Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$;
Chứng minh $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ (với $M \neq 0$).
Giải
Chứng minh:
$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}$
Xét hiệu:
$\left| \frac{1}{g(x)} – \frac{1}{M} \right| = \frac{|M – g(x)|}{|g(x)| \cdot |M|} = \frac{|g(x) – M|}{|g(x)| \cdot |M|}$
Chặn mẫu số:
Vì $\lim g(x) = M \neq 0$, chọn $\epsilon_0 = \frac{|M|}{2} > 0$. Tồn tại $\delta_1 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_1$ thì $|g(x) – M| < \frac{|M|}{2}$.
- Suy ra: $|g(x)| > |M| – \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}$.
- Khi đó: $\frac{1}{|g(x)|} < \frac{2}{|M|}$.
Kiểm soát tử số:
Với $\epsilon > 0$ bất kỳ, tồn tại $\delta_2 > 0$ sao cho khi $0 < |x – x_0| < \delta_2$ thì $|g(x) – M| < \frac{\epsilon \cdot M^2}{2}$.
Chọn $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Khi đó:
$$\left| \frac{1}{g(x)} – \frac{1}{M} \right| = \frac{|g(x) – M|}{|g(x)| \cdot |M|} < \frac{|g(x) – M|}{\frac{|M|}{2} \cdot |M|} = \frac{2 \cdot |g(x) – M|}{M^2}$$
Ta có: $\frac{2}{M^2} \cdot \frac{\epsilon \cdot M^2}{2} = \epsilon$.
Sau khi có $\lim \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{M}$, ta áp dụng định lý tích:
$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right) = L \cdot \frac{1}{M} = \frac{L}{M}$$
