Blog

GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Câu 1: Giới hạn $\lim \frac{1}{n}$ bằng:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $0$

D. $1$

Câu 2: Cho $\lim u_n = L$. Khi đó $\lim \sqrt{u_n}$ (với $u_n \ge 0, L \ge 0$) bằng:

A. $L$

B. $\sqrt{L}$

C. $L^2$

D. $\frac{L}{2}$

Câu 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ ($|q| < 1$) là:

A. $S = \frac{u_1}{1-q}$

B. $S = \frac{u_1}{1+q}$

C. $S = u_1(1-q)$

D. $S = \frac{1-q}{u_1}$

Câu 4: Hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ khi:

A. $f(x_0)$ tồn tại

B. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại

C. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

D. $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

Câu 5: Tính giới hạn $L = \lim \frac{2n + 1}{n – 3}$:

A. $L = 2$

B. $L = -\frac{1}{3}$

C. $L = +\infty$

D. $L = 1$

Câu 6: Tính $\lim_{x \to 2} (x^2 – 3x + 1)$:

A. $1$

B. $-1$

C. $11$

D. $0$

Câu 7: Cho hàm số $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Hàm số gián đoạn tại:

A. $x = -1$

B. $x = 0$

C. $x = 1$

D. $x = 2$

Câu 8: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 – 1}{2x^2 + 3}$:

A. $L = 0$

B. $L = \frac{1}{2}$

C. $L = +\infty$

D. $L = -\frac{1}{3}$

Câu 9: Giới hạn $\lim \frac{3^n – 4^n}{3^n + 4^n}$ bằng:

A. $1$

B. $-1$

C. $0$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 10: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1 = 1$ và $q = -\frac{1}{2}$. Tổng $S$ là:

A. $S = \frac{2}{3}$

B. $S = \frac{3}{2}$

C. $S = 2$

D. $S = \frac{1}{2}$

Câu 11: Tính $L = \lim_{x \to 1^-} \frac{x+2}{x-1}$:

A. $L = +\infty$

B. $L = -\infty$

C. $L = 3$

D. $L = 1$

Câu 12: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} (x^3 – 2x^2 + 1)$:

A. $L = +\infty$

B. $L = -\infty$

C. $L = 1$

D. $L = 0$

Câu 13: Giới hạn $L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ bằng:

A. $1$

B. $\frac{1}{2}$

C. $0$

D. $2$

Câu 14: Hàm số nào sau đây liên tục trên $\mathbb{R}$?

A. $y = \tan x$

B. $y = \frac{x}{x^2+1}$

C. $y = \sqrt{x-1}$

D. $y = \frac{1}{x}$

Câu 15: Cho $\lim_{x \to x_0} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = -2$. Tính $\lim_{x \to x_0} [2f(x) – g(x)]$:

A. $4$

B. $8$

C. $1$

D. $7$

Câu 16: Tìm khẳng định sai:

A. $\lim q^n = 0$ ($|q| < 1$)

B. $\lim \frac{1}{n^k} = 0$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

C. $\lim n^k = +\infty$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

D. $\lim c = 0$ ($c$ là hằng số)

Câu 17: Tính $L = \lim \frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}$:

A. $L = 0$

B. $L = 1$

C. $L = \frac{1}{2}$

D. $L = +\infty$

Câu 18: Cho $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \neq 1$ và $f(1) = m$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$:

A. $m = 1$

B. $m = 2$

C. $m = 0$

D. $m = -1$

Câu 19: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} – x)$:

A. $L = 0$

B. $L = +\infty$

C. $L = \frac{1}{2}$

D. $L = 1$

Câu 20: Giới hạn $L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ bằng:

A. $L = \frac{1}{3}$

B. $L = 1$

C. $L = 3$

D. $L = 0$

Câu 21: Cho phương trình $x^3 – 3x + 1 = 0$. Khẳng định nào đúng?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm trong $(-1; 1)$.

