2.8. Xác định công sai $d$, số hạng thứ 5 ($u_5$), số hạng tổng quát ($u_n$) và số hạng thứ 100 ($u_{100}$) của mỗi cấp số cộng sau:
a) $4, 9, 14, 19, \dots$
b) $1, -1, -3, -5, \dots$
2.9. Viết 5 số hạng đầu của mỗi dãy số $(u_n)$ sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu có, tìm $d$ và viết số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$:
a) $u_n = 3 + 5n$
b) $u_n = 6n – 4$
c) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + n$
d) $u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + 3$
2.10. Một cấp số cộng có $u_5 = 18$ và $u_{12} = 32$. Tìm $u_{50}$.
2.11. Một cấp số cộng có $u_1 = 5$ và $d = 2$. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu để có tổng $S_n = 2700$?
2.12. Giá xe ô tô mới là $680$ triệu đồng. Sau mỗi năm, giá giảm $55$ triệu đồng. Tính giá xe sau $5$ năm sử dụng.
2.13. Hội trường có hàng ghế 1 là $15$ ghế, hàng 2 là $18$ ghế, hàng 3 là $21$ ghế (mỗi hàng sau hơn hàng trước $3$ ghế). Để tổng số ghế ít nhất là $870$, cần tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
2.14. Năm 2020, dân số là $1,2$ triệu người. Mỗi năm tăng thêm $30$ nghìn người. Ước tính dân số vào năm 2030.
2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát cho bởi:
a) $u_n = 3n – 2$;
b) $u_n = 3 \cdot 2^n$;
c) $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
2.2. Dãy số $(u_n)$ cho bởi hệ thức truy hồi: $u_1 = 1, u_n = n \cdot u_{n-1}$ với $n \geq 2$.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_n$.
2.3. Xét tính tăng, giảm của dãy số $(u_n)$, biết:
a) $u_n = 2n – 1$;
b) $u_n = -3n + 2$;
c) $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}$.
2.4. Trong các dãy số $(u_n)$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) $u_n = n – 1$;
b) $u_n = \frac{n+1}{n+2}$;
c) $u_n = \sin n$;
d) $u_n = (-1)^{n-1} n^2$.
2.5. Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1.
2.6. Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau $n$ tháng được cho bởi công thức:
$$A_n = 100 \left(1 + \frac{0,06}{12}\right)^n$$
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
2.7. Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi $A_n$ ($n \in \mathbb{N}$) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau $n$ tháng.
a) Tìm lần lượt $A_0, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_n)$.
1.24. Biểu diễn các góc lượng giác $\alpha = -\frac{5\pi}{6}$, $\beta = \frac{\pi}{3}$, $\gamma = \frac{25\pi}{3}$, $\delta = \frac{17\pi}{6}$ trên đường tròn lượng giác. Các góc nào có điểm biểu diễn trùng nhau?
A. $\beta$ và $\gamma$.
B. $\alpha, \beta, \gamma$.
C. $\beta, \gamma, \delta$.
D. $\alpha$ và $\beta$.
1.25. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\sin(\pi – \alpha) = \sin \alpha$.
B. $\cos(\pi – \alpha) = \cos \alpha$.
C. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$.
D. $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.
1.26. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. $\cos(a – b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$.
B. $\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b$.
C. $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$.
D. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
1.27. Rút gọn biểu thức $M = \cos(a + b)\cos(a – b) – \sin(a + b)\sin(a – b)$, ta được
A. $M = \sin 4a$.
B. $M = 1 – 2\cos^2 a$.
C. $M = 1 – 2\sin^2 a$.
D. $M = \cos 4a$.
1.28. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là $[-1; 1]$.
C. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
1.29. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A. $y = \tan x + x$.
B. $y = x^2 + 1$.
C. $y = \cot x$.
D. $y = \frac{\sin x}{x}$.
1.30. Đồ thị của các hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[ -2\pi; \frac{5\pi}{2} \right]$?
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
1.31. Tập xác định của hàm số $y = \frac{\cos x}{\sin x – 1}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \{k2\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
B. $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi | k \in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi | k \in \mathbb{Z}\}$.
B – TỰ LUẬN
1.32. Cho góc $\alpha$ thoả mãn $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $\sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$;
b) $\cos\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right)$;
c) $\sin\left( \alpha – \frac{\pi}{3} \right)$;
d) $\cos\left( \alpha – \frac{\pi}{6} \right)$.
1.33. Cho góc bất kì $\alpha$. Chứng minh các đẳng thức sau:
b) $\cos^4 \alpha – \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha$.
1.34. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) $y = 2\cos\left( 2x – \frac{\pi}{3} \right) – 1$;
b) $y = \sin x + \cos x$.
1.35. Giải các phương trình sau:
a) $\cos\left( 3x – \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b) $2\sin^2 x – 1 + \cos 3x = 0$;
c) $\tan\left( 2x + \frac{\pi}{5} \right) = \tan\left( x – \frac{\pi}{6} \right)$.
1.36. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp $120/80$ là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số
$$p(t) = 115 + 25\sin(160\pi t),$$
trong đó $p(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian $t$ tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số $p(t)$.
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
1.37. Khi một tia sáng truyền từ không khí vào mặt nước thì một phần tia sáng bị phản xạ trên bề mặt, phần còn lại bị khúc xạ như trong Hình 1.26. Góc tới $i$ liên hệ với góc khúc xạ $r$ bởi Định luật khúc xạ ánh sáng
$$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{n_2}{n_1}$$
Ở đây, $n_1$ và $n_2$ tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới $i = 50^\circ$, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
c) $\sqrt{3} \tan \left( \frac{x}{2} + 15^\circ \right) = 1$;
d) $\cot(2x – 1) = \cot \frac{\pi}{5}$.
1.21. Giải các phương trình sau:
a) $\sin 2x + \cos 4x = 0$;
b) $\cos 3x = -\cos 7x$.
1.22. Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0 = 500$ m/s hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{-g}{2v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2 + x \tan \alpha$, ở đó $g = 9,8$ m/s$^2$ là gia tốc trọng trường.
a) Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).
b) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.
c) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.
1.23. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình
$$x = 2 \cos \left( 5t – \frac{\pi}{6} \right).$$
Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
a) $y = 2 \sin \left( x – \frac{\pi}{4} \right) – 1$;
b) $y = \sqrt{1 + \cos x} – 2$.
1.18. Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị $x$ sao cho $\tan x = 0$.
1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số $h(t) = 90 \cos \left( \frac{\pi}{10} t \right)$, trong đó $h(t)$ là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm $t$ giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
$$\sin(a + b) \sin(a – b) = \sin^2 a – \sin^2 b = \cos^2 b – \cos^2 a.$$
1.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 75^\circ$; $\widehat{C} = 45^\circ$ và $a = BC = 12 \text{ cm}$.
a) Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} ab \sin C$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ cho bởi công thức:
$$S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}$$
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$.
1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, trong đó $t$ là thời điểm (tính bằng giây), $x(t)$ là li độ của vật tại thời điểm $t$, $A$ là biên độ dao động $(A > 0)$ và $\varphi \in [-\pi; \pi]$ là pha ban đầu của dao động.
1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x + y > 2 \\ x – y \le 1 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. (1; 1).
B. (2; 0).
C. (3; 2).
D. (3; -2).
2. Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thoả mãn $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = 3$?
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
3. Biết rằng parabol $y = x^2 + bx + c$ có đỉnh là $I(1; 4)$. Khi đó giá trị của $b + c$ là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + 2y – 5 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vectơ $\vec{n} = (1; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
B. Vectơ $\vec{u} = (2; -1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
C. Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 – 2t \\ y = 1 + t \end{cases}$.
D. Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k = 2$.
5. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2 + 3x)^4$, hệ số của $x^2$ là
A. 9
B. $C_4^2$.
C. $9C_4^2$.
D. $36C_4^2$.
6. Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là
A. $\frac{7}{15}$.
B. $\frac{8}{15}$.
C. $\frac{1}{15}$.
D. $\frac{2}{15}$.
B – TỰ LUẬN
7. Cho các mệnh đề:
$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$”;
$Q$: “Tam giác $ABC$ có các cạnh thoả mãn $AB^2 + AC^2 = BC^2$”.
a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P, P \Leftrightarrow Q, \bar{P} \Rightarrow \bar{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
c) Gọi $X$ là tập hợp các tam giác $ABC$ vuông tại $A, Y$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp $X$ và $Y$.
8. a) Biểu diễn miền nghiệm $D$ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
$\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x – y \le 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$
b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền $D$.
9. Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ với đồ thị là parabol $(P)$ có đỉnh $I\left(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}\right)$ và đi qua điểm $A(1; 2)$.
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng $y = a(x – h)^2 + k$, trong đó $I(h; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol $(P)$ đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol $(P)$ đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.
c) Giải bất phương trình $f(x) \ge 0$.
10. Giải các phương trình chứa căn thức sau:
a) $\sqrt{2x^2 – 6x + 3} = \sqrt{x^2 – 3x + 1}$;
b) $\sqrt{x^2 + 18x – 9} = 2x – 3$.
11. Từ các chữ số 0; 1; 2; …; 9, có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1 000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?
12. Viết khai triển nhị thức Newton của $(2x – 1)^n$, biết $n$ là số tự nhiên thoả mãn $A_n^2 + 24C_n^1 = 140$.
13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác $ABC$, ta có
14. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, BC$.
a) Biểu thị các vectơ $\vec{DM}, \vec{AN}$ theo các vectơ $\vec{AB}, \vec{AD}$.
b) Tính $\vec{DM} \cdot \vec{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng $DM$ và $AN$.
15. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có ba đỉnh $A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2)$.
a) Viết phương trình đường thẳng $BC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
c) Viết phương trình đường tròn có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
16. Trong mặt phẳng toạ độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai địa điểm $A(1; 1)$ và $B(-1; 21)$ với các vectơ vận tốc tương ứng là $\vec{v_A} = (1; 2), \vec{v_B} = (1; -4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?
17. Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí $A, B$ nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí $A$ nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí $B$. Giả sử vận tốc âm thanh là 1 236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.
18. Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi$.
a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết $3,1415 < \pi < 3,1416$.
19. Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:
Tỉnh/ thành phố
Năm 2010
Năm 2016
Hà Nội
5,3
1,3
Vĩnh Phúc
10,4
2,9
Bắc Ninh
7,0
1,6
Hải Dương
10,8
2,3
Hải Phòng
6,5
2,1
Hưng Yên
11,1
2,6
Thái Bình
10,7
3,7
Hà Nam
12,0
4,4
Nam Định
10,0
3,0
Ninh Bình
12,2
4,3
(Theo Tổng cục Thống kê)
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.
b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.
20. Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.
9.13. Một hộp có bốn loại bi: bi xanh, bi đỏ, bi trắng và bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Gọi $E$ là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ”. Biến cố đối của $E$ là biến cố
A. Lấy được viên bi xanh.
B. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng.
C. Lấy được viên bi trắng.
D. Lấy được viên bi vàng hoặc bi trắng hoặc bi xanh.
9.14. Rút ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Xác suất để số trên tấm thẻ được rút ra chia hết cho 5 là
A. $\frac{1}{30}$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{2}{5}$.
9.15. Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4 là
A. $\frac{1}{7}$.
B. $\frac{1}{6}$.
C. $\frac{1}{8}$.
D. $\frac{2}{9}$.
9.16. Một tổ trong lớp 10T có 4 bạn nữ và 3 bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo của lớp. Xác suất để hai bạn được chọn có một bạn nam và một bạn nữ là
A. $\frac{4}{7}$.
B. $\frac{2}{7}$.
C. $\frac{1}{6}$.
D. $\frac{2}{21}$.
B – TỰ LUẬN
9.17. Một hộp đựng bảy thẻ màu xanh đánh số từ 1 đến 7; năm thẻ màu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và hai thẻ màu vàng đánh số từ 1 đến 2. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Mỗi biến cố sau là tập con nào của không gian mẫu?
$A$: “Rút ra được thẻ màu đỏ hoặc màu vàng”;
$B$: “Rút ra được thẻ mang số hoặc là 2 hoặc là 3″.
9.18. Có hộp I và hộp II, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Từ mỗi hộp, rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ. Tính xác suất để thẻ rút ra từ hộp II mang số lớn hơn số trên thẻ rút ra từ hộp I.
9.19. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 8;
b) Tổng số chấm trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 8.
9.20. Dự báo thời tiết trong ba ngày thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư của tuần sau cho biết, trong mỗi ngày này, khả năng có mưa và không mưa như nhau.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố:
$F$: “Trong ba ngày, có đúng một ngày có mưa”;
$G$: “Trong ba ngày, có ít nhất hai ngày không mưa”.
9.21. Gieo một đồng xu cân đối liên tiếp bốn lần.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để trong bốn lần gieo đó có hai lần xuất hiện mặt sấp và hai lần xuất hiện mặt ngửa.
9.22. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ một túi đựng 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh đôi một khác nhau. Gọi $A$ là biến cố: “Trong bốn viên bi đó có cả bi đỏ và cả bi xanh”. Tính $P(A)$ và $P(\overline{A})$.
9.6. Chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba con và quan sát giới tính của ba người con này. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) $A$: “Con đầu là gái”;
b) $B$: “Có ít nhất một người con trai”.
9.7. Một hộp đựng các tấm thẻ đánh số 10; 11; …; 20. Rút ngẫu nhiên từ hộp hai tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) $C$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ”;
b) $D$: “Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn”.
9.8. Một chiếc hộp đựng 6 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất để trong 6 viên bi đó có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen.
9.9. Gieo liên tiếp một con xúc xắc và một đồng xu.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:
$F$: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
$G$: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5”.
9.10. Trên một phố có hai quán ăn X, Y. Ba bạn Sơn, Hải, Văn mỗi người chọn ngẫu nhiên một quán ăn.
a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
b) Tính xác suất của biến cố “Hai bạn vào quán X, bạn còn lại vào quán Y”.
9.11. Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm.
9.12. Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là màu vàng và màu xanh tương ứng với hai loại gen là gen trội $A$ và gen lặn $a$. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là hạt trơn và hạt nhăn tương ứng với hai loại gen là gen trội $B$ và gen lặn $b$. Biết rằng, cây con lấy ngẫu nhiên một gen từ cây bố và một gen từ cây mẹ.
Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gen là $(Aa, Bb)$ và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn. Giả sử các kết quả có thể là đồng khả năng. Tính xác suất để cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.
