ĐẠO HÀM

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Chọn đáp án đúng nhất trong các phương án sau:

Mức độ Nhận biết (Câu 1 – 10)

Câu 1: Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}, n > 1$) là:

A. $n \cdot x^{n+1}$

B. $n \cdot x^{n-1}$

C. $x^{n-1}$

D. $\frac{1}{n}x^{n-1}$

Câu 2: Cho hàm số $y = \sin x$. Đạo hàm $y’$ của hàm số là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $\frac{1}{\cos x}$

Câu 3: Đạo hàm của hàm hằng $y = c$ (với $c$ là số thực) bằng:

A. $1$

B. $x$

C. $0$

D. $c$

Câu 4: Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:

A. $k = f(x_0)$

B. $k = f'(x_0)$

C. $k = -f'(x_0)$

D. $k = \frac{1}{f'(x_0)}$

Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ (tại những điểm hàm số xác định) là:

A. $\frac{1}{\sin^2 x}$

B. $-\frac{1}{\cos^2 x}$

C. $\frac{1}{\cos^2 x}$

D. $1 + \sin^2 x$

Câu 6: Công thức tính đạo hàm của một tích $(u \cdot v)’$ là:

A. $u’v + uv’$

B. $u’v’$

C. $u’v – uv’$

D. $u’ + v’$

Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) là:

A. $\frac{1}{\sqrt{x}}$

B. $2\sqrt{x}$

C. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

D. $\frac{2}{\sqrt{x}}$

Câu 8: Cho hàm số $f(x) = x^3$. Đạo hàm cấp hai $f”(x)$ là:

A. $3x^2$

B. $6x$

C. $6$

D. $0$

Câu 9: Vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x$ ứng với số gia $dx$ là:

A. $dy = f'(x)$

B. $dy = f'(x)dx$

C. $dy = f(x)dx$

D. $dy = dx$

Câu 10: Đạo hàm của $y = \cos x$ là:

A. $\sin x$

B. $-\sin x$

C. $-\cos x$

D. $\frac{1}{\sin x}$

Mức độ Thông hiểu (Câu 11 – 20)

Câu 11: Đạo hàm của hàm số $y = (3x + 2)^5$ là:

A. $5(3x + 2)^4$

B. $15(3x + 2)^4$

C. $3(3x + 2)^4$

D. $15(3x + 2)^5$

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin(2x + 1)$:

A. $\cos(2x + 1)$

B. $2\cos(2x + 1)$

C. $-2\cos(2x + 1)$

D. $2\sin(2x + 1)$

Câu 13: Cho hàm số $y = x^2 – 4x + 3$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1; 0)$ là:

A. $y = -2x + 2$

B. $y = 2x – 2$

C. $y = -2x – 2$

D. $y = x – 1$

Câu 14: Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$ là:

A. $\frac{2}{(x+1)^2}$

B. $\frac{-2}{(x+1)^2}$

C. $\frac{1}{(x+1)^2}$

D. $\frac{2}{x+1}$

Câu 15: Cho hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$. Đạo hàm $y’$ bằng:

A. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$

B. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

C. $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

D. $\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$

Câu 16: Một vật rơi tự do có phương trình $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$ ($g = 9,8 \text{ m/s}^2$). Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2s$ là:

A. $9,8 \text{ m/s}$

B. $19,6 \text{ m/s}$

C. $4,9 \text{ m/s}$

D. $39,2 \text{ m/s}$

Câu 17: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $-\sin x$

D. $\sin x$

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số $y = x \cdot \sin x$:

A. $\sin x + x\cos x$

B. $\cos x$

C. $\sin x – x\cos x$

D. $x\cos x$

Câu 19: Đạo hàm của hàm số $y = \cos^2 x$ là:

A. $-2\sin x \cos x$

B. $2\cos x$

C. $2\sin x$

D. $\sin(2x)$

Câu 20: Cho $f(x) = \frac{1}{x}$. Tính $f”(1)$:

A. $-1$

B. $1$

C. $2$

D. $-2$

Mức độ Vận dụng (Câu 21 – 28)

Câu 21: Tìm $m$ để đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^3}{3} – mx^2 + x + 5$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$:

A. $m \leq 1$

B. $-1 \leq m \leq 1$

C. $m \geq 1$

D. $m < 1$

Câu 22: Cho hàm số $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. Giải bất phương trình $f'(x) < 0$:

A. $x \neq 1$

B. $x > 1$

C. $x < 1$

D. Không có giá trị $x$ thỏa mãn

Câu 23: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+2}{x-1}$ tại điểm có tung độ $y_0 = 4$ là:

A. $y = -3x + 10$

B. $y = -3x – 10$

C. $y = 3x + 2$

D. $y = -x + 6$

Câu 24: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{\cos 2x}$ là:

A. $\frac{-\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

B. $\frac{\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

C. $\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

D. $\frac{-2\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

Câu 25: Gia tốc tức thời của chuyển động $s(t) = t^3 – 3t^2 + 2$ tại thời điểm vận tốc bằng $0$ ($t > 0$) là:

A. $6 \text{ m/s}^2$

B. $0 \text{ m/s}^2$

C. $-6 \text{ m/s}^2$

D. $12 \text{ m/s}^2$

Câu 26: Cho hàm số $y = \tan 2x$. Đạo hàm cấp hai $y”$ tại $x = 0$ là:

A. $0$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

Câu 27: Đạo hàm cấp 2026 của hàm số $y = \cos x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $-\sin x$

Câu 28: Cho hàm số $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Tính $f'(x)$:

A. $-\sin(4x)$

B. $\sin(4x)$

C. $-\frac{1}{2}\sin(4x)$

D. $4\sin^3 x – 4\cos^3 x$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{x^2 – 3x + 2}$

b) $y = \frac{\sin x}{x}$ (với $x \neq 0$)

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

Bài 3 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = \cos^2 x$.

a) Tính đạo hàm cấp hai $y”$.

b) Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức: $y” + 4y = 2$.

CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (28 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Biến cố “Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra” được ký hiệu là:

A. $A \cup B$

B. $A \setminus B$

C. $A \cap B$

D. $\overline{A}$

Câu 2: Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì:

A. $A \cap B = \Omega$

B. $A \cap B = \varnothing$

C. $A \cup B = \varnothing$

D. $P(A) + P(B) = 1$

Câu 3: Cho $P(A) = 0,3$. Xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ là:

A. 0,3

B. 0,5

C. 0,7

D. 1,3

Câu 4: Công thức nào sau đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập?

A. $P(AB) = P(A) + P(B)$

B. $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

C. $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$

D. $P(AB) = P(A) – P(B)$

Câu 5: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu:

A. Việc xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$.

B. $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra.

C. $A$ là tập con của $B$.

D. Tổng xác suất của chúng bằng 1.

Câu 6: Ký hiệu $A \cup B$ phát biểu bằng lời là:

A. Biến cố $A$ và $B$.

B. Biến cố $A$ hoặc $B$.

C. Biến cố $A$ nhưng không có $B$.

D. Biến cố đối của $A$ và $B$.

Câu 7: Nếu $P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$ và $A, B$ xung khắc thì $P(A \cup B)$ bằng:

A. 0,9

B. 0,1

C. 0,2

D. 0,45

Câu 8: Tung một con xúc xắc cân đối. Biến cố $A$: “Mặt xuất hiện có số chấm chẵn”, biến cố $B$: “Mặt xuất hiện có số chấm lẻ”. Hai biến cố này là:

A. Độc lập.

B. Xung khắc.

C. Không liên quan.

D. Biến cố giao.

Câu 9: Cho $P(A \cap B) = 0$. Khẳng định nào đúng?

A. $A, B$ là hai biến cố độc lập.

B. $A, B$ là hai biến cố xung khắc.

C. $A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau.

D. $P(A) = 0$ hoặc $P(B) = 0$.

Câu 10: Trong một hộp có 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Gọi $A$ là biến cố “Lấy được bi xanh”. Xác suất $P(A)$ là:

A. 1/2

B. 1/5

C. 1/10

D. 2/5

Câu 11: Cho $P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; P(A \cup B) = 0,8$. Tính $P(A \cap B)$:

A. 0,1

B. 0,9

C. 0,18

D. 0,2

Câu 12: Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ có $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$. Tính $P(A \cap \overline{B})$:

A. 0,2

B. 0,3

C. 0,1

D. 0,9

Câu 13: Một xạ thủ bắn 2 viên đạn vào bia. Gọi $A_i$ là biến cố “Viên thứ $i$ trúng bia” ($i=1,2$). Biến cố “Có ít nhất một viên trúng bia” là:

A. $A_1 \cap A_2$

B. $A_1 \cup A_2$

C. $\overline{A_1} \cap \overline{A_2}$

D. $A_1 \cup \overline{A_2}$

Câu 14: Gieo một con xúc xắc 2 lần. Tính xác suất để cả 2 lần đều xuất hiện mặt 6 chấm:

A. 1/6

B. 1/12

C. 1/36

D. 2/6

Câu 15: Một bình đựng 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Xác suất để cả 2 viên đều trắng là:

A. $C_7^2 / C_{10}^2$

B. $7/10$

C. $14/100$

D. $C_3^2 / C_{10}^2$

Câu 16: Cho $P(A) = 0,7$. Xác suất để biến cố $A$ không xảy ra là:

A. 0,7

B. 0,3

C. 0

D. 1

Câu 17: Hai người cùng giải một bài toán độc lập. Xác suất người thứ nhất giải được là 0,8; người thứ hai là 0,7. Xác suất để cả hai cùng không giải được là:

A. 0,56

B. 0,06

C. 0,15

D. 0,44

Câu 18: Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Công thức nào đúng?

A. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

B. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

C. $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$

D. $P(A \cup B) = 1 – P(A \cap B)$

Câu 19: Một thẻ bài rút từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được lá Át (Ace) hoặc lá Rô là:

A. 4/52 + 13/52

B. 4/52 + 13/52 – 1/52

C. 4/52 * 13/52

D. 17/52

Câu 20: Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $\overline{A}$ và $\overline{B}$ có độc lập không?

A. Luôn độc lập.

B. Không bao giờ độc lập.

C. Chỉ độc lập khi $P(A) = P(B)$.

D. Tùy vào đề bài.

Câu 21: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 20. Xác suất chọn được số chia hết cho cả 2 và 3 là:

A. 3/20

B. 1/20

C. 1/10

D. 6/20

Câu 22: Gieo một đồng xu 3 lần. Xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là:

A. 1/8

B. 3/8

C. 1/2

D. 1/4

---

Câu 23: Một hộp có 10 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả không hoàn lại. Xác suất để quả thứ nhất xanh và quả thứ hai đỏ là:

A. 10/15 * 5/15

B. 10/15 * 5/14

C. $C_{10}^1 \cdot C_5^1 / C_{15}^2$

D. 1/3

Câu 24: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Xác suất để mục tiêu bị trúng là:

A. 0,21

B. 0,94

C. 0,06

D. 0,15

Câu 25: Cho $P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$. Biết $A, B$ là hai biến cố độc lập. Tính $P(A \cup B)$:

A. 0,9

B. 0,7

C. 0,2

D. 0,6

Câu 26: Một đề thi có 5 câu hỏi. Một học sinh xác suất làm đúng mỗi câu là 0,8. Tính xác suất học sinh đó làm đúng ít nhất 4 câu:

A. $0,8^4 \cdot 0,2 + 0,8^5$

B. $C_5^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 + 0,8^5$

C. $C_5^4 \cdot 0,8^4$

D. $1 – 0,8^5$

Câu 27: Trong một lớp học có 60% học sinh thích Toán, 50% thích Lý và 30% thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, xác suất học sinh này không thích môn nào trong hai môn trên là:

A. 20%

B. 10%

C. 80%

D. 30%

Câu 28: Hai máy tự động cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất máy I sản xuất ra phế phẩm là 0,1; máy II là 0,2. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi máy một sản phẩm. Xác suất để có đúng một phế phẩm là:

A. 0,02

B. 0,26

C. 0,30

D. 0,72

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Câu 1 (1.0 điểm): Công thức Cộng & Biến cố xung khắc

Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để quả cầu được chọn:

• a) Ghi số chẵn hoặc là quả cầu màu đỏ.
• b) Ghi số chia hết cho 5.

Câu 2 (1.0 điểm): Công thức Nhân & Biến cố độc lập

Hai vận động viên bắn súng A và B cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất bắn trúng bia của A là 0,8 và của B là 0,9. Tính xác suất để:

• a) Cả hai cùng bắn trúng.
• b) Có ít nhất một người bắn trúng.

Câu 3 (1.0 điểm): Vận dụng cao (Phân loại học sinh)

Trong một kỳ thi, thí sinh phải trả lời 3 câu hỏi trắc nghiệm khách quan độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (trong đó chỉ có 1 phương án đúng). Một học sinh không học bài nên chọn ngẫu nhiên các đáp án.

• Tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng đúng 2 câu trong 3 câu hỏi đó.
• Nếu học sinh đó trả lời đúng cả 3 câu thì được 10 điểm, đúng 2 câu được 7 điểm, đúng 1 câu được 4 điểm và 0 câu đúng được 0 điểm. Tính khả năng (xác suất) học sinh này đạt từ 7 điểm trở lên.

Quan hệ vuông góc trong không gian

Thời gian: 90 PHÚT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì:

A. $d // b$

B. $d \perp b$

C. $d$ và $b$ chéo nhau

D. $d$ và $b$ trùng nhau

Câu 2: Cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bao nhiêu đường thẳng nằm trong $(\alpha)$?

A. 1

B. 2

C. Vô số

D. 0

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu đường thẳng $d \perp (\alpha)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$.

B. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha)$ thì $d \perp (\alpha)$.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cắt nhau.

Câu 4: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc nào?

A. $\widehat{SBA}$

B. $\widehat{SAB}$

C. $\widehat{SBC}$

D. $\widehat{ASB}$

Câu 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$ bằng:

A. $45^\circ$

B. $90^\circ$

C. $60^\circ$

D. $30^\circ$

Câu 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $BC \perp (SAB)$

B. $BC \perp (SAC)$

C. $AB \perp (SBC)$

D. $AC \perp (SBC)$

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp đều có đáy là đa giác đều.

B. Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.

C. Hình chóp có đáy là đa giác đều là hình chóp đều.

D. Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(AA’B’B)$

B. $(BCC’B’)$

C. $(A’B’C’D’)$

D. $(ADD’A’)$

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $SO \perp (ABCD)$

B. $SA \perp (ABCD)$

C. $SD \perp (ABCD)$

D. $AC \perp (SBD)$

Câu 11: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$ được tính bằng:

A. Khoảng cách từ một điểm bất kỳ của $(\alpha)$ đến $(\beta)$.

B. Độ dài một đường thẳng cắt cả hai mặt phẳng.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng đó.

D. Không xác định được.

Câu 12: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Độ dài đường chéo $AC’$ của hình lập phương là:

A. $a\sqrt{2}$

B. $a\sqrt{3}$

C. $2a$

D. $a$

Câu 13: Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ là $\varphi$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

A. $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$

B. $0^\circ < \varphi < 90^\circ$

C. $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$

D. $90^\circ \le \varphi \le 180^\circ$

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$ là điểm nào (biết $S$ không trùng $A$)?

A. Điểm $B$

B. Điểm $C$

C. Điểm $H$

D. Một điểm khác $H$

Câu 15: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $I$, lấy điểm $S$. Khi đó, khoảng cách từ $S$ đến các đỉnh của hình vuông:

A. Bằng nhau

B. Khác nhau đôi một

C. $SA=SB \ne SC=SD$

D. $SA=SC \ne SB=SD$

Câu 16: Cho mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$. Nếu đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ và $a \perp d$ thì:

A. $a \perp (Q)$

B. $a // (Q)$

C. $a \subset (Q)$

D. $a$ cắt $(Q)$ tại góc $45^\circ$

Câu 17: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Chiều cao $SA = a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^3}{3}$

Câu 18: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $a, 2a, 3a$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng:

A. $6a^3$

B. $2a^3$

C. $a^3$

D. $3a^3$

Câu 19: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB = a, AC = a\sqrt{3}$. Cạnh bên $AA’ = 2a$. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $a^3\sqrt{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $2a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

Câu 20: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2a$ là:

A. $2a^3$

B. $4a^3$

C. $6a^3$

D. $8a^3$

Câu 21: Nếu một khối chóp có diện tích đáy tăng lên 2 lần và chiều cao giảm đi 6 lần thì thể tích của nó sẽ:

A. Tăng 2 lần

B. Giảm 3 lần

C. Giảm 4 lần

D. Không đổi

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$. Chiều cao $SA$ của hình chóp bằng:

A. $a$

B. $a\sqrt{2}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $2a$

Câu 23: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Câu 24: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với nhau.

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường này đến đường kia.

Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, chiều cao $SO = a$. Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3}{2}$

Câu 26: Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Chiều cao $AA’ = a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $a^3\sqrt{3}$

Câu 27: Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng có thể là:

A. Một điểm hoặc một đường thẳng.

B. Luôn là một đường thẳng.

C. Một đường tròn.

D. Một tam giác.

Câu 28: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Biết $AB=a, BC=a\sqrt{3}$. Tính diện tích đáy $S_{\triangle ABC}$.

A. $a^2\sqrt{3}$

B. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$

D. $a^2$

Câu 29: Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

A. Độ dài đoạn thẳng nối $M$ với một điểm bất kỳ trên $(P)$.

B. Độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $M$ đến $(P)$.

C. Độ dài bé nhất trong các đoạn thẳng nối $M$ với các điểm không nằm trên $(P)$.

D. Khoảng cách từ $M$ đến giao tuyến của hai mặt phẳng bất kỳ.

Câu 30: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Khối chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao với khối lăng trụ đó có thể tích là:

A. $V$

B. $\frac{1}{3}V$

C. $3V$

D. $\frac{1}{2}V$

Câu 31 (Mức độ Vận dụng): Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CC’$.

A. $a$

B. $a\sqrt{2}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $a/2$

Câu 35: Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6a^2$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là:

A. $12a^3$

B. $4a^3$

C. $6a^3$

D. $2a^3$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

(Trình bày chi tiết lời giải)

Bài 1 (1,0 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.

a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAC)$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BC)$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (35 CÂU – 7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $a^2 \cdot \sqrt[3]{a}$ bằng:

A. $a^{\frac{5}{3}}$

B. $a^{\frac{2}{3}}$

C. $a^{\frac{7}{3}}$

D. $a^{\frac{1}{3}}$

Câu 2: Cho $0 < a \neq 1$, giá trị của $\log_a \sqrt{a}$ là:

A. $2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $-2$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = (x-1)^{-4}$ là:

A. $\mathbb{R}$

B. $(1; +\infty)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

D. $[1; +\infty)$

Câu 4: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$?

A. $y = \log_2 x$

B. $y = \log_{\frac{\pi}{4}} x$

C. $y = \log_{\sqrt{3}} x$

D. $y = \log_e x$

Câu 5: Nghiệm của phương trình $5^{x-1} = 25$ là:

A. $x = 2$

B. $x = 1$

C. $x = 3$

D. $x = 4$

Câu 6: Cho $a > 0, b > 0$, biểu thức $\log(ab^2)$ bằng:

A. $\log a + 2\log b$

B. $2(\log a + \log b)$

C. $\log a + \frac{1}{2}\log b$

D. $\log a – 2\log b$

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x < 8$ là:

A. $(-\infty; 3)$

B. $(3; +\infty)$

C. $(-\infty; 4)$

D. $(2; +\infty)$

Câu 8: Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 9$ theo $a$:

A. $a^2$

B. $3a$

C. $2a$

D. $a+2$

Câu 9: Đồ thị hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ ($0 < a \neq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng:

A. $y = 0$

B. $x = 0$

C. $y = x$

D. $y = -x$

Câu 10: Tập xác định của hàm số $y = \ln(x^2 – 1)$ là:

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$

D. $(1; +\infty)$

Câu 11: So sánh $M = \sqrt[3]{5}$ và $N = \sqrt[5]{3}$, khẳng định nào đúng?

A. $M < N$

B. $M = N$

C. $M > N$

D. Không so sánh được

Câu 12: Phương trình $\log_3(2x-1) = 2$ có nghiệm là:

A. $x = 5$

B. $x = \frac{9}{2}$

C. $x = 4$

D. $x = \frac{11}{2}$

Câu 13: Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{13}{24}}$

B. $P = x^{\frac{11}{24}}$

C. $P = x^{\frac{1}{2}}$

D. $P = x^{\frac{5}{8}}$

Câu 14: Hàm số $y = (a-2)^x$ là hàm số mũ khi:

A. $a > 2$

B. $a > 2$ và $a \neq 3$

C. $a \neq 3$

D. $a < 2$

Câu 15: Tính giá trị biểu thức $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8$:

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge -2$ là:

A. $(1; 5]$

B. $[1; 5]$

C. $(-\infty; 5]$

D. $(1; 5)$

Câu 17: Cho hàm số $f(x) = \frac{9^x}{9^x + 3}$. Tính tổng $S = f(\frac{1}{2024}) + f(\frac{2023}{2024})$:

A. $1$

B. $2$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 18: Phương trình $9^x – 3^{x+1} – 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 19: Đường cong của hàm số $y = \log_a x$ (với $a > 1$) có đặc điểm:

A. Luôn đi qua điểm $(0;1)$

B. Luôn nằm bên phải trục tung

C. Có tiệm cận ngang là trục hoành

D. Nghịch biến trên tập xác định

Câu 20: Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $4^x – 2^{x+1} + m = 0$ có nghiệm:

A. $m \le 1$

B. $m < 1$

C. $m > 0$

D. $m \ge 1$

Câu 21: Tìm $x$ biết $\log_2 x + \log_2(x-1) = 1$:

A. $x = 2$

B. $x = 1$

C. $x = -1$

D. $x = 3$

Câu 22: Một người gửi tiết kiệm lãi suất 7%/năm (lãi kép). Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 9 năm

B. 10 năm

C. 11 năm

D. 12 năm

Câu 23: Cho $a, b > 0$ và $a^2 + b^2 = 7ab$. Khẳng định nào đúng?

A. $2\log(a+b) = \log a + \log b$

B. $\log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)$

C. $\log(a+b) = \frac{3}{2}(\log a + \log b)$

D. $2\log \frac{a+b}{3} = \log a – \log b$

Câu 24: Giải bất phương trình $3^{x^2 – 4} < 27$:

A. $- \sqrt{7} < x < \sqrt{7}$

B. $x < \sqrt{7}$

C. $x > 3$

D. $2 < x < 3$

Câu 25: Nếu $\log_a b > 0$ và $a > 1$ thì:

A. $b > 1$

B. $0 < b < 1$

C. $b > 0$

D. $b = 1$

Câu 26: Biểu thức $\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$ viết dưới dạng lũy thừa là:

A. $x^{\frac{1}{8}}$

B. $x^{\frac{7}{8}}$

C. $x^{\frac{3}{4}}$

D. $x^{\frac{1}{2}}$

Câu 27: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_3(x^2 – 1) \le 1$:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 28: Phương trình $\log_2^2 x – \log_2(8x) + 3 = 0$ tương đương với phương trình nào?

A. $\log_2^2 x – \log_2 x = 0$

B. $\log_2^2 x – \log_2 x – 6 = 0$

C. $\log_2^2 x – \log_2 x – 3 = 0$

D. $\log_2^2 x – \log_2 x + 6 = 0$

Câu 29: Với $a, b$ dương và $a \neq 1$, giá trị $a^{4\log_{a^2} b}$ bằng:

A. $b^2$

B. $b^4$

C. $b^8$

D. $b$

Câu 30: Hàm số $y = \log_2(x^2 – 2x + m)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi:

A. $m > 1$

B. $m \ge 1$

C. $m < 1$

D. $m > 0$

Câu 31: Nếu $\log_{12} 6 = a, \log_{12} 7 = b$ thì $\log_2 7$ bằng:

A. $\frac{a}{1-b}$

B. $\frac{b}{1-a}$

C. $\frac{a}{1+b}$

D. $\frac{b}{1+a}$

Câu 32: Tìm tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^2-x} = 4$:

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Câu 33: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $\log_9 x = \log_{12} y = \log_{16}(x+y)$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$:

A. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 34: Bất phương trình $m \cdot 9^x – (2m+1) \cdot 3^x + m + 1 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ khi:

A. $m > 0$

B. $m \ge 0$

C. $m > -1$

D. $m \le 0$

Câu 35: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \le x \le 2024$ và $\log_3(3x+3) + x = 2y + 9^y$?

A. 2

B. 4

C. 7

D. 2024

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Bài 1 (1,0 điểm):

Rút gọn biểu thức sau: $A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ (với $x, y > 0$).

Bài 2 (1,0 điểm):

Giải phương trình sau: $\log_2(x^2 – x + 2) = \log_2(x+5)$.

Bài 3 (1,0 điểm):

Cường độ ánh sáng khi đi qua môi trường nước giảm dần theo công thức $I = I_0 \cdot e^{-\mu x}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng ban đầu (tại mặt nước), $x$ là độ sâu (mét) và $\mu$ là hệ số hấp thụ của nước ($\mu \approx 1,4$ đối với nước biển). Hỏi ở độ sâu bao nhiêu mét thì cường độ ánh sáng chỉ còn bằng $10\%$ so với cường độ ánh sáng tại mặt nước?