C. Phương trình chỉ có nghiệm dương.

D. Phương trình vô nghiệm trong $(0; 2)$.

Câu 22: Tính $L = \lim \frac{\sqrt{4n^2+1} – n}{2n + 3}$:

A. $L = \frac{1}{2}$

B. $L = 1$

C. $L = 2$

D. $L = \frac{3}{2}$

Câu 23: Giới hạn $L = \lim_{x \to 2^+} \frac{|2-x|}{2x-4}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $0$

D. Không tồn tại

Câu 24: Tìm $a$ để $f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & x > 1 \\ ax + 1 & x \le 1 \end{cases}$ liên tục tại $x=1$:

A. $a=1$

B. $a=2$

C. $a=0$

D. $a=-1$

Câu 25: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$:

A. $L = 1$

B. $L = -1$

C. $L = 0$

D. $L = +\infty$

Câu 26: Cho $(u_n)$ thỏa $|u_n – 2| < \frac{1}{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $\lim u_n$ bằng:

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. Không tồn tại

Câu 27: Tính tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots$:

A. $S = \frac{3}{2}$

B. $S = 2$

C. $S = \frac{4}{3}$

D. $S = 3$

Câu 28: Nếu $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x)=0$:

A. Vô nghiệm trên khoảng $(a; b)$.

B. Có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a; b)$.

C. Luôn đồng biến trên khoảng $(a; b)$.

D. Luôn nghịch biến trên khoảng $(a; b)$.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm): Tính các giới hạn:

a) $A = \lim \frac{\sqrt{n^2 + 2n} – n}{3n + 1}$

b) $B = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$

Câu 2 (1,0 điểm): Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0 = 2$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 – 4}{x – 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$$

Câu 3 (1,0 điểm): Tìm tham số $m$ để hàm số sau liên tục tại $x = 0$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} & \text{khi } x > 0 \\ 2x + m^2 – 3m & \text{khi } x \le 0 \end{cases}$$

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM – 28 CÂU)

Câu 1: Trong không gian, qua 3 điểm không thẳng hàng, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 2: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành.

B. Hình biểu diễn của một tam giác cân là một tam giác cân.

C. Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip.

D. Phép chiếu song song bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là:

A. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$.

B. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$.

C. Đường thẳng $SO$ ($O$ là giao hai đường chéo).

D. Đường thẳng $SA$.

Câu 5: Nếu $a \parallel (\alpha)$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $a$ và $b$ có thể:

A. Song song hoặc chéo nhau.

B. Cắt nhau.

C. Trùng nhau.

D. Luôn chéo nhau.

Câu 6: Hai mặt phẳng song song với nhau khi:

A. Chúng cùng song song với một đường thẳng.

B. Có một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng đó.

C. Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

D. Chúng không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt cầu.

Câu 7: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BB’$ và $CC’$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(ABC)$.

B. $(AA’B’B)$.

C. $(ACC’A’)$.

D. $(AMN)$.

Câu 8: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $H$ là trung điểm của $A’B’$. Mặt phẳng $(AHC’)$ cắt lăng trụ theo thiết diện là hình gì?

A. Tam giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $AB$.

B. $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

C. $d$ là đường thẳng $SO$.

D. $d$ trùng với $SD$.

Câu 10: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì:

A. $a$ cắt $b$.

B. $a \parallel b$.

C. $a$ và $b$ chéo nhau.

D. $a \perp b$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $G$ và song song với $(BCD)$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là:

A. Một điểm.

B. Một đoạn thẳng.

C. Một tam giác.

D. Một tứ giác.

Câu 12: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng:

A. Song song.

B. Cắt nhau.

C. Song song hoặc trùng nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 13: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $(BA’C’)$.

B. $(C’BD)$.

C. $(BC’D)$.

D. $(ACD’)$.

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $G, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $GK \parallel (SAC)$.

B. $GK \parallel (ABC)$.

C. $GK \perp (ABC)$.

D. $GK$ chéo $AC$.

Câu 15: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ là trung điểm các cạnh $AB, CD, BC, AD, AC, BD$. $MN, PQ, RS$ cắt nhau tại $G$. $G$ là:

A. Trọng tâm của tứ diện.

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

C. Trực tâm của tứ diện.

D. Tâm đường tròn nội tiếp.

Câu 16: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là tâm của các mặt bên. Mặt phẳng $(IJK)$ song song với mặt phẳng:

A. $(ABC)$.

B. $(AA’B’B)$.

C. $(BCC’B’)$.

D. $(ACC’A’)$.

Câu 17: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng $AC’$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $BDA’$. Tỉ số $\frac{AG}{AC’}$ bằng:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $1/4$.

