 2x + 3$ có đỉnh là
A. $I(-1; 0)$.
B. $I(3; 0)$.
C. $I(0; 3)$.
D. $I(1; 4)$.
6.26. Hàm số $y = x^2 – 5x + 4$
A. Đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
B. Đồng biến trên khoảng $(-\infty; 4)$.
C. Nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.
D. Nghịch biến trên khoảng $(1; 4)$.
6.27. Bất phương trình $x^2 – 2mx + 4 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi
A. $m = -1$.
B. $m = -2$.
C. $m = 2$.
D. $m > 2$.
6.28. Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2 – 3} = x – 1$ là
A. $\{-1 – \sqrt{5}; -1 + \sqrt{5}\}$.
B. $\{-1 – \sqrt{5}\}$.
C. $\{-1 + \sqrt{5}\}$.
D. $\varnothing$.
B – TỰ LUẬN
6.29. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \sqrt{2x – 1} + \sqrt{5 – x}$;
b) $y = \frac{1}{\sqrt{x – 1}}$.
6.30. Với mỗi hàm số dưới đây, hãy vẽ đồ thị, tìm tập giá trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của nó:
a) $y = -x^2 + 6x – 9$;
b) $y = -x^2 – 4x + 1$;
c) $y = x^2 + 4x$;
d) $y = 2x^2 + 2x + 1$.
6.31. Xác định parabol (P): $y = ax^2 + bx + 3$ trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua hai điểm $A(1; 1)$ và $B(-1; 0)$;
b) (P) đi qua điểm $M(1; 2)$ và nhận đường thẳng $x = 1$ làm trục đối xứng;
c) (P) có đỉnh là $I(1; 4)$.
6.32. Giải các bất phương trình sau:
a) $2x^2 – 3x + 1 > 0$;
b) $x^2 + 5x + 4 < 0$;
c) $-3x^2 + 12x – 12 \ge 0$;
d) $2x^2 + 2x + 1 < 0$.
6.33. Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{2x^2 – 14} = x – 1$;
b) $\sqrt{-x^2 – 5x + 2} = \sqrt{x^2 – 2x – 3}$.
6.34. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại máy tính xách tay từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 3,2 nghìn và 4 nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ năm 2018, số lượng máy tính loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai.
Giả sử $t$ là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại máy tính đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm $(0; 3,2)$ và $(1; 4)$. Giả sử điểm $(0; 3,2)$ là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này.
a) Lập công thức của hàm số mô tả số lượng máy tính xách tay bán được qua từng năm.
b) Tính số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm 2024.
c) Đến năm bao nhiêu thì số lượng máy tính xách tay đó bán được trong năm sẽ vượt mức 52 nghìn chiếc?
5.17. Khi cân một bao gạo bằng một cân treo với thang chia 0,2 kg thì độ chính xác $d$ là
A. 0,1 kg.
B. 0,2 kg.
C. 0,3 kg.
D. 0,4 kg.
5.18. Trong hai mẫu số liệu, mẫu nào có phương sai lớn hơn thì có độ lệch chuẩn lớn hơn, đúng hay sai?
A. Đúng.
B. Sai.
5.19. Có 25% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa $Q_1$ và $Q_3$, đúng hay sai?
A. Đúng.
B. Sai.
5.20. Số đặc trưng nào sau đây đo độ phân tán của mẫu số liệu?
A. Số trung bình.
B. Mốt.
C. Trung vị.
D. Độ lệch chuẩn.
5.21. Điểm trung bình môn học kì I một số môn học của bạn An là 8; 9; 7; 6; 5; 7; 3. Nếu An được cộng thêm mỗi môn 0,5 điểm chuyên cần thì các số đặc trưng nào sau đây của mẫu số liệu không thay đổi?
A. Số trung bình.
B. Trung vị.
C. Độ lệch chuẩn.
D. Tứ phân vị.
B – TỰ LUẬN
5.22. Lương khởi điểm của 5 sinh viên vừa tốt nghiệp tại một trường đại học (đơn vị triệu đồng) là:
$$3,5 \quad 9,2 \quad 9,2 \quad 9,5 \quad 10,5.$$
a) Giải thích tại sao nên dùng trung vị để thể hiện mức lương khởi điểm của sinh viên tốt nghiệp từ trường đại học này.
b) Nên dùng khoảng biến thiên hay khoảng tứ phân vị để đo độ phân tán? Vì sao?
5.23. Điểm Toán và điểm Tiếng Anh của 11 học sinh lớp 10 được cho trong bảng sau:
Học sinh
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Toán
62
91
43
31
57
63
80
37
43
5
78
Tiếng Anh
65
57
55
37
62
70
73
49
65
41
64
Hãy so sánh mức độ học đều của học sinh trong môn Tiếng Anh và môn Toán thông qua các số đặc trưng: khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn.
5.24. Bảng sau cho biết dân số của các tỉnh/thành phố Đồng bằng Bắc Bộ năm 2018 (đơn vị triệu người).
Tỉnh/thành phố
Dân số
Tỉnh/thành phố
Dân số
Hà Nội
7,52
Hưng Yên
1,19
Vĩnh Phúc
1,09
Thái Bình
1,79
Bắc Ninh
1,25
Hà Nam
0,81
Quảng Ninh
1,27
Nam Định
1,85
Hải Dương
1,81
Ninh Bình
0,97
Hải Phòng
2,01
a) Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao số trung bình và trung vị lại có sự sai khác nhiều.
c) Nên sử dụng số trung bình hay trung vị để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ?
5.25. Hai mẫu số liệu sau đây cho biết số lượng trường Trung học phổ thông ở mỗi tỉnh/thành phố thuộc Đồng bằng sông Hồng và Đồng bằng sông Cửu Long năm 2017:
Đồng bằng sông Hồng: 187 34 35 46 54 57 37 39 23 57 27.
Đồng bằng sông Cửu Long: 33 34 33 29 24 39 42 24 23 19 24 15 26.
a) Tính số trung bình, trung vị, các tứ phân vị, mốt, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn cho mỗi mẫu số liệu trên.
b) Tại sao số trung bình của hai mẫu số liệu có sự sai khác nhiều trong khi trung vị thì không?
c) Tại sao khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu khác nhau nhiều trong khi khoảng tứ phân vị thì không?
5.26. Tỉ lệ trẻ em suy dinh dưỡng (tính theo cân nặng ứng với độ tuổi) của 10 tỉnh thuộc Đồng bằng sông Hồng được cho như sau:
