Blog

Chương VI. Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit

posted on

Lũy thừa với số mũ thực

Với $a > 0$, ta có các công thức cần nhớ:

  • Nhân/Chia: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ và $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
  • Lũy thừa của lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
  • Căn bậc n: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ (Đây là cầu nối giữa căn thức và lũy thừa!)

Lôgarit (Logarithm)

Định nghĩa: $\log_a b = \alpha \Leftrightarrow a^\alpha = b$ (với $0 < a \neq 1, b > 0$).

  • Log của một tích: $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ (Phép nhân biến thành phép cộng – rất kỳ diệu!)
  • Log của một thương: $\log_a (\frac{b}{c}) = \log_a b – \log_a c$
  • Hạ bậc số mũ: $\log_a b^n = n \cdot \log_a b$
  • Lôgarit đặc biệt:
    • Lôgarit thập phân: $\log_{10} b = \log b = \lg b$
    • Lôgarit tự nhiên: $\log_e b = \ln b$ (với $e \approx 2,718$)

Hàm số Mũ và Hàm số Lôgarit

1. Hàm số Mũ $y = a^x$ (với $a > 0, a \neq 1$)

  • Tập xác định ($D$): Toàn bộ trục số $\mathbb{R}$. (Bạn cho $x$ bằng mấy cũng được!)
  • Tập giá trị ($T$): Chỉ nhận giá trị dương $(0; +\infty)$. Đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành $Ox$.
  • Điểm đặc biệt: Luôn đi qua điểm $(0; 1)$ vì $a^0 = 1$.
  • Tiệm cận: Trục $Ox$ là tiệm cận ngang.

2. Hàm số Lôgarit $y = \log_a x$ (với $a > 0, a \neq 1$)

  • Tập xác định ($D$): Chỉ nhận giá trị dương $(0; +\infty)$. (Đây là điều kiện cực quan trọng khi giải toán!)
  • Tập giá trị ($T$): Toàn bộ trục số $\mathbb{R}$.
  • Điểm đặc biệt: Luôn đi qua điểm $(1; 0)$ vì $\log_a 1 = 0$.
  • Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.

Phương trình & Bất phương trình Mũ và Lôgarit

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số (Phổ biến nhất)

Đây là cách “ép” hai vế về cùng một gia đình (cùng cơ số $a$).

  • Mũ: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ (với $0 < a \neq 1$).
  • Lôgarit: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) > 0 \text{ (hoặc } g(x) > 0) \\ f(x) = g(x) \end{cases}$

Lưu ý “Sống còn”: Khi giải bất phương trình, nếu cơ số $0 < a < 1$, bạn phải đổi chiều bất đẳng thức. Ví dụ: $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^3 \Rightarrow x < 3$.

2. Phương pháp đặt ẩn phụ (Chia để trị)

Khi bạn thấy một biểu thức lặp đi lặp lại hoặc có mối quan hệ bình phương.

  • Dạng 1: $m \cdot a^{2x} + n \cdot a^x + p = 0 \Rightarrow$ Đặt $t = a^x$ (Điều kiện $t > 0$).
  • Dạng 2: $\log_a^2 x + \log_a x + c = 0 \Rightarrow$ Đặt $t = \log_a x$ (Không cần điều kiện $t > 0$, vì lôgarit có thể âm).

3. Phương pháp Lôgarit hóa / Mũ hóa

Dùng khi hai vế có cơ số khác hẳn nhau và không thể đưa về cùng một số được.

  • Ví dụ: $a^x = b \Leftrightarrow x = \log_a b$.

🛠️ Phương pháp giải tổng quát

Khi cầm một tờ đề trên tay, hãy tự hỏi mình các bước sau:

  1. Điều kiện: Biểu thức dưới dấu Lôgarit phải DƯƠNG, cơ số phải DƯƠNG và KHÁC 1.
  2. Quan sát: Có đưa về cùng cơ số được không? Có đặt ẩn phụ được không?
  3. Kết luận: Đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện ban đầu.

⚡ Bí kíp giải Bất phương trình Mũ và Lôgarit

Điểm mấu chốt duy nhất bạn cần khắc cốt ghi tâm: Cơ số $a$ quyết định chiều của bất phương trình.

1. Bất phương trình Mũ ($a^{f(x)} > a^{g(x)}$)

  • Trường hợp $a > 1$: Giữ nguyên chiều $\Rightarrow f(x) > g(x)$. (Hàm đồng biến, mũ càng to kết quả càng lớn).
  • Trường hợp $0 < a < 1$: ĐỔI CHIỀU $\Rightarrow f(x) < g(x)$. (Hàm nghịch biến, mũ càng to kết quả lại càng nhỏ).

2. Bất phương trình Lôgarit ($\log_a f(x) > \log_a g(x)$)

Phần này “khó nhằn” hơn một chút vì bạn bắt buộc phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu log dương ($f(x) > 0$ và $g(x) > 0$).

  • Trường hợp $a > 1$: Giữ nguyên chiều $\Rightarrow f(x) > g(x) > 0$.
  • Trường hợp $0 < a < 1$: ĐỔI CHIỀU $\Rightarrow 0 < f(x) < g(x)$.