D. $2/3$.

Câu 18: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Hình chiếu song song của $G$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $G’$. Khẳng định nào đúng?

A. $G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

B. $G’$ là trung điểm của $A’B’$.

C. $G’$ nằm ngoài tam giác $A’B’C’$.

D. $A’G’ = B’G’ = C’G’$.

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Giao điểm của $BM$ với mặt phẳng $(SAC)$ là:

A. Giao điểm của $BM$ với $SO$ ($O$ là tâm đáy).

B. Giao điểm của $BM$ với $SA$.

C. Giao điểm của $BM$ với $SC$.

D. Điểm $M$.

Câu 20: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J$ là trung điểm của $SA, SB$. Khẳng định nào sai?

A. $IJ \parallel (SCD)$.

B. $IJ \parallel (ABCD)$.

C. $IJ \parallel CD$.

D. $IJ$ cắt $AD$.

Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB \parallel CD, AB = 2CD$). Gọi $M$ là trung điểm $SA$. $(MBC)$ cắt $SD$ tại $N$. Tỉ số $SN/SD$ là:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $2/3$.

D. $3/4$.

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ là trọng tâm các tam giác $ABC, ACD, ABD$. Phát biểu nào sai?

A. $(G_1G_2G_3) \parallel (BCD)$.

B. $G_1G_2 \parallel CD$.

C. $G_1G_3 \parallel BC$.

D. $\triangle G_1G_2G_3$ đồng dạng với $\triangle BCD$ tỉ số $k = 2/3$.

Câu 23: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Hình chiếu song song của điểm $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương chiếu $CC’$ là:

A. Điểm $A$.

B. Điểm $B$.

C. Điểm $C$.

D. Điểm $D$.

Câu 24: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ qua $AM, \parallel BD$ cắt $SB, SD$ tại $E, F$. Tỉ số $SE/SB$ là:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $2/3$.

D. $1/4$.

Câu 25: Cho hình chóp $S.ABC$. $M \in SA$ sao cho $SM=2MA, N \in BC$ sao cho $NC=2NB$. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua $MN, \parallel AB$ là:

A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Tứ giác.

Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Nếu $a \parallel (P)$ thì tồn tại trong $(P)$ một đường thẳng $b$ sao cho $b \parallel a$.

D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.

Câu 27: Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$. $M, N$ là trung điểm $BB’, CC’$. Giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(A’BC)$ là:

A. Điểm $M$.

B. Trung điểm của $A’B$.

C. Giao điểm của $AM$ và $A’B$.

D. Không có giao điểm.

Câu 28: Cho tứ diện $ABCD$. $M$ là trung điểm $AB$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M, \parallel AC, BD$. Thiết diện là hình thoi khi:

A. $AC = BD$.

B. $AC \perp BD$.

C. $AB = CD$.

D. $AD = BC$.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Câu 1 (1.0 điểm): Nhận biết & Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$, $AB > CD$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.
• b) Chứng minh rằng $CD$ song song với mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 2 (1.0 điểm): Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G, G’$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A’B’C’$.

• Chứng minh rằng đường thẳng $GG’$ song song với mặt phẳng $(ABB’A’)$ và mặt phẳng $(ACC’A’)$.

Câu 3 (1.0 điểm): Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $SC$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $AM$ và song song với $BD$.

• a) Chứng minh $(\alpha)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định khi $M$ di động.
• b) Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với các cạnh $SB, SD$. Tìm vị trí của $M$ trên $SC$ để diện tích tứ giác $AEMF$ đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc một tỉ lệ thể tích cụ thể).

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm – Mỗi câu 0,25đ)

Câu 1 (Nhận biết): Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ được tính theo công thức:

A. $x = a + b$

B. $x = b – a$

C. $x = \frac{a+b}{2}$

D. $x = \sqrt{ab}$

Câu 2 (Nhận biết): Trong mẫu số liệu ghép nhóm, nhóm có tần số lớn nhất được gọi là:

A. Nhóm trung vị.

B. Nhóm chứa mốt.

C. Nhóm trung bình.

D. Nhóm tứ phân vị.

Câu 3 (Thông hiểu): Cho mẫu số liệu về thời gian tự học (phút) của học sinh: $[30; 60)$ có tần số là 10. Giá trị đại diện và tần số tích lũy của nhóm này (giả sử đây là nhóm đầu tiên) là:

A. 45 và 10.

B. 30 và 10.

C. 60 và 10.

D. 45 và 30.

Câu 4 (Thông hiểu): Công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$. Trong đó $n_i$ là:

A. Giá trị đại diện.

B. Tần số của nhóm $i$.

C. Độ dài của nhóm.

D. Tổng số số liệu.

Câu 5 (Thông hiểu): Tổng số mẫu ($n$) của bảng số liệu trên là bao nhiêu?

