Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ thỏa mãn $|q| < 1$. Chứng minh rằng tổng của cấp số nhân này được tính bằng công thức:
$$S = \frac{u_1}{1 – q}$$
Giải
Thiết lập biểu thức tổng hữu hạn $S_n$
Xét tổng của $n$ số hạng đầu tiên:
$$S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}$$
Ta có thể tách biểu thức này thành hai phần để dễ quan sát giới hạn:
$$S_n = \frac{u_1}{1 – q} – \frac{u_1 \cdot q^n}{1 – q}$$
Lấy giới hạn khi $n$ tiến đến vô cực
Theo định nghĩa, tổng vô hạn $S$ chính là giới hạn của $S_n$ khi $n \to +\infty$:
$$S = \lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \left[ \frac{u_1}{1 – q} – \left( \frac{u_1}{1 – q} \right) \cdot q^n \right]$$
Khử các đại lượng triệt tiêu
Vì $|q| < 1$, theo lý thuyết giới hạn ta có $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$. Do đó:
$$S = \frac{u_1}{1 – q} – \frac{u_1}{1 – q} \cdot 0$$
$$S = \frac{u_1}{1 – q}$$
Kết luận:
Với $|q| < 1$, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn luôn hội tụ về giá trị:
$$\mathbf{S = \frac{u_1}{1 – q}}$$
