Bài toán: Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$, chứng minh $\lim_{x \to x_0} [f(x) – g(x)] = L – M$.
Giải
Cho trước $\epsilon > 0$. Ta cần tìm $\delta > 0$ sao cho nếu $0 < |x – x_0| < \delta$ thì $|(f(x) – g(x)) – (L – M)| < \epsilon$.
Ta có: $|(f(x) – g(x)) – (L – M)| = |(f(x) – L) – (g(x) – M)|$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A – B| \leq |A| + |B|$:
$$|(f(x) – L) – (g(x) – M)| \leq |f(x) – L| + |g(x) – M|$$
Vì $\lim f(x) = L$ và $\lim g(x) = M$, nên với $\frac{\epsilon}{2} > 0$:
- Tồn tại $\delta_1 > 0$ để $|f(x) – L| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$.
- Tồn tại $\delta_2 > 0$ để $|g(x) – M| < \frac{\epsilon}{2}$ khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$.
Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó với $0 < |x – x_0| < \delta$:
$$|f(x) – g(x) – (L – M)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