A. 80

B. 90

C. 100

D. 110

Câu 6 (Thông hiểu): Nhóm chứa trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu là:

A. $[0; 1)$

B. $[1; 2)$

C. $[2; 3)$

D. $[3; 4)$

Câu 7 (Vận dụng): Tần số tích lũy $cf_2$ (đến hết nhóm thứ hai) là:

A. 10

B. 35

C. 75

D. 100

Câu 8 (Vận dụng): Công thức tính Trung vị cho mẫu ghép nhóm là $M_e = L + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf_{k-1}}{n_k} \right) \cdot h$. Giá trị $L$ (đầu mút trái của nhóm chứa trung vị) trong bảng trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 9 (Vận dụng): Tính giá trị Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm):

A. 2,38

B. 2,50

C. 2,15

D. 2,62

Câu 10 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:

A. $[0; 1)$

B. $[1; 2)$

C. $[2; 3)$

D. $[3; 4)$

Câu 11 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:

A. 1,5

B. 1,6

C. 1,4

D. 1,8

Câu 12 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. $[1; 2)$

B. $[2; 3)$

C. $[3; 4)$

D. $[4; 5)$

Câu 13 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. 3,0

B. 3,5

C. 2,8

D. 3,2

Câu 14 (Vận dụng): Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = Q_3 – Q_1$ của mẫu số liệu này bằng:

A. 1,5

B. 1,4

C. 2,0

D. 1,8

Câu 15 (Thông hiểu): Nhóm chứa mốt ($M_o$) của mẫu số liệu là:

A. $[1; 2)$

B. $[2; 3)$

C. $[3; 4)$

D. $[4; 5)$

Câu 16 (Vận dụng): Tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần mười):

A. 2,3

B. 2,5

C. 2,6

D. 2,8

Câu 17 (Nhận biết): Nếu thay đổi tần số của nhóm $[4; 5)$ từ 10 thành 20, giá trị nào sau đây chắc chắn thay đổi?

A. Số trung bình $\bar{x}$

B. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$

C. Giá trị đại diện nhóm 1

D. Không có giá trị nào đổi.

Dữ liệu cho Câu 18, 19, 20

Khảo sát cân nặng của 50 học sinh lớp 11:

• Nhóm 1: $[40; 45)$ có 5 học sinh
• Nhóm 2: $[45; 50)$ có 12 học sinh
• Nhóm 3: $[50; 55)$ có 18 học sinh
• Nhóm 4: $[55; 60)$ có 10 học sinh
• Nhóm 5: $[60; 65)$ có 5 học sinh

Câu 18: Số trung bình ($\bar{x}$) của mẫu số liệu cân nặng trên là:

A. 52,1 kg

B. 52,5 kg

C. 53,0 kg

D. 51,8 kg

Câu 19: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. $[45; 50)$

B. $[50; 55)$

C. $[55; 60)$

D. $[60; 65)$

Câu 20: Nếu một học sinh nặng 54 kg thì vị trí của bạn đó so với trung vị ($M_e$) của nhóm là:

A. Nhẹ hơn trung vị

B. Nặng hơn trung vị

C. Bằng đúng trung vị

D. Không đủ dữ kiện để so sánh

Dữ liệu cho Câu 21, 22, 23

Điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh:

• Nhóm $[4; 5)$: 2 học sinh
• Nhóm $[5; 6)$: 8 học sinh
• Nhóm $[6; 7)$: 15 học sinh
• Nhóm $[7; 8)$: 12 học sinh
• Nhóm $[8; 9)$: 8 học sinh
• Nhóm $[9; 10]$: 5 học sinh

Câu 21: Tần số tích lũy của nhóm $[7; 8)$ là:

A. 12

B. 25

C. 37

D. 45

Câu 22: Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu điểm số là:

A. 7,00

B. 7,08

C. 6,95

D. 7,15

Câu 23: Mốt ($M_o$) của mẫu số liệu điểm số (làm tròn đến 0,1) là:

A. 6,5

B. 6,7

C. 6,4

D. 6,9

Câu 24: Một mẫu số liệu có $Q_1 = 25$ và $Q_3 = 45$. Ngưỡng trên để một giá trị bị coi là “ngoại lai” (lớn bất thường) theo quy tắc $Q_3 + 1,5 \times (Q_3 – Q_1)$ là:

A. 65

B. 70

C. 75

D. 80

Câu 25: Khi tất cả các nhóm số liệu có tần số bằng nhau, ta có thể nhận xét gì về số trung bình $\bar{x}$?

A. $\bar{x}$ bằng trung điểm của khoảng biến thiên toàn bộ mẫu.

B. $\bar{x}$ luôn bằng 0.

C. Không thể tính được số trung bình.

D. Số trung bình luôn lớn hơn mốt.

Câu 26 (Vận dụng): Khi so sánh độ tập trung của hai mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi của hai lớp có cùng số trung bình, giá trị nào sau đây cho biết mẫu số liệu nào có độ phân tán thấp hơn (điểm số đồng đều hơn)?

A. Khoảng biến thiên.

B. Giá trị Mốt ($M_o$).

C. Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q = Q_3 – Q_1$).

D. Tần số tích lũy của nhóm cuối cùng.

Câu 27 (Vận dụng cao): Một mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên một công ty có số trung bình là $\bar{x} = 15$ triệu đồng và trung vị là $M_e = 12$ triệu đồng. Nhận xét nào sau đây về hình dáng phân bố của mẫu số liệu là hợp lý nhất?

A. Phân bố đối xứng (hình chuông cân).

B. Phân bố lệch phải (có một số ít nhân viên có mức lương cao vượt trội kéo số trung bình lên).

C. Phân bố lệch trái (đa số nhân viên có mức lương cao).

D. Không thể nhận xét gì về hình dáng phân bố.

Câu 28 (Vận dụng cao): Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của linh kiện điện tử. Nếu ta tăng tất cả các đầu mút của các nhóm lên thêm 10 đơn vị và giữ nguyên tần số của các nhóm, thì các giá trị Số trung bình ($\bar{x}$), Trung vị ($M_e$) và Mốt ($M_o$) sẽ thay đổi như thế nào?

A. Cả ba giá trị đều tăng thêm 10 đơn vị.

B. Cả ba giá trị đều không thay đổi.

C. Chỉ có Số trung bình tăng 10 đơn vị, còn lại giữ nguyên.

D. Cả ba giá trị đều tăng lên 10 lần.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm): Cho bảng số liệu về chiều cao của 40 cây bạch đàn trong một vườn ươm:

Chiều cao (m)	[6,5;7,0)	[7,0;7,5)	[7,5;8,0)	[8,0;8,5)	[8,5;9,0)
Số cây	4	8	15	9	4

a) Tính chiều cao trung bình của 40 cây bạch đàn này.

b) Xác định nhóm chứa mốt và tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu.

Bài 2 (1,0 điểm): Dựa vào bảng số liệu ở Bài 1, hãy tìm Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Nêu ý nghĩa của giá trị Trung vị tìm được.

Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Một cửa hàng thống kê doanh thu bán hàng trong 30 ngày (đơn vị: triệu đồng) và chia thành các nhóm. Biết rằng nếu doanh thu trung bình trên 50 triệu/ngày thì cửa hàng đạt chỉ tiêu.

• Hãy lập một bảng số liệu ghép nhóm giả định (gồm 5 nhóm) sao cho số trung bình xấp xỉ 52 triệu đồng.
• Giải thích tại sao trong trường hợp dữ liệu có giá trị ngoại lai (quá lớn hoặc quá bé), ta nên dùng Trung vị thay vì Số trung bình để đánh giá doanh thu?