Ý nghĩa và nguồn gốc

1. Lôgarit (Logarithm): “Cứu tinh” của các nhà thiên văn

  • Nguồn gốc: Ra đời vào đầu thế kỷ 17. Thời đó, các nhà thiên văn học (như Kepler) phải tính toán những con số khổng lồ về khoảng cách các hành tinh. Việc nhân chia các số có 7-8 chữ số bằng tay là một “cực hình”.
  • Ý nghĩa: Lôgarit ra đời để biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ. Nó giúp rút ngắn thời gian tính toán từ vài tháng xuống còn vài ngày.
  • Nhà toán học liên quan:
    • John Napier (Người Scotland): Ông là người công bố bảng lôgarit đầu tiên vào năm 1614. Từ “Logarithm” do ông ghép từ tiếng Hy Lạp: logos (tỷ lệ) và arithmos (số).
    • Henry Briggs (Người Anh): Ông là người đã cải tiến hệ thống của Napier để đưa về Lôgarit thập phân (cơ số 10) mà chúng ta dùng phổ biến ngày nay.

2. Số $e$ và Lôgarit tự nhiên ($\ln$)

  • Nguồn gốc: Số $e$ không ra đời từ hình học (như số $\pi$) mà ra đời từ tài chính (lãi suất ngân hàng).
  • Ý nghĩa: Số $e \approx 2,718$ đại diện cho sự tăng trưởng liên tục tự nhiên. Nó xuất hiện trong mọi thứ: từ sự phân rã phóng xạ, sự phát triển của vi khuẩn đến sự rung động của dây đàn.
  • Nhà toán học liên quan:
    • Jacob Bernoulli: Người đầu tiên phát hiện ra số $e$ khi nghiên cứu về lãi kép (lãi chồng lãi).
    • Leonhard Euler (Người Thụy Sĩ): “Ông vua” của toán học. Ông là người đặt tên ký hiệu là $e$ (có lẽ từ chữ “exponential”) và chứng minh vô số tính chất của nó. Ông cũng là người kết nối mũ và lôgarit thành hai phép toán nghịch đảo của nhau.

3. Hàm số Mũ: Sức mạnh của sự bùng nổ

  • Ý nghĩa: Hàm số mũ $y = a^x$ dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi cực nhanh.
  • Ứng dụng thực tế:
    • Y học: Tốc độ lây lan của virus trong đại dịch (tăng trưởng mũ).
    • Địa chất: Thang đo Richter (động đất) thực chất là một thang đo lôgarit. Một trận động đất 8 độ mạnh gấp 10 lần trận 7 độ, chứ không phải chỉ hơn 1 độ đâu!
    • Hóa học: Độ pH chính là lôgarit âm của nồng độ ion $H^+$.

💡 Tại sao chúng ta phải học chúng?

Nếu không có Lôgarit và Mũ, con người sẽ không bao giờ phóng được tên lửa vào vũ trụ (vì các phương trình quỹ đạo cực kỳ phức tạp), không thể hiểu được cách tiền bạc sinh lời trong ngân hàng, và cũng không thể đo đạc được những thứ siêu nhỏ như nguyên tử hay siêu lớn như thiên hà.

Một câu nói vui: “Lôgarit là một thiết bị giúp các nhà toán học làm việc nhanh gấp đôi và sống lâu gấp đôi (vì tiết kiệm được thời gian tính toán)!”

Chương VI. Hàm số, Đồ thị và Ứng dụng

posted on

📌 TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Chương này tập trung vào việc hiểu mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $y$, đặc biệt là sự chuyển tiếp từ hàm số bậc nhất lên hàm số bậc hai.

1. Hàm số (Bài 15)

  • Khái niệm: Một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị $x$ thuộc tập $D$ với duy nhất một giá trị $y$.
  • Tập xác định ($D$): Tập hợp các giá trị $x$ làm cho hàm số có nghĩa.
  • Sự biến thiên:
    • Đồng biến: $x$ tăng thì $y$ tăng (đồ thị đi lên).
    • Nghịch biến: $x$ tăng thì $y$ giảm (đồ thị đi xuống).

2. Hàm số bậc hai (Bài 16)

  • Dạng tổng quát: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
  • Đồ thị: Là một đường cong Parabol.
    • Nếu $a > 0$: Bề lõm quay lên trên (hình chữ U).
    • Nếu $a < 0$: Bề lõm quay xuống dưới (hình chữ U úp).
  • Đỉnh $I$: Có tọa độ $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$. Đây là điểm “thấp nhất” hoặc “cao nhất” của đồ thị.
  • Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.

3. Dấu của tam thức bậc hai (Bài 17)

Đây là phần giúp bạn biết khi nào biểu thức $ax^2 + bx + c$ mang dấu dương hay âm. Quy tắc cốt lõi dựa vào $\Delta$ và hệ số $a$.

  • Nếu $\Delta < 0$: Tam thức luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x$.
  • Nếu $\Delta = 0$: Tam thức cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq -\frac{b}{2a}$.
  • Nếu $\Delta > 0$: Tam thức có 2 nghiệm $x_1, x_2$. Áp dụng quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng” (Trong khoảng 2 nghiệm trái dấu với $a$, ngoài khoảng cùng dấu với $a$).

