Luyện tập 4. Tính tổng của dãy số sau:
$$S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots + \frac{2}{7^{n-1}} + \dots$$
Giải
Dãy số đã cho là:
$S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{49} + \dots + \frac{2}{7^{n-1}} + \dots$
Xác định các thành phần của dãy
- Số hạng đầu tiên: $u_1 = 2$
- Số hạng thứ hai: $u_2 = \frac{2}{7}$
- Công bội: $q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2/7}{2} = \frac{1}{7}$
Kiểm tra điều kiện
Vì $|q| = |\frac{1}{7}| < 1$, nên đây là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Áp dụng công thức tính tổng
Thay các giá trị vào công thức $S = \frac{u_1}{1 – q}$, ta có:
$$S = \frac{2}{1 – \frac{1}{7}}$$
$$S = \frac{2}{\frac{6}{7}}$$
$$S = 2 \cdot \frac{7}{6}$$
$$S = \frac{7}{3}$$
Kết luận:
Vậy tổng của dãy số là
$S = \frac{7}{3}$.