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n + 1$. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:

A. $1, 3, 5$

B. $3, 5, 7$

C. $2, 4, 6$

D. $3, 6, 9$

Câu 2 (Bài 6): Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 2$. Số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó là:

A. $7$

B. $5$

C. $10$

D. $1$

Câu 3 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(v_n)$ có $v_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Số hạng tổng quát $v_n$ là:

A. $v_n = 3 \cdot (-2)^n$

B. $v_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

C. $v_n = -2 \cdot 3^{n-1}$

D. $v_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Câu 4 (Bài 6): Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức nào?

A. $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

B. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + d]$

C. $S_n = n[2u_1 + (n-1)d]$

D. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + u_n]$

Câu 5 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2, u_2 = 6$. Công bội $q$ của cấp số nhân này bằng:

A. $4$

B. $3$

C. $12$

D. $1/3$

Câu 6 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A. $u_n = n^2$

B. $u_n = 2^n$

C. $u_n = \sin(n)$

D. $u_n = n + \frac{1}{n}$

Câu 7 (Bài 6): Cho cấp số cộng có $u_2 = 5$ và $u_3 = 8$. Công sai $d$ bằng:

A. $3$

B. $-3$

C. $13$

D. $3/2$

Câu 8 (Bài 7): Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân với $q \neq 1$ là:

A. $S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

B. $S_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

C. $S_n = \frac{u_1(1-q)}{1-q^n}$

D. $S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}$

Câu 9 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A. $u_n = 2n + 5$

B. $u_n = n^2 – 1$

C. $u_n = \frac{1}{n+2}$

D. $u_n = (-2)^n$

Câu 10 (Bài 6): Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -5$ và $d = 3$. Số $100$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng này?

A. Thứ 34

B. Thứ 35

C. Thứ 36

D. Không thuộc dãy số này.

Câu 11 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3, q = \frac{1}{2}$. Tính tổng 5 số hạng đầu tiên $S_5$.

A. $\frac{93}{16}$

B. $\frac{31}{16}$

C. $\frac{93}{32}$

D. $\frac{31}{32}$

Câu 12 (Bài 6): Ba số $x, 5, 2x+1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ là:

A. $x = 4$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $x = 5$

Câu 13 (Bài 7): Cho cấp số nhân có $u_1 = -2$ và $u_2 = 8$. Công bội $q$ bằng:

A. $4$

B. $-4$

C. $10$

D. $-6$

Câu 14 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1 = 2; u_{n+1} = u_n + 3n$. Số hạng $u_3$ bằng:

A. 5

B. 8

C. 11

D. 14

Câu 15 (Bài 6): Giữa hai số 3 và 19, ta xen thêm 3 số nữa để được một cấp số cộng có 5 số hạng. Công sai $d$ của cấp số đó là:

A. 4

B. 5

C. 3

D. 6

Câu 16 (Bài 7): Ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $b = \frac{a+c}{2}$

B. $b^2 = ac$

C. $b = ac$

D. $b^2 = a+c$

Câu 17 (Bài 5): Xét tính bị chặn của dãy số $u_n = \frac{2n-1}{n+1}$. Khẳng định nào đúng?

A. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 2.

B. Dãy số chỉ bị chặn trên bởi 2.

C. Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi $1/2$.

D. Dãy số bị chặn dưới bởi $1/2$ và chặn trên bởi 2.

Câu 18 (Bài 6): Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Tổng số ghế của rạp hát là:

A. 680 ghế

B. 700 ghế

C. 710 ghế

D. 800 ghế

Câu 19 (Bài 7): Tìm tất cả giá trị của $x$ để ba số $x-1; x; x+2$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. $x = 2$

B. $x = -2$

C. $x = 1$

D. $x = -1$

Câu 20 (Bài 7 – Nâng cao): Cho cấp số nhân có $u_1 = 1, q = 2$. Hỏi phải cộng bao nhiêu số hạng đầu tiên để được tổng bằng $1023$?

A. 8 số hạng

B. 9 số hạng

C. 10 số hạng

D. 11 số hạng

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 20 \\ u_3 + u_6 = 25 \end{cases}$$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

b) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Bài 2 (1.0 điểm):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $u_2 = 6$.

a) Tìm công bội $q$ và số hạng thứ 10.

b) Số $1536$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Bài 3 (1.0 điểm – Vận dụng cao/Thực tế):

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 100 triệu đồng với lãi suất $0.6\%$/tháng theo hình thức lãi kép (tiền lãi của tháng này được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau).

a) Thiết lập công thức số tiền người đó nhận được sau $n$ tháng (giả sử không rút tiền).

b) Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhiều hơn 120 triệu đồng?