4. Phương trình quy về phương trình bậc hai (Bài 18)

Tập trung vào các phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải chủ đạo là bình phương hai vế để khử căn, nhưng đừng quên bước cực kỳ quan trọng: Thử lại nghiệm hoặc đặt điều kiện.

🛠 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHƯƠNG VI

Dạng 1: Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số

Đây là bước “khám sức khỏe” đầu tiên cho mọi hàm số.

  • Phương pháp: Nhớ 2 quy tắc vàng:
    1. Hàm số có mẫu $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$: Điều kiện là $Q(x) \neq 0$.
    2. Hàm số có căn $y = \sqrt{P(x)}$: Điều kiện là $P(x) \ge 0$.
    3. Hàm số ở mẫu và trong căn $y = \frac{1}{\sqrt{P(x)}}$: Điều kiện là $P(x) > 0$.

Dạng 2: Khảo sát và Vẽ đồ thị hàm số bậc hai (Parabol)

Dạng này yêu cầu sự tỉ mỉ để vẽ được một “đường cong tuyệt mỹ”.

  • Phương pháp (Quy trình 4 bước):
    1. Xác định đỉnh $I$: $x_I = -\frac{b}{2a}$, tính $y_I$ bằng cách thay $x_I$ vào hàm số.
    2. Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.
    3. Lập bảng biến thiên: Dựa vào dấu của $a$ (a > 0: bề lõm quay lên; a < 0: bề lõm quay xuống).
    4. Vẽ đồ thị: Lấy thêm ít nhất 2 – 4 điểm đặc biệt (giao với trục $Ox, Oy$) để vẽ cho cân đối.

Dạng 3: Xét dấu tam thức bậc hai và Giải bất phương trình (BPT)

Đây là “linh hồn” của Bài 17, giúp bạn biết một biểu thức âm hay dương.

  • Phương pháp:
    1. Tính $\Delta = b^2 – 4ac$.
    2. Tìm nghiệm của tam thức (nếu có).
    3. Sử dụng quy tắc “Trong trái – Ngoài cùng”:
      • Nếu có 2 nghiệm phân biệt: Trong khoảng 2 nghiệm thì trái dấu với $a$, ngoài khoảng thì cùng dấu với $a$.
      • Nếu $\Delta < 0$: Toàn bộ biểu thức luôn cùng dấu với $a$.

Dạng 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Thường gặp nhất là phương trình chứa căn dạng $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ hoặc $\sqrt{f(x)} = g(x)$.

  • Phương pháp:
    1. Bình phương hai vế để mất căn thức.
    2. Giải phương trình bậc hai thu được.
    3. BẮT BUỘC: Thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu hoặc đặt điều kiện để loại nghiệm ngoại lai. (Rất nhiều bạn mất điểm vì quên bước này đấy!).

📜 2. Nguồn gốc và Các Nhà toán học lừng danh

Lịch sử của hàm số là một cuộc hành trình kéo dài hàng ngàn năm với sự góp mặt của những “ngôi sao” sau:

👤 René Descartes (1596 – 1650) – “Cha đẻ” của Hệ tọa độ

Bạn có bao giờ thắc mắc tại sao hệ trục tọa độ lại gọi là hệ tọa độ Cartesian (với hai trục $Ox, Oy$)? Đó là vì Descartes!

  • Câu chuyện: Tương truyền khi nằm nhìn một con ruồi bò trên trần nhà, ông nhận ra có thể xác định vị trí của nó bằng khoảng cách đến hai bức tường.
  • Đóng góp: Ông là người đầu tiên kết hợp Hình học và Đại số, cho phép chúng ta “vẽ” được các phương trình thành hình ảnh.

👤 Galileo Galilei (1564 – 1642) – Người tìm ra Parabol

Trước Galileo, người ta tưởng rằng một viên đạn đại bác bay theo đường thẳng rồi rơi thẳng xuống.

  • Đóng góp: Bằng thực nghiệm, Galileo chứng minh được rằng quỹ đạo của một vật rơi tự do chính là một đường Parabol. Đây chính là nguồn gốc thực tế nhất của hàm số bậc hai.

👤 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) – Người đặt tên

Dù ý niệm về hàm số đã có từ lâu, nhưng chính Leibniz là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ “Function” (Hàm số) vào năm 1694 để chỉ các đại lượng thay đổi liên quan đến một điểm trên đường cong.

👤 Leonhard Euler (1707 – 1783) – Ký hiệu $f(x)$

Nếu bạn thấy ký hiệu $y = f(x)$ quen thuộc (và đôi khi đáng ghét), thì đó là “tác phẩm” của Euler. Ông là người đưa hàm số trở thành trung tâm của toán học hiện đại.

Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

posted on

📌 TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHƯƠNG II

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng tổng quát: $ax + by < c$ (hoặc $>, \le, \ge$). Trong đó $a^2 + b^2 \neq 0$.

Nghiệm: Là các cặp số $(x; y)$ khi thay vào BPT cho ta một khẳng định đúng. Một BPT có vô số nghiệm.

Miền nghiệm: Là một nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng $d: ax + by = c$.

2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm: Là một tập hợp gồm hai hay nhiều BPT bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ: Là cặp số $(x; y)$ thỏa mãn tất cả các BPT trong hệ đó.

