Thẻ: Định lý về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho dãy số $(u_n)$. Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ thì:

$a \geq 0$

$\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$

Giải

Chứng minh $a \geq 0$

Ta dùng phương pháp phản chứng.

Giả sử ngược lại: $a < 0$.

Chọn $\epsilon$: Vì $a < 0$ nên $-a > 0$. Ta chọn $\epsilon = \frac{-a}{2} > 0$.

Áp dụng định nghĩa: Vì $\lim u_n = a$, nên tồn tại số $N$ sao cho với mọi $n > N$:$$|u_n – a| < \epsilon \iff a – \epsilon < u_n < a + \epsilon$$

Xét vế phải: $u_n < a + \epsilon = a + \left( \frac{-a}{2} \right) = \frac{a}{2}$.

Mâu thuẫn: Vì $a < 0$ nên $\frac{a}{2} < 0$. Suy ra $u_n < 0$. Điều này trái với giả thiết $u_n \geq 0$ với mọi $n$.

Kết luận: Vậy giả sử sai, ta phải có $a \geq 0$.

Chứng minh $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$

Ta xét hai trường hợp của $a$:

Trường hợp 1: $a = 0$

Cần chứng minh: $|\sqrt{u_n} – 0| < \epsilon \iff \sqrt{u_n} < \epsilon$.

Vì $\lim u_n = 0$, với mọi số dương $\epsilon^2 > 0$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $n > N$:$$0 \leq u_n < \epsilon^2$$

Lấy căn bậc hai hai vế (vì các vế không âm), ta được: $\sqrt{u_n} < \epsilon$.

Vậy $\lim \sqrt{u_n} = 0$.

Trường hợp 2: $a > 0$

Xét hiệu: $|\sqrt{u_n} – \sqrt{a}| = \left| \frac{(\sqrt{u_n} – \sqrt{a})(\sqrt{u_n} + \sqrt{a})}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}} \right| = \frac{|u_n – a|}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}}$.

Vì $u_n \geq 0$ nên $\sqrt{u_n} + \sqrt{a} \geq \sqrt{a}$. Do đó:$$\frac{|u_n – a|}{\sqrt{u_n} + \sqrt{a}} \leq \frac{|u_n – a|}{\sqrt{a}}$$

Với mọi $\epsilon > 0$, vì $\lim u_n = a$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|u_n – a| < \epsilon \cdot \sqrt{a}$.

Khi đó: $|\sqrt{u_n} – \sqrt{a}| \leq \frac{|u_n – a|}{\sqrt{a}} < \frac{\epsilon \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \epsilon$.

Kết luận:

Vậy $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$.

Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$ (với điều kiện $b \neq 0$)

Giải

Xét hiệu:

$$\left| \frac{1}{v_n} – \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b – v_n}{v_n \cdot b} \right| = \frac{|v_n – b|}{|v_n| \cdot |b|}$$

Đánh giá mẫu số:

Vì $\lim v_n = b \neq 0$, nên với $n$ đủ lớn, $v_n$ sẽ “gần” $b$. Cụ thể, tồn tại $N_1$ sao cho $|v_n| > \frac{|b|}{2}$ với mọi $n > N_1$.

Khi đó: $\frac{1}{|v_n|} < \frac{2}{|b|}$.

Chọn $n$ đủ lớn:

Chọn $N_2$ sao cho với mọi $n > N_2$ thì $|v_n – b| < \frac{\epsilon \cdot b^2}{2}$.

Kết hợp:

Với $n > \max(N_1, N_2)$, ta có:

$$\frac{|v_n – b|}{|v_n| \cdot |b|} < \frac{|v_n – b|}{\frac{|b|}{2} \cdot |b|} = \frac{2|v_n – b|}{b^2} < \frac{2}{b^2} \cdot \frac{\epsilon \cdot b^2}{2} = \epsilon$$

Kết luận:

Vậy $\lim \frac{1}{v_n} = \frac{1}{b}$.

Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$

Giải

Đánh giá biểu thức:

$$|u_n \cdot v_n – a \cdot b| = |u_n \cdot v_n – u_n \cdot b + u_n \cdot b – a \cdot b|$$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

$$|u_n(v_n – b) + b(u_n – a)| \leq |u_n| \cdot |v_n – b| + |b| \cdot |u_n – a|$$

Tính chất dãy hội tụ:

Vì $\lim u_n = a$ nên dãy $(u_n)$ bị chặn. Tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho $|u_n| \leq M$ với mọi $n$.

Chọn $n$ đủ lớn:

• Để $|b| \cdot |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$, ta chọn $n > N_1$ sao cho $|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2(|b| + 1)}$.
• Để $M \cdot |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$, ta chọn $n > N_2$ sao cho $|v_n – b| < \frac{\epsilon}{2M}$.

Kết hợp:

Với $n > \max(N_1, N_2)$, ta có:

$$|u_n v_n – ab| < M \cdot \frac{\epsilon}{2M} + |b| \cdot \frac{\epsilon}{2(|b|+1)} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Kết luận: Vậy $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$.

Chứng minh định lý hiệu:

$\lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = a – b$

Giải

Ta có:

$\lim u_n = a \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_1: \forall n > N_1, |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$

$\lim v_n = b \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_2: \forall n > N_2, |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$

Cần chứng minh:

Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|(u_n – v_n) – (a – b)| < \epsilon$.

Biến đổi biểu thức:

Ta nhóm các số hạng tương ứng với nhau:

$$|(u_n – v_n) – (a – b)| = |(u_n – a) – (v_n – b)|$$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

Lưu ý rằng $|A – B| \leq |A| + |B|$.

Do đó:

$$|(u_n – a) – (v_n – b)| \leq |u_n – a| + |-(v_n – b)| = |u_n – a| + |v_n – b|$$

Chọn $N$:

Tương tự như phép cộng, ta chọn $N = \max(N_1, N_2)$.

Khi đó, với mọi $n > N$, ta có đồng thời:$$|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{và} \quad |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$$

Thay vào đánh giá ở bước 2:

$$|(u_n – v_n) – (a – b)| \leq |u_n – a| + |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Kết luận:

Vậy $\lim_{n \to +\infty} (u_n – v_n) = a – b$.

Chứng minh định lý tổng:

$\lim (u_n + v_n) = a + b$

Giải

Ta có:

$\lim u_n = a \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_1: \forall n > N_1, |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$

$\lim v_n = b \Rightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N_2: \forall n > N_2, |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$

Cần chứng minh:

Với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N$ sao cho khi $n > N$ thì $|(u_n + v_n) – (a + b)| < \epsilon$.

Xét biểu thức: $|(u_n + v_n) – (a + b)| = |(u_n – a) + (v_n – b)|$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|A + B| \leq |A| + |B|$, ta có:

$$|(u_n – a) + (v_n – b)| \leq |u_n – a| + |v_n – b|$$

Chọn $N = \max(N_1, N_2)$. Khi đó với mọi $n > N$, cả hai điều kiện ở phần giả thiết đều thỏa mãn:

$$|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2} \quad \text{và} \quad |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$$

Suy ra:

$$|(u_n + v_n) – (a + b)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

Kết luận: Vậy $\lim (u_n + v_n) = a + b$.