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Thời gian: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 1): Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.

A. $\frac{4\pi}{5}$

B. $\frac{5\pi}{6}$

C. $\frac{2\pi}{3}$

D. $\frac{\pi}{6}$

Câu 2 (Bài 1): Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn cung có số đo $\frac{\pi}{2}$ nằm ở đâu?

A. Trục hoành bên phải.

B. Trục hoành bên trái.

C. Trục tung phía trên.

D. Trục tung phía dưới.

Câu 3 (Bài 2): Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

B. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

C. $\sin 2a = 2\sin a$

D. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$

Câu 4 (Bài 3): Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

B. $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

C. $\mathbb{R}$

D. $[-1; 1]$

Câu 5 (Bài 3): Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x$

B. $y = \cos x$

C. $y = \tan x$

D. $y = \cot x$

Câu 6 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

B. $x = k\pi$

C. $x = \pi + k2\pi$

D. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Câu 7 (Bài 1): Cho góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $\frac{\pi}{4}$. Số đo tổng quát của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là:

A. $\frac{\pi}{4} + k\pi$

B. $\frac{\pi}{4} + k2\pi$

C. $-\frac{\pi}{4} + k2\pi$

D. $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$

Câu 8 (Bài 2): Rút gọn biểu thức $A = \sin(x + \frac{\pi}{3}) – \sin(x – \frac{\pi}{3})$.

A. $A = \cos x$

B. $A = \sqrt{3} \sin x$

C. $A = \sqrt{3} \cos x$

D. $A = 2 \cos x$

Câu 9 (Bài 2): Tính giá trị của $P = \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $1$

Câu 10 (Bài 3): Tìm giá trị lớn nhất ($M$) và giá trị nhỏ nhất ($m$) của hàm số $y = 3\sin 2x – 5$.

A. $M = -2, m = -8$

B. $M = 3, m = -3$

C. $M = -2, m = -5$

D. $M = 8, m = 2$

Câu 11 (Bài 3): Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot 2x$ là:

A. $T = \pi$

B. $T = 2\pi$

C. $T = \frac{\pi}{2}$

D. $T = \frac{\pi}{4}$

Câu 12 (Bài 4): Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$ có nghiệm là:

A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$

C. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$

Câu 13 (Bài 4): Số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 14 (Bài 2): Biết $\tan a = 2$. Tính giá trị của $\tan 2a$.

A. $-\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $-\frac{3}{4}$

D. $4$

Câu 15 (Bài 3): Đồ thị hàm số $y = \sin x$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $(0; 1)$

B. $(\pi; 0)$

C. $(\frac{\pi}{2}; 0)$

D. $(\pi; -1)$

Câu 16 (Bài 4): Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\sin x = -0,5$

B. $\cos x = \frac{2}{3}$

C. $\tan x = 100$

D. $\cos x = -1,2$

Câu 17 (Bài 1): Một đường tròn có bán kính $R = 10 \text{ cm}$. Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi}{5}$ là:

A. $2\pi \text{ cm}$

B. $5\pi \text{ cm}$

C. $\pi \text{ cm}$

D. $20 \text{ cm}$

Câu 18 (Bài 2): Biến đổi tích thành tổng: $\cos 5x \cos 3x$ bằng:

A. $\frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x)$

B. $\frac{1}{2}(\cos 8x – \cos 2x)$

C. $\cos 8x + \cos 2x$

D. $\sin 8x + \sin 2x$

Câu 19 (Bài 3): Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(0; \pi)$

B. $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

C. $(-\pi; 0)$

D. $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Câu 20 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\cot x = \sqrt{3}$ là:

A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$

C. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm): Cho $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính giá trị của $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.

Bài 2 (1.0 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sqrt{3}\tan(x – \frac{\pi}{6}) = 1$

b) $\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0$

Bài 3 (1.0 điểm – Nâng cao): Một chiếc đu quay có bán kính $10m$. Tâm của vòng quay ở độ cao $12m$ so với mặt đất. Đu quay quay đều với tốc độ $1$ vòng/phút. Thiết lập hàm số tính độ cao $h$ của một cabin theo thời gian $t$ (giây) và tìm thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao $17m$.