Miền nghiệm của hệ: Là phần giao (phần chung) của các miền nghiệm của từng BPT trong hệ. Miền này thường là một miền đa giác (tam giác, tứ giác…) hoặc một miền không giới hạn.

3. Bài toán tối ưu (Ứng dụng thực tế)

Đây là phần “đáng đồng tiền bát gạo” nhất của chương. Mục tiêu là tìm giá trị lớn nhất ($F_{max}$) hoặc nhỏ nhất ($F_{min}$) của biểu thức:

$$F(x; y) = mx + ny$$

Quy tắc vàng: Giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức $F(x;y)$ trên một miền đa giác luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

🛠 DẠNG TOÁN & PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Kiểm tra cặp số $(x;y)$ có là nghiệm khôngThay trực tiếp $x, y$ vào BPT/Hệ BPT. Nếu thỏa mãn tất cả thì là nghiệm.
Dạng 2: Biểu diễn miền nghiệm trên Oxy1. Vẽ các đường thẳng biên.
2. Thử điểm (thường chọn $O(0;0)$).
3. Gạch bỏ phần không phải nghiệm.
Dạng 3: Bài toán thực tế (Quy hoạch tuyến tính)1. Đặt ẩn $x, y$.
2. Lập hệ BPT dựa trên các điều kiện biên.
3. Xác định miền nghiệm (đa giác).
4. Tính giá trị $F$ tại các đỉnh để tìm $Max/Min$.

Khi vẽ miền nghiệm, bạn hãy nhớ:

  • Dấu $<$ hoặc $>$: Vẽ đường biên bằng nét đứt (không lấy điểm trên đường thẳng).
  • Dấu $\le$ hoặc $\ge$: Vẽ đường biên bằng nét liền (có lấy điểm trên đường thẳng).
  • Hãy luôn kiểm tra xem đề bài có điều kiện ẩn không (ví dụ: số sản phẩm $x, y \ge 0$).

🌍 1. Ý nghĩa: “Nghệ thuật của sự giới hạn”

Trong toán học cơ bản, phương trình ($=$) cho ta sự chính xác tuyệt đối. Nhưng cuộc đời thực tế lại đầy rẫy những giới hạn. Bất phương trình chính là ngôn ngữ để mô tả những giới hạn đó.

  • Trong Kinh tế (Tối ưu hóa lợi nhuận): Giả sử bạn có số vốn cố định, số nhân công hữu hạn và kho bãi có hạn. Bạn phải quyết định sản xuất bao nhiêu sản phẩm $x$ và $y$ để tiền lãi là cao nhất? Hệ bất phương trình giúp bạn khoanh vùng “vùng khả thi” (miền nghiệm) để tìm ra đáp án đó.
  • Trong Đời sống (Chi tiêu & Dinh dưỡng): Một chế độ ăn kiêng yêu cầu bạn nạp ít nhất 2000 calo nhưng không quá 500g tinh bột. Việc chọn lựa thực phẩm chính là giải một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • Trong Kỹ thuật: Thiết kế các bộ phận máy móc sao cho chịu được áp lực trong một khoảng cho phép, hoặc lập trình robot di chuyển trong một phạm vi an toàn.

Tóm lại: Ý nghĩa của chương này là giúp chúng ta đưa ra quyết định tối ưu nhất trong một môi trường bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện.

📜 2. Nguồn gốc: Từ chiến trường đến phòng điều hành

Lý thuyết về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất (tiền thân của Quy hoạch tuyến tính – Linear Programming) có một lịch sử rất thú vị:

  • Thời kỳ sơ khai: Các nhà toán học như Fourier (Pháp) đã nhen nhóm ý tưởng về việc giải các hệ bất phương trình từ thế kỷ 19, nhưng lúc đó nó chưa có ứng dụng rõ rệt.
  • Bước ngoặt Thế chiến II (1939 – 1945): Đây là lúc “ngôi sao” này thực sự tỏa sáng.
    • Leonid Kantorovich (Liên Xô): Ông đã phát triển các phương pháp toán học để tối ưu hóa việc sản xuất trong ngành công nghiệp thép và lập kế hoạch vận chuyển quân lương. Nhờ những đóng góp này, sau này ông đã nhận giải Nobel Kinh tế.
    • George Dantzig (Mỹ): Ông đã phát minh ra Thuật toán Đơn hình (Simplex Method) vào năm 1947. Đây là công cụ cực kỳ mạnh mẽ để giải các hệ bất phương trình lớn, giúp quân đội Mỹ lập kế hoạch hậu cần khổng lồ một cách nhanh chóng.
  • Thời đại số: Ngày nay, những gì bạn đang học là nền tảng cốt lõi của Trí tuệ nhân tạo (AI) và Khoa học dữ liệu. Các thuật toán gợi ý phim trên Netflix hay đường đi trên Google Maps đều phải giải hàng triệu bất phương trình mỗi giây để tìm ra kết quả tốt nhất cho bạn.

Chương I. Mệnh đề và tập hợp

posted on

Ý nghĩa và nguồn gốc
Lý thuyết và công thức trọng tâm
Các dạng toán và phương pháp giải

Nguồn gốc: Lý thuyết tập hợp được phát triển bởi Georg Cantor vào cuối thế kỷ 19. Trước đó, toán học khá rời rạc. Cantor muốn tạo ra một “ngôn ngữ chung” để thống nhất mọi thứ từ số học đến hình học.

