Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L > 0$, chứng minh $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
Giải
Ta xét hiệu: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| = \left| \frac{(\sqrt{f(x)} – \sqrt{L})(\sqrt{f(x)} + \sqrt{L})}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{L}} \right| = \frac{|f(x) – L|}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{L}}$
Vì $f(x) \geq 0$ và $\sqrt{L} > 0$, ta có mẫu số $\sqrt{f(x)} + \sqrt{L} \geq \sqrt{L}$.
Do đó: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| \leq \frac{|f(x) – L|}{\sqrt{L}}$
Với mọi $\epsilon > 0$, vì $\lim f(x) = L$, tồn tại $\delta > 0$ sao cho $|f(x) – L| < \epsilon \cdot \sqrt{L}$.
Khi đó: $|\sqrt{f(x)} – \sqrt{L}| < \frac{\epsilon \cdot \sqrt{L}}{\sqrt{L}} = \epsilon$.
Vậy $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