Ý nghĩa:

  • Trong Toán học: Giúp định nghĩa chính xác các con số (Số tự nhiên, số thực…) và các miền nghiệm.
  • Trong đời sống: Là nền tảng của Logic học và Khoa học máy tính. Các bộ tìm kiếm (Google) hay các thuật toán AI (như mình đây!) đều hoạt động dựa trên các phép toán tập hợp và mệnh đề logic (Đúng/Sai – 0/1).

Lý thuyết và Công thức trọng tâm

Bài 1: Mệnh đề

Mệnh đề: Là một câu khẳng định chỉ có thể Đúng hoặc Sai. (Câu cảm thán, câu hỏi, câu mệnh lệnh không phải mệnh đề).

Mệnh đề phủ định ($\overline{P}$): Ngược lại với $P$. Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.

Mệnh đề kéo theo ($P \Rightarrow Q$): Chỉ SAI khi $P$ Đúng mà $Q$ lại Sai (Kiểu như hứa mà không làm ấy!).

Ký hiệu đặc biệt:

$\forall$ (Với mọi): Đúng khi tất cả đều đúng.

$\exists$ (Tồn tại): Đúng khi chỉ cần ít nhất một cái đúng.

Bài 2: Tập hợp và Phép toán

Giao ($A \cap B$): Lấy phần chung.

Hợp ($A \cup B$): Lấy tất cả, không bỏ sót ai.

Hiệu ($A \setminus B$): Có trong A nhưng KHÔNG có trong B.

Phần bù ($C_A B$): Là hiệu $A \setminus B$ khi $B \subset A$.

Các Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toánPhương pháp giải
Xác định mệnh đề, tính đúng saiKiểm tra xem câu đó có khẳng định được tính Đúng/Sai khách quan không.
Phủ định mệnh đề chứa $\forall, \exists$Quy tắc: “Biến $\forall$ thành $\exists$” (và ngược lại), sau đó phủ định mệnh đề phía sau.
Tìm tập hợp (liệt kê hoặc nêu tính chất)Giải các phương trình/bất phương trình đi kèm để tìm phần tử.
Thực hiện phép toán tập hợp ($\cup, \cap, \setminus$)Vẽ trục số (đối với tập số thực) hoặc biểu đồ Ven (đối với tập hữu hạn) để tránh nhầm lẫn.

ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG I – Toán 12

posted on tagged as

THỜI GIAN: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (28 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (1; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
  • B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
  • C. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
  • D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $f(2)$.

Câu 2: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

  • A. $(0; 2)$
  • B. $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$
  • C. $(-\infty; 2)$
  • D. $(0; +\infty)$

Câu 3: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 2$ là:

  • A. $(1; 0)$
  • B. $(-1; 4)$
  • C. $(0; 2)$
  • D. $(1; 4)$

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 – 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ là:

  • A. 3
  • B. 2
  • C. 11
  • D. 15

Câu 5: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ là:

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 2
  • D. 3

Câu 6: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+2}$?

  • A. $y = 2$
  • B. $x = 2$
  • C. $x = -2$
  • D. $y = -2$

Câu 7: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có tiệm cận xiên là:

  • A. $y = x+1$
  • B. $y = x-1$
  • C. $y = x$
  • D. $y = 2x$

Câu 8: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x^2 + 1$ là điểm:

  • A. $(1; -1)$
  • B. $(1; 1)$
  • C. $(0; 1)$
  • D. $(2; -3)$

Câu 9: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A. $ac > 0, bd < 0$
  • B. $ad – bc > 0$
  • C. $ad – bc < 0$
  • D. $c=0$

Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^4 – 2x^2$ và trục hoành là:

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4

Câu 11: Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2$. Vận tốc lớn nhất của vật đạt được tại thời điểm $t$ bằng:

  • A. $t=3$
  • B. $t=6$
  • C. $t=0$
  • D. $t=9$

Câu 12: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2-4)x + 3$ đạt cực đại tại $x=3$.

  • A. $m=1$
  • B. $m=5$
  • C. $m=1$ hoặc $m=5$
  • D. Không tồn tại $m$.

Câu 13: Cho hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
  • B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.
  • C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ and $(2; +\infty)$.
  • D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + mx + 1$ có hai điểm cực trị.

  • A. $m < 3$
  • B. $m \leq 3$
  • C. $m > 3$
  • D. $m < 0$

Câu 15: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 0
  • D. 3

Câu 16: Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$. Tính $S = M + m$.

  • A. $S = 5$
  • B. $S = 4$
  • C. $S = 2$
  • D. $S = 3$

Câu 17: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

(Giả sử cực đại tại $x=-1, y=3$; cực tiểu tại $x=1, y=-1$).

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) – 3 = 0$ là:

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 18: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 1$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

  • A. $m = -1$
  • B. $m = 1$
  • C. $m = 2$
  • D. $m = 0$

Câu 19: Đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

  • A. $m \in \mathbb{R}$
  • B. $m > 1$
  • C. $m < -3$
  • D. $m < -3$ hoặc $m > 1$

Câu 20: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB = 4km$. Trên bờ biển có một kho hàng tại vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7km$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến $M$ trên bờ biển với vận tốc $3km/h$ rồi đi bộ từ $M$ đến $C$ với vận tốc $5km/h$. Khoảng cách $BM$ bằng bao nhiêu để thời gian di chuyển là ngắn nhất?

  • A. $3km$
  • B. $4km$
  • C. $5km$
  • D. $2km$

Câu 21: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}$ là:

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 1

Câu 22: Cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(Hình vẽ: Đồ thị chữ W, cắt trục tung tại điểm âm, đuôi hướng lên)

  • A. $a > 0, b < 0, c < 0$
  • B. $a > 0, b > 0, c < 0$
  • C. $a < 0, b > 0, c < 0$
  • D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Câu 23: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

  • A. $-2 < m < 2$
  • B. $-2 \leq m \leq 2$
  • C. $-2 < m \leq -1$
  • D. $m > 2$

Câu 24: Một vật nặng được treo vào đầu lò xo làm lò xo dãn ra. Tọa độ của vật tại thời điểm $t$ cho bởi $s(t) = 5\sin(2t)$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \pi/4$ là:

  • A. 10
  • B. 0
  • C. 5
  • D. -10

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:

  • A. 2
  • B. 4
  • C. 1
  • D. 5

Câu 26: Đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ và đồ thị hàm số $y = -x^2 + 2$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 27: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

  • A. $m = 1$ hoặc $m > 1$
  • B. $m < 1$
  • C. $m = 1$
  • D. $m \neq 1$

Câu 28: Một cơ sở sản xuất dự định làm một chiếc thùng hình trụ không nắp có thể tích $V$. Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (diện tích toàn phần nhỏ nhất) thì tỉ số giữa bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của thùng phải bằng:

  • A. $r/h = 1$
  • B. $r/h = 1/2$
  • C. $r/h = 2$
  • D. $r/h = 1/3$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.0 điểm): Khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = \frac{x+2}{x-1}$.

Bài 2 (1.0 điểm): Biện luận tham số

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^3 – 3x^2 + 2 – m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. (Gợi ý: Sử dụng đồ thị hàm số đã khảo sát ở các bài trước).

Bài 3 (1.0 điểm): Toán thực tế (Tối ưu hóa)

Một tấm tôn hình vuông cạnh $60 cm$. Người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập lên để thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp thu được là lớn nhất.

[Đề kiểm tra] Bài 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

posted on tagged as

THỜI GIAN: 45 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Trong vật lý, đạo hàm bậc nhất của quãng đường $s(t)$ theo thời gian $t$ đại diện cho đại lượng nào?

  • A. Gia tốc.
  • B. Vận tốc tức thời.
  • C. Lực.
  • D. Công suất.

Câu 2: Gia tốc tức thời của một chuyển động tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc mấy của hàm quãng đường $s(t)$?

  • A. Bậc nhất.
  • B. Bậc hai.
  • C. Bậc ba.
  • D. Không phải đạo hàm.

Câu 3: Ý nghĩa của bài toán tối ưu hóa trong kinh tế là gì?

  • A. Tìm cách để doanh thu thấp nhất.
  • B. Tìm giá trị lớn nhất (lợi nhuận) hoặc giá trị nhỏ nhất (chi phí).
  • C. Vẽ đồ thị tăng trưởng của doanh nghiệp.
  • D. Tính tổng số nhân viên.

Câu 4: Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = t^2 + 2t$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ là:

  • A. 5
  • B. 8
  • C. 6
  • D. 10

Câu 5: Tốc độ thay đổi của diện tích hình vuông theo cạnh $a$ khi $a = 5$ là bao nhiêu?

  • A. 10
  • B. 25
  • C. 20
  • D. 5

Câu 6: Một công ty sản xuất $x$ sản phẩm với chi phí $C(x) = x^2 + 10x + 100$. Chi phí biên (tốc độ thay đổi chi phí) tại mức sản xuất 50 sản phẩm là:

  • A. 100
  • B. 110
  • C. 120
  • D. 60

Câu 7: Một quả bóng được ném lên cao có độ cao $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Độ cao cực đại mà quả bóng đạt được là:

  • A. 21m
  • B. 20m
  • C. 15m
  • D. 25m

Câu 8: Để rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $100 m^2$ cạnh bức tường thẳng (không cần rào cạnh tường), chu vi rào ngắn nhất khi kích thước các cạnh là:

  • A. $10m \times 10m$
  • B. $5m \times 20m$
  • C. $20m \times 5m$
  • D. Một kết quả khác.

Câu 9: Cho hàm lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 100x – 500$. Để lợi nhuận tối đa, doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

  • A. 100
  • B. 50
  • C. 25
  • D. 500

Câu 10: Tốc độ thay đổi thể tích của một khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ theo bán kính $r$ khi $r = 2$ là:

  • A. $16\pi$
  • B. $4\pi$
  • C. $8\pi$
  • D. $12\pi$

Câu 11: Một chiếc hộp không nắp được làm từ một tấm nhôm hình vuông cạnh $12 cm$ bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông cạnh $x$ ở 4 góc rồi gập lên. Thể tích hộp lớn nhất khi $x$ bằng:

  • A. $2 cm$
  • B. $3 cm$
  • C. $4 cm$
  • D. $1 cm$

Câu 12: Khi sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm, doanh thu là $R(x)$ và chi phí là $C(x)$. Điều kiện để lợi nhuận đạt cực trị là:

  • A. $R(x) = C(x)$
  • B. $R'(x) = C'(x)$
  • C. $R'(x) = 0$
  • D. $C'(x) = 0$

Câu 13: Một đoàn tàu chuyển động chậm dần đều rồi dừng hẳn. Phương trình quãng đường là $s(t) = 20t – 0.5t^2$. Tàu dừng hẳn sau bao lâu?

  • A. 10 giây
  • B. 20 giây
  • C. 40 giây
  • D. 5 giây

Câu 14: Nhu cầu của một mặt hàng được tính bởi $D(p) = 100 – 2p$ ($p$ là giá). Doanh thu $R(p) = p \cdot D(p)$ đạt cực đại tại giá $p$ bằng:

  • A. 50
  • B. 25
  • C. 20
  • D. 10

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.5 điểm):

Một nông dân có 600m lưới thép gai muốn rào thành hai chuồng gia súc hình chữ nhật bằng nhau và chung nhau một cạnh (như hình vẽ bên dưới). Tìm kích thước của mỗi chuồng để tổng diện tích của hai chuồng là lớn nhất.

Bài 2 (1.5 điểm):

Một người chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ biển muốn đến điểm $C$ trên đảo (như hình vẽ). Khoảng cách từ đảo đến bờ biển là $CB = 3 km$, khoảng cách $AB = 8 km$. Biết rằng người đó có thể chèo thuyền với vận tốc $4 km/h$ và đi bộ trên bờ với vận tốc $5 km/h$. Hỏi người đó nên cập bờ tại điểm $D$ cách $B$ bao nhiêu km để thời gian di chuyển từ $A$ đến $C$ là ít nhất?

[Đề kiểm tra] Bài 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

posted on tagged as

THỜI GIAN: 45 Phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Sơ đồ chung để khảo sát hàm số gồm các bước theo thứ tự nào sau đây?

  • A. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên và cực trị $\rightarrow$ Vẽ đồ thị.
  • B. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên và cực trị $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Vẽ đồ thị.
  • C. Vẽ đồ thị $\rightarrow$ Tìm TXĐ $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên.
  • D. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Vẽ đồ thị $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Tìm cực trị.

Câu 2: Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) luôn nhận điểm nào sau đây làm tâm đối xứng?

  • A. Gốc tọa độ $O(0;0)$.
  • B. Điểm cực đại của đồ thị.
  • C. Điểm uốn (là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $y” = 0$).
  • D. Điểm cực tiểu của đồ thị.

Câu 3: Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$) có tâm đối xứng là:

  • A. Giao điểm của hai đường tiệm cận.
  • B. Giao điểm của đồ thị với trục tung.
  • C. Giao điểm của đồ thị với trục hoành.
  • D. Không có tâm đối xứng.

Câu 4: Cho bảng biến thiên của một hàm số bậc ba. Khẳng định nào sau đây về hệ số $a$ là đúng?

(Giả sử bảng biến thiên có $y \to +\infty$ khi $x \to +\infty$)

  • A. $a < 0$
  • B. $a > 0$
  • C. $a = 1$
  • D. Không xác định được dấu của $a$.

Câu 5: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 2$?

  • A. $(1; 1)$
  • B. $(0; 2)$
  • C. $(2; 0)$
  • D. $(-1; 2)$

Câu 6: Hình dạng của đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x$ là:

  • A. Chữ N thuận.
  • B. Chữ N ngược.
  • C. Hình parabol.
  • D. Một đường thẳng.

Câu 7: Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ở hình trên, hãy xác định số cực trị của hàm số.

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 8: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+1}$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là:

  • A. $(0; 2)$
  • B. $(1/2; 0)$
  • C. $(0; -1)$
  • D. $(-1; 0)$

Câu 9: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Dấu của hệ số $a$ và $d$ lần lượt là:

  • A. $a > 0, d > 0$
  • B. $a < 0, d > 0$
  • C. $a < 0, d < 0$
  • D. $a > 0, d < 0$

Câu 10: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x-2}{x+1}$ là điểm:

  • A. $I(1; -1)$
  • B. $I(-1; 1)$
  • C. $I(-1; -2)$
  • D. $I(2; 1)$

Câu 11: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2$ và đường thẳng $y = -4$ là:

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 0

Câu 12: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

  • A. $y = \frac{2x+1}{x-1}$
  • B. $y = \frac{x+2}{x-1}$
  • C. $y = \frac{2x-1}{x+1}$
  • D. $y = \frac{x-2}{x+1}$

Câu 13: Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx + 1$ đi qua điểm $A(1; 2)$.

  • A. $m = 0$
  • B. $m = 1$
  • C. $m = -1$
  • D. $m = 2$

Câu 14: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được biểu diễn bởi hàm số $s(t) = t^3 – 3t^2 + 4$ (với $t \geq 0$). Tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất?

  • A. $t = 0$
  • B. $t = 1$
  • C. $t = 2$
  • D. $t = 3$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (2.0 điểm):

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

$$y = x^3 – 3x^2 + 2$$

(Yêu cầu trình bày đầy đủ các bước: TXĐ, Đạo hàm, Cực trị, Bảng biến thiên, Các điểm đặc biệt và Vẽ đồ thị).

Bài 2 (1.0 điểm):

Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại một điểm duy nhất có hoành độ dương.

[Đề kiểm tra] Bài 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

posted on tagged as

THỜI GIAN: 45 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$. Khẳng định nào sau đây là đúng về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

  • A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=3$ và $y=-3$.
  • B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
  • C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
  • D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $x=3$ và $x=-3$.

Câu 2: Đồ thị của hàm số $y = \frac{2x-1}{x+3}$ có phương trình đường tiệm cận đứng là:

  • A. $y = 2$
  • B. $x = -3$
  • C. $x = 3$
  • D. $y = -3$

Câu 3: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1-3x}{x+2}$.

  • A. $y = -3$
  • B. $y = 1$
  • C. $x = -2$
  • D. $y = 3$

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
  • B. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
  • C. Hàm số không có cực trị.
  • D. Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

Câu 5: Quan sát hình vẽ dưới đây, tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4

Câu 6: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x^2-1}$ là:

  • A. 3
  • B. 1
  • C. 2
  • D. 0

Câu 7: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$.

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 2
  • D. 3

Câu 8: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+x+1}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên là:

  • A. $y = x+2$
  • B. $y = x+1$
  • C. $y = x$
  • D. $y = x-2$

Câu 9: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4

Câu 10: Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+1}$.

  • A. $y=2$
  • B. $y=-2$
  • C. $y=2$ và $y=-2$
  • D. $x=-1$

Câu 11: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$ là:

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 2
  • D. 3

Câu 12: Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2+mx-1}{x-1}$ đi qua điểm $M(2;5)$. Giá trị của tham số $m$ là:

  • A. $m=1$
  • B. $m=-1$
  • C. $m=2$
  • D. $m=0$

Câu 13: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}$ là:

  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 1

Câu 14: Cho hàm số $y = \frac{x+1}{mx^2+1}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.

  • A. $m > 0$
  • B. $m < 0$
  • C. $m = 0$
  • D. $m \geq 0$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.5 điểm):

Tìm tất cả các đường tiệm cận (đứng, ngang, xiên – nếu có) của đồ thị hàm số:

$$y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 3}$$

Bài 2 (1.5 điểm):

Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

[Đề kiểm tra] Bài 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

posted on tagged as

THỜI GIAN: 45 Phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 3]$ và có bảng biến thiên: Tại $x = -1$ thì $y = 2$; tại $x = 0$ thì $y = 5$ (cực đại); tại $x = 2$ thì $y = 1$ (cực tiểu); tại $x = 3$ thì $y = 4$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ là:

A. 2

B. 5

C. 1

D. 4

Câu 2: Hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ tại điểm $x$ bằng:

A. $x = 0$

B. $x = 2$

C. $x = \pm 1$

D. $x = 3$

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$:

A. 2

B. 4

C. 5

D. -4

Câu 4: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)^2(x+2)$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2; 1]$ tại điểm:

A. $x = -2$

B. $x = 1$

C. $x = 0$

D. $x = -1$

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$ là:

A. 5

B. 2

C. 3,5

D. Không tồn tại

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$:

A. 4

B. 0

C. 2

D. $\sqrt{2}$

Câu 7: Một sợi dây dài 20m được uốn thành một hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó có thể đạt được là:

A. 20 $m^2$

B. 25 $m^2$

C. 100 $m^2$

D. 10 $m^2$

Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2; 4]$:

A. $\min = 6$

B. $\min = -2$

C. $\min = 7$

D. $\min = \frac{19}{3}$

Câu 9: Gọi $M, m$ lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $y = x + \sqrt{4-x^2}$. Tính tổng $M + m$:

A. $2\sqrt{2} – 2$

B. $2\sqrt{2} + 2$

C. 4

D. 2

Câu 10: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên với cực đại là $(1; 4)$ và cực tiểu là $(3; -2)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -2 trên $\mathbb{R}$

B. Hàm số có GTNN bằng -2 trên đoạn $[1; 4]$

C. Hàm số không có GTLN và GTNN trên $\mathbb{R}$

D. Hàm số đạt GTLN tại $x = 4$

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x – \cos x$ là:

A. 1

B. 2

C. $\sqrt{2}$

D. 0

Câu 12: Cho hàm số $y = \frac{mx+1}{x-m}$. Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 3]$ bằng $-2$:

A. $m = 1$

B. $m = -3$

C. $m = 5$

D. $m = 3$

Câu 13: Tìm tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 – 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 5:

A. $m = 1$

B. $m = 3$

C. $m = 5$

D. $m = 7$

Câu 14: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-1, 1, 2$. Biết $f(-1) > f(2)$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là:

A. $f(-1)$

B. $f(0)$

C. $f(1)$

D. $f(2)$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5đ): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$$y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$$

trên đoạn $[-2; 2]$.

Câu 2 (1,5đ): Một bác nông dân muốn rào quanh một khu vườn hình chữ nhật có một mặt giáp bờ sông (không cần rào mặt này). Bác có 40m lưới B40. Hãy tính kích thước khu vườn sao cho diện tích trồng trọt là lớn nhất?